[PDF] TAUX d EVOLUTIONS (cours) 1.5 corrigés exercices .

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TAUX d" EVOLUTIONS

(cours)

Table des matières

1 calcul d"un taux d"évolution

3

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

1.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 7

2 valeur finale à partir du taux d"évolution et de la valeur initiale, C.M.

12

2.1 activité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12

2.2 corrigé activité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13

2.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16

3 calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale

23

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 23

3.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 24

3.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 26

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 27

3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 28

4 évolutions successives et taux global

36

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 36

4.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

4.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 40

4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 41

4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 42

5 évolutions successives et taux réciproque

46

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 46

5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 47

5.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 50

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51

5.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 52

6 évolutions successives et taux moyen

56

6.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 56

6.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 57

6.3 a retenir : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 60

6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 61

6.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 62

1

7 évaluations68

7.1 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 68

7.2 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 70

7.3 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 72

7.4 interrogations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 75

7.4.1 interrogation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 76

8 travaux pratiques78

1 calcul d"un taux d"évolution

1.1 activité

Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs.

A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l"année.

Les données sont entrées dans une feuille de calcul de type Tableur.

ABCDEFGH

2Rang du Mois : i1234567

3prime en euros :pi2004002005009000150

calcul

Variation absolue

4(en euros) :vi+200

calcul

Variation relative

5(en %) :ti+100%

La variation absolue est calculée entre le mois précédent etle mois considéré, de même pour la varia-

tion relative.

1. a. Retrouver lev2=+200 du tableau.

b. Calculer les variations absolues de la prime (en euros) etcompléter le tableau.

c. Estimer,si, en général, il y a des limites à la valeur d"unevariation absolue. (donner un intervalle

pourv) d. Quelle formule tableur entrer dans la cellule C4 pour remplir par tirage les cellules C4 à H4.

2. a. Retrouver let2=+100% du tableau par deux méthodes de calcul.

b. Calculer toutes les variations relatives (outaux d"évolution) de la prime (en %) et compléter

le tableau (si possible)

c. Estimer, si en général, il y a des limites à la valeur d"une variation relative (donner un intervalle

pourt) d. Quelle(s) formule(s) tableur(s) entrer dans la cellule C5 pour remplir par tirage les cellules C5

à H5.

3. a. Entre quels mois la variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande?

b. Entre quels mois la variation relative de la prime a t-elleété la plus grande? c. La plus grande variation en euros correspond-elle toujours à la plus grande variation en pour- centages? (justifier)

4. Est-il vrai ci dessus, qu"une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros?

justifier.

5. Est-il vrai ci dessus, qu"une variation de -50% euros neutralise une variation de +100%?

justifier.

6. Est-il vrai ci dessus qu"une évolution de +100% suivie d"une évolution de -50% donne globalement

une évolution de 50%? justifier. B. Donner les formules des variations absoluesVAet relativesVR(out) pour une grandeur qui passe de la valeurv1à la valeurv2et poser des conditions de validités éventuelles sur ses formules.

C. Défi : essayer de trouver un taux d"évolution (une variation relative) qui annulerait une variation de

+25%.

1.2 corrigé activité

Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs.

A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l"année.

ABCDEFGH

2Rang du Mois : i1234567

3prime en euros :pi2004002005009000150

4Variation absolue :vi+200-200+300+400-900150

calcul400-200 200

200-400

400

500-200

200

900-500

500
0-900 900
150-0
0

1-0,51,50,8-1indéfini

5Variation relative :ti+100%-50%+150%+80%-100%indéfini

1. a.v2=p2-p1= 400-200 = +200euros.

b.v3=p3-p2= 200-400 =-200euros. v

4=p4-p3= 500-200 = +300euros et de même pour le reste (voir tableau).

c. A priori, il n"y a pas de limites à la valeur d"une variationabsolue :v?]- ∞; +∞[ d. C4=C3-B3.

2. a. Retrouvons let2= +100% du tableau par deux méthodes de calcul

•t2=p2-p1

p1=400-200200= 1 = 100%

•t2=p2

p1-1 =400200-1 = 2-1 = 1 = 100% b.t3=200-400

400=-200400=-0,5 =-50%

t

4=500-200

200=300200= 1,5 = +150%de même pour le reste

Remarquer que :t7=150-0

0n"existe pas.

c. A priori, pour des valeurs positives de la grandeur en question (içi la prime), un taux ne

peut-être inférieur à -100%, mais il peut-être aussi grand que l"on veut,t?[-1 ; +∞[soit

t?[-100% ; +∞[

3. a. La variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande entre Avril et Mai (+400)

b. La variation relative de la prime a t-elle été la plus grande entre Mars et Avril(+150%) c. Non car içi, la plus grande variation en euros (+400) ne correspond pas à la plus grande variation en pourcentages (+150%)

4. Oui, une variation de -200 euros neutralise une variationde +200 euros car globalement on a une

variation de 0 euros.

5. Oui, une variation de -50% euros neutralise une variationde +100% car globalement on a une

variation de 0 euros.( passage de 200 euros à 200 euros globalement).

6. Non, une évolution de +100% suivie d"une évolution de -50%donne globalement une évolution de

0% comme vue ci dessus et pas de +50% .

B.•VA=v2-v1

•VR=t=v2-v1

v1=v2v1-1pourv1>0etv2≥0. C. Une variation de -20% annule une variation de +25% En effet : 100 +25%×100 = 100 + 25 = 125 puis 125 -20%×125 = 125 - 25 = 100.

1.3 a retenir

définition 1 :(variation absolue, variation relative, taux d"évolution) v1v2départ arrivéequel que soit le nombre positif non nulv1(v1?R+?) quel que soit le nombre positifv2(v2?R+) la variation absolue dev1àv2est le nombre :????VA=v2-v1????variation absolue=vfinale-vinitiale la variation relative dev1àv2est le nombre :? VR=t=v2-v1v1????variation relative=vfinale-vinitialevinitiale ou encore : la variation relative dev1àv2est le nombre :? VR=t=v2v1-1????variation relative=vfinalevinitiale-1 remarques:(admises si non justifiées) i. la variation relative est aussi appelée "taux d"évolution" ii. une variation absolue est comprise entre-∞et+∞(VA?]- ∞; +∞[) iii. une variation relative est comprise entre-100%et+∞(VR?]-1 ; +∞[) exemples pour une classe A qui passe de 30 à 36 élèves. pour une classe B qui passe de 20 à 25 élèves pour une classe C qui passe de 20 à 15 élèves pour la classe A : la variation absolue du nombre délèves estVA= 36-30 = 6élèves la variation relative estVR=t=36-30

30=630=15= 0,2 = +20%

pour la classe B : la variation absolue du nombre délèves estVA= 25-20 = 5élèves la variation relative estVR=t=25-20

20=520=14= 0,25 = +25%

la variation absolue est plus grande en A (6>5) la variation relative est plus grande en B (25%>20%) pour la classe C : la variation absolue du nombre délèves estVA= 15-20 =-5élèves la variation relative estVR=t=15-20

20=-520=-14=-0,25 =-25%

résumé : classev1v2variation absoluevariation relative

A303636-30 = 636-30

30= 20%

B202525-20 = 525-20

20= 25%

C201515-20 =-515-20

20=-25%

1.4 exercices

exercice 1 :

(a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d"évolution

de ce prix? (à 1% par excès si 5)

(b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d"évolution

de ce prix? (à 1% par excès si 5)

(c) un article hors taxe vaut 50ealors qu"il vaut 52,75etoutes taxes comprises(TVA ajoutés unique-

ment), quel est le taux de TVA?

(d) il a réussit 50 fois l"an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué?

exercice 2 : voici les évolutions de plusieurs tarifs : _tarif 1 : passe de 1eà 2e _tarif 2 : passe de 2eà 3e _tarif 3 : passe de 10eà 30e _tarif 4 : passe de 1000eà 1020e (a) calculer les variations absolues et relatives de chaquetarif (b) quel tarif a le plus augmenté ene? (c) quel tarif a le plus augmenté en %? exercice 3 :

Le tableau ci dessous donne les chiffres d"affaire d"une entreprise pour trois années.(en milliers d"euros)

trimestre 1trimestre 2trimestre 3trimestre 4Σ

20075577129150411

20084565109180399

20096590145250550

Σ1652323835801360

calculer le taux d"évolution du chiffre d"affaire à 1% près A. entre le premier et dernier trimestre de l"année 2009 B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009

C. entre les années 2007 et 2009

D. entre le premier et le dernier trimestre sur l"ensemble des trois années exercice 4 :

écrire un algorithme qui donne le taux d"évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale

exercice 5 : dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous ABC

1prix HTtaux de TVAprix TTC

2105?125,58

3140?147,7

4200?204,2

i. quelle formule entrée dans la celluleB2permet d"obtenir les résultats attendus dans la colonneB

si on "tire vers le bas"?

1.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

(a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d"évolution

de ce prix? (à 1% par excès si 5)

200250départ

arrivée ???VA= 250-200 = 50e

VR=t=250-200200= 0,25 = 25%

(b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d"évolution

de ce prix? (à 1% par excès si 5)

250200départ

arrivée ???VA= 200-250 =-50e

VR=t=200-250250=-0,2 =-20%

(c) un article hors taxe vaut 50ealors qu"il vaut 52,75etoutes taxes comprises(TVA ajoutés unique-

ment), quel est le taux de TVA?

5052,5H.T.

T.T.C.

VR=t=52,75-5050= 0,055 = 5,5%

(d) il a réussit 50 fois l"an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué?

5050-20 = 30départ

arrivée ???VR=t=30-5050=-0,4 =-40% corrigé exercice 2 :quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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