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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements

1 Logique

Exercice 1Soient les quatre assertions suivantes : (a)?x?R?y?Rx+y >0 ; (b)?x?R?y?Rx+y >0 ; (c)?x?R?y?Rx+y >0 ; (d)?x?R?y?Ry2> x.

1. Les assertionsa,b,c,dsont-elles vraies ou fausses?

2. Donner leur n´egation.

Exercice 2Soitfune application deRdansR. Nier, de la mani`ere la plus pr´ecise possible, les ´enonc´es qui suivent :

1. Pour toutx?Rf(x)?1.

2. L"applicationfest croissante.

3. L"applicationfest croissante et positive.

4. Il existex?R+tel quef(x)?0.

5. Il existex?Rtel que quel que soity?R, six < yalorsf(x)> f(y).

On ne demande pas de d´emontrer quoi que ce soit, juste d"´ecrire le contraire d"un ´enonc´e.

Exercice 3Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s"impose :?,?,?.

1.x?Rx2= 4...... x= 2;

2.z?Cz=z ...... z?R;

3.x?Rx=π ...... e2ix= 1.

Exercice 4DansR2, on d´efinit les ensemblesF1={(x,y)?R2, y?0}etF2={(x,y)? R

2, xy?1, x?0}.´Evaluer les propositions suivantes :

1.?ε?]0,+∞[?M1?F1?M2?F2/||----→M1M2||< ε

2.?M1?F1?M2?F2/?ε?]0,+∞[||----→M1M2||< ε

3.?ε?]0,+∞[/?M1?F1?M2?F2||----→M1M2||< ε

4.?M1?F1?M2?F2?ε?]0,+∞[/||----→M1M2||< ε

Quand elles sont fausses, donner leur n´egation. Exercice 5Nier la proposition : "tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans".

Exercice 6Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit;

1

2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs;

3. pour tout entierx, il existe un entierytel que, pour tout entierz, la relationz < x

implique le relationz < x+ 1;

4.?ε >0?α >0/|x-7/5|< α? |5x-7|< ε.

Exercice 7Montrer que?ε >0?N?Ntel que (n?N?2-ε <2n+1n+2<2 +ε). Exercice 8Soitf,gdeux fonctions deRdansR. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :

1.fest major´ee;

2.fest born´ee;

3.fest paire;

4.fest impaire;

5.fne s"annule jamais;

6.fest p´eriodique;

7.fest croissante;

8.fest strictement d´ecroissante;

9.fn"est pas la fonction nulle;

10.fn"a jamais les mˆemes valeurs en deux points distcincts;

11.fatteint toutes les valeurs deN;

12.fest inf´erieure `ag;

13.fn"est pas inf´erieure `ag.

2 Ensembles

Exercice 9Montrer par contraposition les assertions suivantes,E´etant un ensemble :

1.?A,B? P(E) (A∩B=A?B)?A=B,

2.?A,B,C? P(E) (A∩B=A∩CetA?B=A?C)?B=C.

Exercice 10SoitA,Bdeux ensembles, montrer?(A?B) =?A∩?Bet?(A∩B) =?A??B. Exercice 11SoientEetFdeux ensembles,f:E→F. D´emontrer que : ?A,B? P(E) (A?B)?(f(A)?f(B)), ?A,B? P(E)f(A∩B)?f(A)∩f(B), ?A,B? P(E)f(A?B) =f(A)?f(B), ?A,B? P(F)f-1(A?B) =f-1(A)?f-1(B), ?A? P(F)f-1(F\A) =E\f-1(A). Exercice 12Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide ou r´eduit `a un point I

1=+∞?

n=1? -1n ,2 +1n etI2=+∞? n=1? 1 +1n ,n? Exercice 13SoientA,B?E. R´esoudre les ´equations `a l"inconnueX?E

1.A?X=B.

2.A∩X=B.

2

3 Absurde et contrapos´ee

Exercice 14Soit (fn)n?Nune suite d"applications de l"ensembleNdans lui-mˆeme. On d´efinit une applicationfdeNdansNen posantf(n) =fn(n) + 1. D´emontrer qu"il n"existe aucun p?Ntel quef=fp. Exercice 151. Soitp1,p2,...,prrnombres premiers. Montrer que l"entierN=p1p2...pr+

1 n"est divisible par aucun des entierspi.

2. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer par l"absurde qu"il existe une infinit´e de

nombres premiers.

4 R´ecurrence

Exercice 16Montrer :

1. n? k=1k=n(n+ 1)2 ?n?N?. 2. n? k=1k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6

?n?N?. Exercice 17Soit la suite (xn)n?Nd´efinie parx0= 4 etxn+1=2x2n-3x n+ 2.

1. Montrer que :?n?Nxn>3.

2. Montrer que :?n?Nxn+1-3>32

(xn-3).

3. Montrer que :?n?Nxn??32

n+ 3.

4. La suite (xn)n?Nest-elle convergente?

Exercice 18

1. Dans le plan, on consid`ere trois droites Δ

1,Δ2,Δ3formant un "vrai" triangle : elles ne

sont pas concourantes, et il n"y en a pas deux parall`eles. Donner le nombreR3de r´egions (zones blanches) d´ecoup´ees par ces trois droites.

2. On consid`ere quatre droites Δ

1,...,Δ4, telles qu"il n"en existe pas trois concourantes, ni

deux parall`eles. Donner le nombreR4de r´egions d´ecoup´ees par ces quatre droites.

3. On consid`erendroites Δ1,...,Δn, telles qu"il n"en existe pas trois concourantes, ni deux

parall`eles. SoitRnle nombre de r´egions d´elimit´ees par Δ1...Δn, etRn-1le nombre de r´egions d´elimit´ees par Δ

1...Δn-1. Montrer queRn=Rn-1+n.

4. Calculer par r´ecurrence le nombre de r´egions d´elimit´ees parndroites en position g´en´erale,

c"est-`a-dire telles qu"il n"en existe pas trois concourantes ni deux parall`eles. Exercice 19SoitXun ensemble. Pourf? F(X,X), on d´efinitf0=idet par r´ecurrence pourn?Nfn+1=fn◦f.

1. Montrer que?n?Nfn+1=f◦fn.

2. Montrer que sifest bijective alors?n?N(f-1)n= (fn)-1.

3

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements

Indication 1Attention : la n´egation d"une in´egalit´e stricte est une in´egalit´e large (et r´ecipro-

quement). Indication 4Faire un dessin deF1et deF2. Essayer de voir si la difficult´e pour r´ealiser les assertions vient deε"petit" (c"est-`a-dire proche de 0) ou deε"grand" (quand il tend vers Indication 7En fait on a toujours :2n+1n+2?2. Puis chercher une condition surnpour que l"in´egalit´e

2-ε <2n+ 1n+ 2

soit vraie. Indication 10Il est plus facile de raisonner en prenant un ´el´ementx?E. Par exemple, soit F,Gdes sous-ensemble deE, pour montrer queF?Gil est ´equivalent de montrer que pour toutx?Falorsx?G. Et montrerF=Gest ´equivalent `ax?Fsi et seulement six?G, et ce pour toutxdeE. Remarque : pour montrerF=Gon peut aussi montrerF?Gpuis G?F. Enfin, se rappeler quex??Fsi et seulement six /?F. Indication 14Par l"absurde, supposer qu"il existep?Ntel quef=fp. Puis pour un telp,

´evaluerfetfpen une valeur bien choisie.

Indication 15Pour la premi`ere question vous pouvez raisonner par contraposition.

Indication 171. R´ecurrence : calculerxn+1-3.

2. Calculerxn+1-3-32

(xn-3).

3. R´ecurrence.

Indication 19Pour les deux questions, travailler par r´ecurrence. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦2Logique, ensembles, raisonnements Correction 11. (a) est fausse. Car sa n´egation qui est?x?R?y?Rx+y?0 est vraie.´Etant donn´ex?Ril existe toujours uny?Rtel quex+y?0, par exemple on peut prendrey=-(x+ 1) et alorsx+y=x-x-1 =-1?0.

2. (b) est vraie, pour unxdonn´e, on peut prendre (par exemple)y=-x+ 1 et alors

x+y= 1>0. La n´egation de (b) est?x?R?y?Rx+y?0.

3. (c) :?x?R?y?Rx+y >0 est fausse, par exemplex=-1,y= 0. La n´egation est

?x?R?y?Rx+y?0.

4. (d) est vraie, on peut prendrex=-1. La n´egation est :?x?R?y?Ry2?x.

Correction 2Dans ce corrig´e, nous donnons une justification, ce qui n"´etait pas demand´e.

1. Cette assertion se d´ecompose de la mani`ere suivante : ( Pour toutx?R) (f(x)?1). La

n´egation de "( Pour toutx?R)" est "Il existex?R" et la n´egation de "(f(x)?1)" est f(x)>1. Donc la n´egation de l"assertion compl`ete est : "Il existex?R,f(x)>1.

2. Rappelons comment se traduit l"assertion "L"applicationfest croissante" : "pour tout

couple de r´eels (x1,x2), six1?x2alorsf(x1)?f(x2). Cela se d´ecompose en : "(pour tout couple de r´eelsx1etx2) (x1?x2impliquef(x1)?f(x2))". La n´egation de la

premi`ere partie est : "(il existe un couple de r´eels (x1,x2))" et la n´egation de la deuxi`eme

partie est : "(x1?x2etf(x1)> f(x2))". Donc la n´egation de l"assertion compl`ete est : "Il existex1?Retx2?Rtels quex1?x2etf(x1)> f(x2)".

3. La n´egation est : l"applicationfn"est pas croissante ou n"est pas positive. On a d´ej`a traduit

"l"applicationfn"est pas croissante", traduisons "l"applicationfn"est pas positive" : "il existex?R,f(x)<0". Donc la n´egation de l"assertion compl`ete est : " Il existex1?R etx2?Rtels quex1< x2etf(x1)?f(x2), ou il existex?R,f(x)<0".

4. Cette assertion se d´ecompose de la mani`ere suivante : "(Il existex?R+) (f(x)?0)".

La n´egation de la premi`ere partie est : "(pour toutx?R+), et celle de la seconde est :"(f(x)>0)". Donc la n´egation de l"assertion compl`ete est : " Pour toutx?R+, f(x)>0".

5. Cette assertion se d´ecompose de la mani`ere suivante : "(?x?R)(?y?R)(x < y?

f(x)> f(y))". La n´egation de la premi`ere partie est "(?x?R), celle de la seconde est (?y?R), et celle de la troisi`eme est (x < yetf(x)?f(y)). Donc la n´egation de l"assertion compl`ete est : "?x?R,?y?R,x < yetf(x)?f(y)".

Correction 31.?

2.? 3.? Correction 41. Cette proposition est vraie. En effet soitε >0, d´efinissonsM1= (2ε ,0)? F

1etM2= (2ε

,ε2 )?F2, alorsM1M2=ε2 < ε. Ceci ´etant vrai quelque soitε >0 la proposition est donc d´emontr´ee. 1

2. Soit deux points fix´esM1,M2v´erifiant cette proposition la distanced=M1M2est aussi

petite que l"on veut donc elle est nulle, doncM1=M2; or les ensemblesF1etF2sont disjoints. Donc la proposition est fausse. La n´egation de cette proposition est : ?M1?F1?M2?F2?ε?]0,+∞[/ M1M2?ε et cela exprime le fait que les ensemblesF1etF2sont disjoints.

3. Celle ci est ´egalement fausse, en effet supposons qu"elle soit vraie, soit alorsεcorrespon-

dant `a cette proposition. SoitM1= (ε+ 2,0) etM2= (1,1), on aM1M2> ε+ 1 ce qui est absurde. La n´egation est : ?ε?]0,+∞[?M1?F1?M2?F2/ M1M2?ε

C"est-`a-dire que l"on peut trouver deux points aussi ´eloign´es l"un de l"autre que l"on veut.

4. Cette proposition est vraie il suffit de choisirε=M1M2+ 1. Elle signifie que la distance

entre deux points donn´es est un nombre fini! Correction 5"Il existe un habitant de la rue du Havre qui a les yeux bleus, qui ne gagnera pas au loto ou qui prendra sa retraite apr`es 50 ans." Correction 61. Un triangle dont aucun angle n"est droit n"est pas rectangle.

2. Il existe une ´ecurie dans laquelle il y a (au moins) un cheval dont la couleur n"est pas

noire.

3. Sachant que la proposition en langage math´ematique s"´ecrit

?x?Z?y?Z?z?Z(z < x?z < x+ 1), la n´egation est ?x?Z?y?Z?z?Z(z < xetz?x+ 1).

4.?ε >0?α >0 (|x-7/5|< αet|5x-7|?ε).

Correction 7Remarquons d"abord que pourn?N,2n+1n+2?2 car 2n+ 1?2(n+ 2).´Etant donn´eε >0, nous avons donc ?n?N2n+ 1n+ 2<2 +ε Maintenant nous cherchons une condition surnpour que l"in´egalit´e

2-ε <2n+ 1n+ 2

soit vraie.

2-ε <2n+ 1n+ 2?(2-ε)(n+ 2)<2n+ 1

?3< ε(n+ 2) ?n >3ε -2 Iciεnous est donn´e, nous prenons unN?Ntel queN >3ε -2, alors pour toutn?Nnous avonsn?N >3ε -2 et par cons´equent : 2-ε <2n+1n+2. Conclusion : ´etant donn´eε >0, nous avons trouv´e unN?Ntel que pour toutn?Non ait 2-ε <2n+1n+2et2n+1n+2<2 +ε. En fait nous venons de prouver que la limite de la suite de terme (2n+ 1)/(n+ 2) tend vers 2 quandntend vers +∞. 2

Correction 81.?M?R?x?Rf(x)?M;

2.?M?R?m?R?x?Rm?f(x)?M;

3.?x?Rf(x) =f(-x);

4.?x?Rf(x) =-f(-x);

5.?x?Rf(x)?= 0;

6.?a?R??x?Rf(x+a) =f(x);

7.?(x,y)?R2(x?y?f(x)?f(y));

8.?(x,y)?R2(x?y?f(x)> f(y));

9.?x?Rf(x)?= 0;

10.?(x,y)?R2(x?=y?f(x)?=f(y));

11.?n?N?x?Rf(x) =n;

12.?x?Rf(x)?g(x);

13.?x?Rf(x)> g(x).

Correction 9Nous allons d´emontrer l"assertion 1.de deux mani`eres diff´erentes.

1. Tout d"abord de fa¸con "directe". Nous supposons queAetBsont telles queA∩B=A?B.

Nous devons montrer queA=B.

Pour cela ´etant donn´ex?Amontrons qu"il est aussi dansB. Commex?Aalors x?A?Bdoncx?A∩B(carA?B=A∩B). Ainsix?B. Maintenant nous prenonsx?Bet le mˆeme raisonnement impliquex?A. Donc tout ´el´ement deAest dansBet tout ´el´ement deBest dansA. Cela veut direA=B.

2. Ensuite, comme demand´e, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que

A?=Bet non devons monter queA∩B?=A?B.

SiA?=Bcela veut dire qu"il existe un ´el´ementx?A\Bou alors un ´el´ementx?B\A. Quitte `a ´echangerAetB, nous supposons qu"il existex?A\B. Alorsx?A?Bmais x /?A∩B. DoncA∩B?=A?B.

Correction 10

x??(A?B)?x /?A?B ?x /?Aetx /?B ?x??Aetx??B ?x??A∩?B. x??(A∩B)?x /?A∩B ?x /?Aoux /?B ?x??Aoux?? ?x??A??B. 3

Correction 11Montrons quelques assertions.

f(A∩B)?f(A)∩f(B). Siy?f(A∩B), il existex?A∩Btel quey=f(x), orx?Adoncy=f(x)?f(A) et de

mˆemex?Bdoncy?f(B). D"o`uy?f(A)∩f(B). Tout ´el´ement def(A∩B) est un ´el´ement

def(A)∩f(B) doncf(A∩B)?f(A)∩f(B). Remarque : l"inclusion r´eciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple. f -1(F\A) =E\f-1(A). x?f-1(F\A)?f(x)?F\F\A ?f(x)/?A ?x /?f-1(A) carf-1={x?E / f(x)?A} ?x?E\f-1(A)

Correction 12I1= [0,2] etI2= ]1,+∞[.

Correction 131.B\A?X?B.

2.B?X?B??A.

Correction 14Par l"absurde, supposons qu"il existep?Ntel quef=fp. Deux applications sont ´egales si et seulement si elles prennent les mˆemes valeurs. ?n?Nf(n) =fp(n). En particulier pourn=p,f(p) =fp(p). D"autre part la d´efinition defnous donnef(p) = f p(p) + 1. Nous obtenons une contradiction carf(p) ne peut prendre deux valeurs distinctes.

En conclusion, quelque soitp?Nf?=fp.

Correction 151. Montrons en fait la contrapos´ee. S"il existeitel quepidiviseN=p1p2...pr+ 1 (iest fix´e) alors il existek?Ztel que

N=kpidonc

p i(k-p1p2...pi-1pi+1...pr) = 1 soitpiq= 1 (avecq=k-p1p2...pi-1pi+1...prun nombre entier) Doncpi?Zet

1/pi=q?Z, alorspivaut 1 ou-1. Et doncpin"est pas un nombre premier.

Conclusion : par contraposition il est vrai queNn"est divisible par aucun despi

2. Raisonnons par l"absurde : s"il n"existe qu"un nombre finirde nombres premiersp1,...,pr

alorsN=p1p2...pr+ 1 est un nombre premier car divisible par aucun nombre premier autre que lui mˆeme (c"est le 1.). MaisNest strictement sup´erieur `a tous lespi. Conclusion on a construit un nombre premierNdiff´erent despi, il y a donc au moinsr+ 1 nombres premiers, ce qui est absurde. Correction 16R´edigeons la deuxi`eme ´egalit´e. SoitAn,n?N?l"assertion suivante : (An)n? k=1=n(n+ 1)(2n+ 1)6 4 -A0est vraie (1 = 1). -´Etant donn´en?N?supposons queAnsoit vraie. Alors n+1? k=1=n? k=1+(n+ 1)2 n(n+ 1)(2n+ 1)6 + (n+ 1)2 n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)26 (n+ 1)(n(2n+ 1) + 6(n+ 1))6 (n+ 1)(n+ 2)(2(n+ 1) + 1)6

Ce qui prouveAn+1.

- Par le principe de r´ecurrence nous venons de montrer queAnest vraie pour toutn?N?. Correction 171. Montrons par r´ecurrence?n?Nxn>3. Soit l"hypoth`ese de r´ecurrence : (Hn) :xn>3. •La propositionH0est vraie carx0= 4>3. •Soitn?0, supposonsHnvraie et montrons queHn+1est alors vraie. x n+1-3 =2xn2-3x n+ 2-3 =2xn2-3xn-9x n+ 2. Par hypoth`ese de r´ecurrencexn>3, doncxn+ 2>0 et 2xn2-3xn-9>0 (ceci par ´etude de la fonctionx?→2x2-3x-9 pourx >3). Doncxn+1-3 etHn+1est vraie. •Nous avons montrer ?n?NHn? Hn+1 et commeH0est vraie alorsHnest vraie quelque soitn. Ce qui termine la d´emonstration.

2. Montrons quexn+1-3-32

(xn-3) est positif. x n+1-3-32 (xn-3) =2xn2-3x n+ 2-32 (xn-3) =12 x n2+ 3xn+ 12x n+ 2

Ce dernier terme est positif carxn>3.

3. Montrons par r´ecurrence?n?Nxn>?32

n+ 3. Soit notre nouvelle l"hypoth`ese de r´ecurrence : (Hn)xn>?32 n + 3. •La propositionH0est vraie. •Soitn?0, supposons queHnvraie et montrons queHn+1est v´erifi´ee.

D"apr`es la question pr´ec´edentexn+1-3>32

(xn-3) et par hypoth`ese de r´ecurrence x n>?32 n+3; en r´eunissant ces deux in´egalit´es nous avonsxn+1-3>32 (?32 n) =?32 n+1. •Nous concluons en r´esumant la situation : H

0est vraie, etHn? Hn+1quelque soitn. DoncHnest toujours vraie.

5

4. La suite (xn) tend vers +∞et n"est donc pas convergente.

Correction 18Montrons par r´ecurrence surn?1 la proposition suivante : H n:ndroites en position g´en´erale d´ecoupent le plan enRn=n(n+ 1)2 + 1 r´egions. •pourn= 1 alors une droite divise le plan en deux r´egions.H1est vraie. •Soitn?2 et supposons queHn-1soit vraie, et montronsHn. Soient Δ1,...,Δnndroites en position g´en´erale, la droite Δ nrencontre les droites Δ1,...,Δn-1enn-1 points, donc

ntraverse (et d´ecoupe en deux)nr´egions du d´ecoupage Δ1,...,Δn-1. Le d´ecoupage par

ndonne donc la relationRn=Rn-1+n. Or par hypoth`ese de r´ecurrenceHn-1:Rn-1=(n-1)n2 + 1 donc R n=Rn-1+n=(n-1)n2 + 1 +n=n(n+ 1)2 + 1

EtHnest vraie.

Ainsi?n?N?Hn-1? Hn.

•Conclusion : par r´ecurrence on a montr´e queHnest vraie quelque soitn?1. Correction 191. Montrons la proposition demand´ee par r´ecurrence : soitAnl"assertion f n+1=f◦fn. Cette assertion est vraie pourn= 0. Pourn?NsupposonsAnvraie. Alors f n+2=fn+1◦f= (f◦fn)◦f=f◦(fn◦f) =f◦fn+1. Nous avons utiliser la definition defn+2, puis la propositionAn, puis l"associativit´e de la composition, puis la d´efinition defn+1. DoncAn+1est vraie. Par le principe de r´ecurrence ? ?Nfn◦f=f◦fn.

2. On proc`ede de mˆeme par r´ecurrence : soitAnl"assertion (f-1)n= (fn)-1. Cette assertion

est vraie pourn= 0. Pourn?NsupposonsAnvraie. Alors (f-1)n+1= (f-1)n◦f-1= (fn)-1◦f-1= (f◦fn)-1= (fn◦f)-1= (fn+1)-1. DoncAn+1est vraie. Par le principe de r´ecurrence ? ?N(f-1)n= (fn)-1. 6quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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