[PDF] Une histoire des nombres: Oct 14 2011 Les chiffres

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DavidAubin 14/10/2011

LG301ͲCours51

Uneȱhistoireȱdesȱ

nombres: concepts,ȱ représentationsȱetȱpratiques daubin.aubin@upmc.fr

14/10/2011LG301 - Histoire des nombres1Sommaire

1. Le nombre, la numération, le calcul dans

l'Antiquité

2. Deux types de mathématiques; deux types

d'arithmétique en Grèce ancienne

3. Les chiffres arabes et l'invention de l'algèbre

4. Mathématiques et commerce en Europe, 1200-

1500

5. La géométrie analytique de Descartes14/10/2011LG301 - Histoire des nombres2

Qu'estȬceȱqu'unȱnombre?

Représentations physiquesSystème verbal

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•Parties du corps, cailloux, brindilles, encoches, coquillages, ficelles... •Des " chiffres » qui apparaissent en même temps que l'écriture (il y a env. 5000 ans). •Des systèmes de numérotation.•Des sons qui reproduisent les systèmes de numérotation.

•Sans doute postérieur aux représentations physiques (pas de mots différents pour des choses différentes)Leopold Kronecker (19

e siècle) :

"Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme. »Rappel:ȱConceptionȱmoderneȱ

desȱnombresȱréels

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•Trois aspects de la question à prendre en compte:

1) La conception du nombre:

Quelle est sa nature mathématique ou philosophique?

Y a-t-il des types différents de nombres?

2) La représentation des nombres:

Quel système de numération est employé pour écrire les nombres?

3) La manipulation des nombres:

En particulier, quels méthodes de calcul sont employées? Peut-on manipuler d'autres objets comme si c'était des nombres (inconnues ou grandeurs géométrique)?14/10/2011LG301 - Histoire des nombres51 leȱcalculȱdansȱl'Antiquité La préhistoire, les " Babyloniens », les Egyptiens, les Grecs

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L'ethnomathématique

•Due à l'anthropologue brésilien Ubiratan

D'Ambrosio.

•Leigh Wood: " Toutes les cultures sont mathématisées, dans le sens où toute culture utilise des idées mathématiques dans la vie quotidienne. » •Professeur Mariana Ferreira (SFSU) à une femme xingu dans l'Amazonie: " Vous avez un stylo et je vous en donne un autre: combien de stylos avez- vous? - J'ai un stylo. - Comment obtenez-vous cette réponse? - J'ai un stylo, je n'ai pas besoin de l'autre. »

Cf. http://www.ethnomath.org

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Laȱreprésentationȱdesȱ

nombres •Mathématiques préhistoriques= avant l'écriture •Quelques artefacts difficiles à interpréter. •Le bâton d'Ishango(Congo) o168 encoches sur un os, regroupées systématiquement. o25 000 ans avant aujourd'hui.

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Institutȱroyalȱdesȱsciencesȱ

naturellesȱdeȱBelgique

Lesȱsystèmesȱdeȱ

numérationȱoraux •Pour compter, les habitants de l'île de Pâquesutilisent les doigts des deux mains, mais jamais les orteils. •De 1 à 10, les syllabes sont prononcés comme un seul mot, dans les multiples de

10 les mots sont bien

séparés. •Pour se rappeler d'un nombre, on fabrique des faisceaux des joncs. •Thomson, W. J. (1891). Te Pito Te Henua, or Easter Island. Washington, DC:

Government Printing Office.

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Laȱnumérationȱdesȱ

Egyptiens

•Aussi vieille que les pyramides: •La base 10: odes symboles pour 1, 10, 100, 1000, 10 000,

100 000, 1 000 000...

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1ȱ333ȱ331

Lesȱfractions

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•Dénotation des fractions 1/2, 1/3, 1/4... •La règle de Maya (trésorier de Toutankhamon vers - 1330). •Papyrus de Rhind (vers -1650). •Table de valeurs de 2/n: 6 9 @5 7>5 59
6 @5 8>5 6< pyrus.jpg?w=578&h=363

LesȱMésopotamiens

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8000: premiers jetons

3500-3000: à Uruk,

l'écriture, la comptabilité...

Vers 2000: Ur III, la

notation sexagésimale

1600-2000: Babylone,

mathématiques florissantes: multiplication, racines, puissances, problèmes algorithmiques.... Uruk Ur

Babylone

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LesȱMésopotamiens

Les " calculis » sumériens

(env. 4000 av. J.-C.)Les cunéiformes (env. 1800 av. J.-C.)

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Babyloneȱ(versȱ-1800)

•Trios pythagoriciens

Tablette dite de

Plimpton 322

(Univ. Columbia, NY) •Table de multiplication

University of

Pennsylvania

Museum B6063

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pythagoras/items/plimptonȬ

322/images/P322obv.png

Unȱsystèmeȱdeȱ

notationȱ positionnel 2

Deuxȱtypesȱd'arithmétique

Platon, Euclide, pratiques hybrides.

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Lesȱmathématiquesȱ

grecques •Rappel:

Deux types de mathématiques chez Euclide:

géométrie et arithmétique oLes nombres sont composés d'unités; les grandeurs sont toujours divisibles. oLes grandeurs ne peuvent donc pas être représentées par des nombres! oOrigines distinctes chez Eudème de Rhodes: Origine phénicienne des nombres. " c'est assurément chez les Phéniciens, à cause du commerce maritime et des contrats, que la connaissance précise des nombres a débuté [...]. »

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LaȱnumérationȱdesȱGrecs

•Le système archaïque de l'Attique •Le système ionien: ce système ne permet pas de faire des calculs.

Les calculs se font à l'aide

d'un abaque.

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L'abaqueȱoccidental

•Différent du boulier (=l'abaque oriental) •Détail du vase de Darius (provenant de Canossa)

Vers - 350.

Museo Archeologico Nazionale, Naples

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http://www.encyclopedieȬ

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Lesȱchiffresȱromains

•Principes de numération à la fois additifs et soustractifs. •Ne permettent pas d'algorithme de calcul. •Utilisés majoritairement en Europe occidentale jusqu'à la fin du Moyen

Âge.

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Philosophesȱetȱvulgaire

•Platon(rappel): Philèbe. "SOCRATE: Ne doit-on pas reconnaître qu'il y a une arithmétique pour le vulgaire et une autre propre aux philosophes ? [...] Car les uns font entrer dans le même calcul des unités numériques inégales, par exemple, deux armées, deux boeufs... » "PROTARQUE: Tu as raison de dire que la différence entre ceux qui s'occupent des nombres n'est pas petite, et qu'on est par conséquent fondé à distinguer deux espèces d'arithmétique. » •La logistique (=le calcul et la numération) et l'arithmétique (=science des nombres).

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Platon,ȱLaȱRépublique

•SOCRATE: l'étude [de la logistique et de l'arithmétique ] est nécessaire au guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais arithméticien. [...] Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions publiques de se livrer à la science du calcul, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence [...].

•S: Et j'aperçois maintenant [...] combien [la science des nombres] est belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on l'étudie pour connaître et non pour trafiquer.G: Qu'admires-tu donc si fort en elle?S: Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en eux-mêmes, sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements des nombres visibles et palpables.

14/10/2011LG301 - Histoire des nombres2114/10/2011LG301 - Histoire des nombres22

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