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MODÈLES DE DURÉE

Support de cours 2022-2023

Statistique des modèles paramétriques

et semi-paramétriques

Frédéric PLANCHET

Version 5.3 Septembre 2022

Modèles de durée

ISFA Support de cours - 2 -

SOMMAIRE

1. La prise en compte de censure dans les modèles de durée .......................................... 4

1.1. Censure de type I : censure fixe ............................................................................... 4

1.1.1. Estimation ponctuelle ....................................................................................... 5

1.1.2. Estimation par intervalle ................................................................................... 6

1.2. Censure de type III : censure aléatoire ..................................................................... 7

1.2.1. ǯ ................................................................................. 7

1.2.2. La prise en compte de covariables ................................................................... 9

1.3. Un autre type de censure : " arrêt au rième décès » (censure de type II) ................ 9

1.4. Troncature ................................................................................................................ 12

1.5. Synthèse : troncature gauche et censure aléatoire droite .................................... 13

1.5.1. Expression générale de la vraisemblance ....................................................... 13

1.5.2. Cas particulier du modèle exponentiel, lien avec le modèle de Poisson ...... 14

1.5.3. Maximum de vraisemblance discrétisé ........................................................... 14

2. Vraisemblances latente et observable en présence de censure .................................. 16

2.1. Application de la méthode du maximum de vraisemblance ................................. 18

2.1.1. Généralités ........................................................................................................ 18

2.1.2. Vraisemblance latente et vraisemblance observable .................................... 19

2.2. Écritures particulières aux modèles de durée ........................................................ 19

2.3. Exemple : le modèle de Weibull ............................................................................. 20

2.3.1. Estimation des paramètres ............................................................................. 20

2.3.2. Application numérique .................................................................................... 21

2.4. Les algorithmes numériques de maximisation de la vraisemblance .................... 22

2.4.1. ǯ-Raphson ................................................................. 23

2.4.2. ǯ-Maximisation (EM) ................................................. 24

2.4.3. Les autres méthodes ....................................................................................... 24

3. Les modèles à hasard proportionnel ............................................................................ 25

3.1. Cas où la fonction de hasard de base est connue ................................................. 26

3.1.1. Équations de vraisemblance ........................................................................... 27

3.1.2. Information de Fisher...................................................................................... 28

3.2. ǯ : le modèle de Weibull ............................ 28

3.2.1. Présentation générale ..................................................................................... 28

3.2.2. Cas particulier du modèle exponentiel .......................................................... 29

3.3. ǯ : le modèle de Cox ..... 30

3.3.1. Estimation des paramètres .............................................................................. 31

3.3.2. Tests du modèle .............................................................................................. 33

4. Les tests fondés sur la vraisemblance ........................................................................... 34

4.1. Rapport des maxima de vraisemblance ................................................................. 34

4.2. Test de Wald ............................................................................................................ 34

4.3. Test du score ........................................................................................................... 35

5. Illustrations : ajustement de taux de mortalité bruts .................................................. 35

5.1. Le modèle de Makeham ......................................................................................... 36

5.1.1. Adéquation de la courbe au modèle de Makeham ....................................... 37

5.1.2. Ajustement par la méthode du maximum de vraisemblance ....................... 38

5.2. Le modèle de Thatcher ........................................................................................... 39

Modèles de durée

ISFA Support de cours - 3 -

5.3. Ajustement des taux bruts sur la base des Logits ................................................. 40

5.3.1. La fonction logistique ..................................................................................... 40

5.3.2. Ajustements logistiques.................................................................................. 42

5.3.3. Estimation des paramètres ............................................................................. 43

5.4. Intervalles de confiance pour les taux bruts ......................................................... 43

5.4.1. Intervalles de confiance asymptotiques ........................................................ 44

5.4.2. Intervalles de confiance à distance finie ........................................................ 46

6. Références ....................................................................................................................... 46

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1. La prise en compte de censure dans les modèles de durée

modèle de durée censuré en fonction du type ǯǡ

ǡǯ1.

En pratique on peut être confronté à une censure droite (si X ǯǡ

ǯC indique que

CX de la censure C indique que CX savoir à quel âge X ǯǯ CX CX

1.1. Censure de type I : censure fixe

Soit un échantillon de durées de survie

1,,nXX

et 0C fixé; la vraisemblance du modèle associé aux observations

11, , , ,nnT D T D

avec : CXTii et d CXsi CXsiD i i i0 1 possède une composante continue et une composante discrète Ǣǯ : 1 1 ii nDD i i

L f T S C

qui intervient dans la vraisemblance, et dans le cas contraire on retrouve le terme discret, avec comme valeur la fonction de survie à la date de censure. La distribution est donc continue par rapport à iT et discrète par rapport à iD Pour démontrer cette formule, il suffit de calculer ,,i i i i i iP T t t dt D d quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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1.1. Censure de type I : censure fixe ............................................................................... 4

1.1.1. Estimation ponctuelle ....................................................................................... 5

1.1.2. Estimation par intervalle ................................................................................... 6

1.2. Censure de type III : censure aléatoire ..................................................................... 7

1.2.1. ǯ ................................................................................. 7

1.2.2. La prise en compte de covariables ................................................................... 9

1.3. Un autre type de censure : " arrêt au rième décès » (censure de type II) ................ 9

1.4. Troncature ................................................................................................................ 12

1.5. Synthèse : troncature gauche et censure aléatoire droite .................................... 13

1.5.1. Expression générale de la vraisemblance ....................................................... 13

1.5.2. Cas particulier du modèle exponentiel, lien avec le modèle de Poisson ...... 14

1.5.3. Maximum de vraisemblance discrétisé ........................................................... 14

2. Vraisemblances latente et observable en présence de censure .................................. 16

2.1. Application de la méthode du maximum de vraisemblance ................................. 18

2.1.1. Généralités ........................................................................................................ 18

2.1.2. Vraisemblance latente et vraisemblance observable .................................... 19

2.2. Écritures particulières aux modèles de durée ........................................................ 19

2.3. Exemple : le modèle de Weibull ............................................................................. 20

2.3.1. Estimation des paramètres ............................................................................. 20

2.3.2. Application numérique .................................................................................... 21

2.4. Les algorithmes numériques de maximisation de la vraisemblance .................... 22

2.4.1. ǯ-Raphson ................................................................. 23

2.4.2. ǯ-Maximisation (EM) ................................................. 24

2.4.3. Les autres méthodes ....................................................................................... 24

3. Les modèles à hasard proportionnel ............................................................................ 25

3.1. Cas où la fonction de hasard de base est connue ................................................. 26

3.1.1. Équations de vraisemblance ........................................................................... 27

3.1.2. Information de Fisher...................................................................................... 28

3.2. ǯ : le modèle de Weibull ............................ 28

3.2.1. Présentation générale ..................................................................................... 28

3.2.2. Cas particulier du modèle exponentiel .......................................................... 29

3.3. ǯ : le modèle de Cox ..... 30

3.3.1. Estimation des paramètres .............................................................................. 31

3.3.2. Tests du modèle .............................................................................................. 33

4. Les tests fondés sur la vraisemblance ........................................................................... 34

4.1. Rapport des maxima de vraisemblance ................................................................. 34

4.2. Test de Wald ............................................................................................................ 34

4.3. Test du score ........................................................................................................... 35

5. Illustrations : ajustement de taux de mortalité bruts .................................................. 35

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5.3.2. Ajustements logistiques.................................................................................. 42

5.3.3. Estimation des paramètres ............................................................................. 43

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5.4.1. Intervalles de confiance asymptotiques ........................................................ 44

5.4.2. Intervalles de confiance à distance finie ........................................................ 46

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ǡǯ1.

ǯC indique que

1.1. Censure de type I : censure fixe

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11, , , ,nnT D T D

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