GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE (Partie 1)
Tracer un triangle ABC tel que : AB = 5 cm AC = 4 cm et BC = 6 cm. Méthode 3 : On connaît la mesure d'UN CÔTÉ et des DEUX ANGLES QUI LUI SONT.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4 cm et AC=3 cm
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4 cm et AC=3 cm. Soit M un point du segment [AB]. La droite perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (BC)
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Sur la figure ci-contre ABCD est un rectangle tel que. AB = 4 et BC = 3
Produit scalaire
Exercice 4. Soit ABC un triangle tel que AB = 3 AC = 5
46 TRIANGLE RECTANGLE
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule la mesure de la hauteur du triangle issue de A. Exercice 8. Soit EFG un triangle
Première S - Application du produit scalaire : longueurs et angles
Dans le triangle ABC tel que: AB = 3 cm AC = 43 cm et BC = 6
Exercice 3 : Soit le triangle ABC tel que : AB =32 cm
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Ex3.pdf
Exercices sur le chapitre n°2
Calcule la longueur manquante dans TRG rectangle en R tel que TR=6 cm et TG=12 cm ABC est un triangle tel que : AB = 45 cm ; AC = 2
Produit scalaire
Exercice 1. Soit ABC un triangle tel que AB=5 AC =3 et. BAC = 3 . 4 Les triangles ABC et EDF sont-ils rectangles en C et E respectivement?
Fiche n°1 : Le théorème de Pythagore.
4 cm. 3 cm. A. B. Calculer BC : ABC est un triangle rectangle en A On donne (en cm) : AN = 11 ; AC = 17 ; AM = 10 et AB = 15.
THÉORÈME DE PYTHAGORE ET THÉORÈME DE THALÈS
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm Calculer BC Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm Je sais que le triangle ABC est rectangle en A Son hypoténuse est le côté BC J’utilise l’égalité de Pythagore donc : BC2 = AB2 + AC2 BC2 = 62 + 92 BC2 = 36 + 81 BC2 = 117
TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES - Meabilis
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et ABC = °30 Calculer BC et AB Exercice n° 3 Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure : Entourer parmi les données suivantes celles qui sont correctes 2 3 OB = 1 sin 3 BMO = 2 2 3 OB = sin 1 3 BOM = 2 cos 3 BOM = ( ) ( ) 2 2 sin cos 1BOM BOM+ = Exercice n° 4
Triangles rectangles : PYTHAGORE et TRIGONOMETRIE
Exemple avec valeur approchée Soit ABC un triangle rectangle tel que AB = 4 cm et AC = 5 cm Calcule BC Dans ABC rectangle en A d’après le théorème de Pythagore BC² =AB² + AC² BC² = 4² + 5² BC² = 16 + 25 BC² = 41 BC = ? ? 64 cm Utilisationde la calculatrice
Produit scalaire
Exercices Fiche 1
Exercice 1
Soit ABC un triangle tel que AB=5, AC =3 et BAC=3 4.Déterminer
AB⋅AC.Exercice 2
Soituet v deux vecteurs tels que ∥u∥=2, u⋅v=-7 et u,v=
6.Déterminer ∥
v∥.Exercice 3
Soit M(1;3), N(4; -2) et P(2; -1) trois points dans un repère (O, i,j).1. Déterminer
MN⋅MP.2. En déduire une valeur approchée de NMP en degrés à 0,1 prés.
Exercice 4
Soit A(-2;-3), B(1;1), C(-3;-1), D(-4;2), E(-1;-3) et F(2;-1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et EDF sont-ils rectangles en C et E respectivement?Exercice 5
ABCD est un losange de centre O tel que OA=4 et OD = 3.1.Calculer les produits scalaires suivants:
a. AC⋅ADb. BO⋅BCc. AB⋅DCd. BC⋅BD.2. En utilisant les coordonnées des points dans le repère orthonormal (O;
i,j), calculer: a. AB⋅ADb. OC⋅BAc. AD⋅DC.Produit scalaire
Exercice 6
Le vecteur u a pour coordonnées 2
-1 et v a pour coordonnées 14.
Calculer:
a.u⋅vb. u²c. 4uv⋅u-vd. u2v⋅2u-v.
Exercice 7
ABC est un triangle rectangle en A tel que AC=5 et AB=4 et( ⃗AC;⃗AB)=π2(2π).
Soit D le point du plan vérifiant AD=4 et
(⃗AC;⃗AD)=π6(2π).
H est le pied de la hauteur du triangle ABD issue de B. K est le pied de la hauteur du triangle ACD issue de C.
Calculer les produits scalaires suivants :
a) ⃗BA.⃗BCb) ⃗AB.⃗AHc) ⃗AC.⃗AKd) ⃗AB.(⃗CA+⃗AH) e) ⃗AC.(⃗BA+⃗AK)f) ⃗KB.⃗HCExercice 8
ABC est un triangle tel que AB=6 ; BC=4 et AC=5.
Déterminer une mesure en degré à 10-1 près de l'anglêBAC.
Produit scalaire
Exercice 9
ABC est un triangle tel que AB=5 ; BC=8 et AC=7. I est le milieu de [BC].Calculer la longueur AI.
Produit scalaire
CORRECTION
Exercice 1
Soit ABC un triangle tel que AB=5, AC =3 et BAC=3 4.Déterminer
AB⋅AC. ⃗AB.⃗AC=AB×AC×cos3π 4Or, cos3π
4=cos4)-cosπ
4=- 2 Donc,2Exercice 2
Soituet v deux vecteurs tels que ∥⃗u∥=2, u⋅v=-7 et u,v=
6.Déterminer ∥
v∥. -7=2×∥ ⃗v∥×cosπ 6 Or, cosπ2Donc, -7=
3Exercice 3
Soit M(1;3), N(4; -2) et P(2; -1) trois points dans un repère (O, i,j).1. Déterminer
MN⋅MP.2. En déduire une valeur approchée de
NMP en degrés à 0,1 prés.Produit scalaire
1. ⃗MN(4-1
-2-3)⃗MP(2-1 -1-3)⃗MN(3 -5)⃗MP(1 2.MN²=3²+(-5)²=9+25=34, donc MN=
MP²=1²+(-4)²=1+16=17, donc MP=
Donc, 23=coŝNMP=23 approchée à 0,1 prés. On obtient
̂NMP≈16,9∘
Exercice 4
Soit A(-2;-3), B(1;1), C(-3;-1), D(-4;2), E(-1;-3) et F(2;-1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et EDF sont-ils rectangles en C et E respectivement?Produit scalaire
Le triangle ABC est rectangle en C si et seulement si les vecteurs⃗CAet⃗CBsont orthogonaux, c'est à dire si et
seulement si ⃗CA.⃗CB=0. ⃗CA(-2+3 -3+1)⃗CB(1+31+1)⃗CA(1
-2)⃗CB(42)⃗CA.⃗CB=1×4+(-2)×2=4-4=0Donc le triangle ABC est rectangle en C.
⃗ED(-4+12+3)⃗EF(2+1
-1+3)⃗ED(-35)⃗EF(3
Donc le triangle EDF n'est pas rectangle en E.
Remarque : pour résoudre cet exercice on peut aussi utiliser la réciproque et la contraposée du théorème de
Pythagore.
Exercice 5
ABCD est un losange de centre O tel que OA=4 et OD = 3.Produit scalaire
1.Calculer les produits scalaires suivants:
a. AC⋅ADb. BO⋅BCc. AB⋅DCd. BC⋅BD.
a. O est le pied de la hauteur du triangle ADC issue de D, donc : b. O est le pied de la hauteur du triangle OBC issue de C, donc : c. ⃗AB=⃗DCcar ABCD est un losange, donc : Dans le triangle rectangle OAB, j'utilise le théorème de Pythagore :AB²=OA²+OB²
AB²=4²+3²
AB²=16+9
AB²=25
⃗AB.⃗DC=25d. O est le pied de la hauteur du triangle DBC issue de C, donc :2. En utilisant les coordonnées des points dans le repère orthonormal (O;
i,j), calculer: a. AB⋅ADb. OC⋅BAc. AD⋅DC.A(-4;0)B(0;-3)C(4;0)D(0;3)
a. ⃗AB(4 -3)⃗AD(4Produit scalaire
b. ⃗OC(40)⃗BA(-4
3)⃗OC.⃗BA=4×(-4)+0×3=-16
c. ⃗AD(43)⃗DC(4
Exercice 6
Le vecteur
u a pour coordonnées 2 -1 et v a pour coordonnées 14.
Calculer:
a.u⋅vb. u²c. 4uv⋅u-vd. u2v⋅2u-v.
a. ⃗u.⃗v=2×1+(-1)×4=2-4=-2 b. ⃗u2=22+(-1)2=4+1=5 c. 4 ⃗u+⃗v(4×2+14×(-1)+4)⃗u-⃗v(2-1
-1-4)4⃗u+⃗v(90)⃗u-⃗v(1
-5) ⃗u+2⃗v(2+2×1 -1+2×4)2⃗u-⃗v(2×2-12×(-1)-4)⃗u+2⃗v(4
7)2⃗u-⃗v(3
-6)(Exercice 7
ABC est un triangle rectangle en A tel que AC=5 et AB=4 et( ⃗AC;⃗AB)=π2(2π).
Soit D le point du plan vérifiant AD=4 et
(⃗AC;⃗AD)=π6(2π).
H est le pied de la hauteur du triangle ABD issue de B. K est le pied de la hauteur du triangle ACD issue de C.
Produit scalaire
Calculer les produits scalaires suivants :
a) ⃗BA.⃗BCb) ⃗AB.⃗AHc) ⃗AC.⃗AKd) ⃗AB.(⃗CA+⃗AH) e) ⃗AC.(⃗BA+⃗AK)f) ⃗KB.⃗HCa) Le triangle ABC est rectangle en A donc le pied de la hauteur du triangle ABC issue de C est A, donc :
⃗BA.⃗BC=⃗BA.⃗BA=⃗BA2=BA2=42=16b) Le triangle ABH est rectangle en H donc le pied de la hauteur du triangle ABH issue de B est H, donc :
Dans le triangle rectangle ABH :
̂BAH=π
2-π
6=π
3cosπ
3=AH AB=1 2Donc, AH=1
2AB=2 ⃗AB.⃗AH=22=4c) Le triangle ACK est rectangle en K donc le pied de la hauteur du triangle ACK issue de C est K, donc :
cosπ 6=AK2Donc,
2 2)2 =75 2d)Or, les vecteurs
⃗ABet⃗ACsont orthogonaux donc ⃗AB.⃗CA=0 ⃗AB.(⃗CA+⃗AH)=4e) Or, 2 f) ⃗KA.⃗AC=-⃗AK.⃗AC=-75 2 ⃗AB.⃗HA=-⃗AB.⃗AH=-4 2Exercice 8
ABC est un triangle tel que AB=6 ; BC=4 et AC=5.
Déterminer une mesure en degré à 10-1 près de l'anglêBAC.
a=BC=4; b=AC=5 ; c=AB=6 a2=b2+c2-2bccos ̂A16=25+36-2×5×6×cos
̂BAC
-45=-60coŝBAC coŝBAC=45 60=34̂BAC≈41,4∘
Exercice 9
ABC est un triangle tel que AB=5 ; BC=8 et AC=7. I est le milieu de [BC].Calculer la longueur AI.
AB2+AC2=2AI2+2IC2
25+49=2AI2+32
AI2=42
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