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Exercice : coupes du cube Solution : coupes du cube

au segment [GH] K appartient au segment [HE])



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Construire le point d'intersection de la droite (IJ) et du plan BCD. Construire la section du pavé par le plan IJK en ... ABCDEFGH est un cube.



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2 c Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK) Partie C On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK) Le point R est l’unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK)



fiche méthode intersection dans l'espace

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4 La section du cube par le plan (IJK) est un polygone Vincent PANTALONI Section d’un cube par un plan P The problem Example : Step by step



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Qu'est-ce que la section d'un cube par un plan formé de 3 points sans face commune ?

« Section d'un cube par un plan formé de 3 points sans face commune» Intersection, avec une face de base d'un cube, du plan déterminé par trois points I, J et K sur des arêtes. – I, J et K sont trois points des arêtes [EH], [AB] et [CG], non concourantes, du cube ABCDEFGH. – Trouver la section du plan (IJK) sur le cube.

Quelle est la section d'un cube?

Soit P le plan parallèle au plan (BGE) et passant par le point I. On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I , J , K, L, M, et N appartiennent respectivement aux arêtes [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE].

Comment calculer l'intersection du plan avec les faces du cube?

2) La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEF été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

Comment définir l’intérieur d’un cube?

Partie C On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est l’unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK). On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points M(x;y;z) tels que { 0

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EXERCICE 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les trois points I, J, K sont définis par les conditions suivantes : . I est le milieu du segment [AD] ; . J est tel que ⃗AI=3

4⃗AE ;

. K est le milieu du segment [FG].

Partie A

1. Sur la figure donnée en annexe, construire sans justifier le point d'intersection P du plan (IJK) et de la droite

(EH). On laissera les traits de construction sur la figure.

2. En déduire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) et du plan (EFG).

Partie B

On se place désormais dans le repère orthonormé (A;⃗AB;⃗AD;⃗AE).

1.a. Donner sans justification les coordonnées des points I, J et K.

1.b. Déterminer les réels a et b tels que le vecteur

⃗n(4;a;b) soit orthogonal aux vecteurs ⃗IJ et ⃗IK.

1.c. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est :

4x-6y-4z+3=0.

2.a. Donner une représentation paramétrique de la droite (CG).

2.b. Calculer les coordonnées du point N, intersection duplan (IJK) et de la droite (CG).

2.c. Placer le point N sur la figure et construire en couleur la section du cube par le plan (IJK).

Partie C

On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est l'unique point du plan (IJK) tel que

la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK). On définit l'intérieur du cube comme l'ensemble des points M(x;y;z) tels que {00

Le point R est-il à l'intérieur du cube ?

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ANNEXE (à rendre avec la copie)

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CORRECTION

Partie A

1. Le point P est le point d'intersection de la droite (IJ) et de la droite (EF).

2. P et K appartiennent aux plans (IJK) et (EFG) donc la droite (CK) est contenue dans les deux plans.

. I appartient au plan (ABC) qui est strictement parallèle au plan (EFG) donc le point I n'appartient pas au

plan (EFG) et les plans(EFG) et (IJK) ne sont pas confondus. Ces deux plans sont donc sécants. . Conclusion La droite d'intersection des plans (EFG) et (IJK) est la droite (PK)

Partie B

1.a. Les coordonnées des sommets du cube dans le repère (A;⃗AB;⃗AD;⃗AE) sont :

A(0;0;0) B(1;0;0) C(1;1;0) D(0;0;1) E(0;0;1) F(1;0;1) G(1;1;1) H(0;1;1) et I(0;0,5;0) J(0;0;0,75) K(1;0,5;1) 1.b. ⃗IJ(0;-0,5;0,75) ⃗IJ(1;0;1) ⃗n(4;a;b)

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⃗n est orthogonal aux vecteurs ⃗IJ et ⃗IK si et seulement si {-0,5a+0,75b=0 4+b=0

On obtient b=-4 et

-0,5a-3=0 ⇔ a=-6.

Conclusion

⃗n(4;-6;-4)

1.c. Le vecteur non nul

⃗n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) donc le vecteur ⃗n est

un vecteur normal au plan (IJK). M(x;y;z) apartient au plan (IJK) si et seulement si ⃗IM.⃗n=0 ⇔ (x-0)×4+(y-0,5)×(-6)+(z-0)×(-4)=0 ⇔ 4x-6y-4z+3=0 2.a. ⃗CG(0;0;1) C(1;1;0) (CG) : {x=0×t+1 y=0×t+1 z=1×t+0 t décrit R soit (CG) : {x=1 y=1 z=t t décrit R

2.b. On résout le système :

{x=1 y=1 z=t

4x-6y-4z+3=0 On obtient :

4×1-6×1-4×t+3=0 ⇔ -4t+1=0 ⇔ t=1

4=0,25.

Le point N a pour coordonnées (1;1;0,25).

2.c. On place le point N. Le point Q est le point d'intersection des droites (PK) et (HG). La droite (NQ)

coupe la droite(DC) en M. La section du cube par le plan (IJK) est l'hexagone coloré en rouge.

Remarque

Cet hexagone n'est pas régulier mais ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Partie C

(Δ)est la droite orthogonale au plan (IJK) passant par F et R est le point d'intersection de (Δ) et (IJK).

(Δ) : {x=4λ+1 y=-6λ z=-4λ+1 λ décrit R . On résout le système {x=4λ+1 y=-6λ z=-4λ+1

4x-6y-4z+3=0

On obtient :

4(4λ+1)-6(-6λ)-4(-4λ+1)+3=0 ⇔ (16+36+16)λ+4-4+3=0 ⇔ 68λ+3=0

λ=-3

68 x=-12

68+1=56

68<1
y=18

68<1 z=12

68+1=86

68>1
z>1 donc le point R n'est pas intérieur au cube.quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30