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CCPCorrigéMath 2018Problème 1 Partie I - Étude des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre 2 I.1 - Exemple simple Q1. La variable suit la loi de Bernoulli de paramètre , ssi et . Bien entendu, cela entraîne : , ce dernier paramètre étant souvent noté .

Q2. Les variables et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs (on parle de variable aléatoire finie), elles admettent des espérances , et (cours de première année) qui ne sont que des sommes finies. Leur existence ne fait donc pas problème. La question n'est pas posée, mais ces espérance sont faciles à calculer : et également (on a en réalité : ).

I.2 - Cadre général Remarque générale : d'après le cours sur les couples de variables aléatoires, la famille détermine la loi du couple , tandis que les familles , et , les lois marginales.

Q3. L 'égalité s'écrit . D'après le cours sur les couples de variables aléatoires, on sait que sont indépendantes ssi, par définition :

pour tout couple .

Q4. D'après la formule de transfert : lorsque cette série converge absolument. C'est le cas si l'on prend (puisque ). On obtient :

. De même : .

Q5. Utilisons le système complet d'événements associé à la variable : pour tout événement

l'on a , et en particulier : soit : . Remplaçons donc par la somme dans la formule de la question (Q4), et il vient :

On a de même d'où et alors :

Q6. Posons et , on a trivialement . Remplaçons : il vient , et donc

Q7. Considérons les variables aléatoires et . Les variables étant supposées appartenir à (voir le début de la partie I.2), les variables et sont d'espérances finies.

2

E[V]E[V

2]E[V]=0â‹…(1-p)+1â‹…p=pE[V

2 ]=0 2 ⋅(1-p)+1 2 ⋅p=pV=V 2 r i,j) (X,Y) p i)( q j) r i,j =p i ×q j P[X=x i ,Y=y j ]=P[X=x i ]×P[Y=y j ]X,Yr i,j =p i ×q j (i,j)

E[f(X)]=

i=0 f(x i )P[X=x i f(t)=t 2

Xâˆˆí µ

2 d E[X 2 i=0 x 2 i P[X=x i ]E[Y 2 j=0 y 2 j P[Y=y j YA P[A]= j=0

P[A∩

Y=y j) ]P[X=x i j=0 P[ X=x i) Y=y j) ]p i j=0 r i,j P[X=x i ]=p i ∑j=0 r i,j E[X 2 i=0 x 2 i P[X=x i i=0 x 2 i j=0 r i,j) i=0 j=0 x 2 i r i,j) P[Y=y j j=0 P[ Y=y j) X=x i) ]q j i=0 r i,j E[Y 2 j=0 y 2 j P[X=x i j=0 y 2 j i=0 r i,j) j=0 i=0 y 2 j r i,j) a=|x|b=|y|a 2+b 2 -2ab=(a-b) 2 ≥0|x| 2 +|y| 2 -2|x||y|≥0 |x| 2 +|y| 2 2 x 2 +y 2 2 T=XY Z= X 2 +Y 2 2

X,Yí µ

2 d X 2 Y 2

Marc Tenti!/!18

CCPCorrigéMath 2018Or, la variable est une combinaison linéaire et , elle est donc d'espérance finie, avec . C'est la linéarité de l'espérance. Par ailleurs, on a . Donc on peut appliquer à le résultat admis. On obtient : l'espérance de existe, et :

Q8. Soit donc deux variables aléatoires appartenant à . Soit . On a, d'après la question (Q6) :

Posons et : on a et est d'espérance finie. Il suffit alors d'appliquer de nouveau le résultat admis à la question précédente. On obtient :

On a montré que est un sous-espace vectoriel de l'espace des variables aléatoires réelles.

I.3 - Artifice de calcul : utilisation de la loi certaine Q9. L'ensemble image de est . La loi de est définie par : .

Q10. On a alors, par la formule de transfert pour une variable finie : On a bien . Notons que c'est aussi le cas de toute variable finie. Q11. Posons , le résultat de la question (Q7) est : est d'espérance finie, et

Or la fonction est la constante , et on a vu à la question (Q10) : . On a obtenu que est d'espérance finie, et que l'on a :

Q12. Dans le cas de variables aléatoires finies, on a :

Alors : , et par linéarité :

car

Q13. Soit deux variables aléatoires appartenant à , la question Q7 donne que est d'espérance finie, et la question (Q11) donne que , et aussi , sont d'espérances finies. Alors leur covariance existe.

Partie II - Étude de la matrice de covariance II.1 - Étude d'un exemple Q14. Soit la formule des probabilités totales, pour le système complet d'événements (), () :

Z= 1 2 X 2 1 2 Y 2 X 2 Y 2 E[Z]= 1 2 E[X 2 1 2 E[Y 2 1 2 E[X 2 ]+E[Y 2 1 2 E[X 2 ]+E[Y 2

X,Yí µ

2 d

X+λY

2 =X 2 2 Y 2 2 2 Y 2 +2|λ||XY| 2 2 Y 2 +2|λ| X 2 +Y 2 2 =X 2 2 Y 2 +|λ|(X 2 +Y 2

1+|λ|

X 2 2 Y 2 T=

X+λY

2 Z=

1+|λ|

X 2 2 Y 2 2 d 2 d 2 d

ZZ(Ω)={1}ZP[Z=1]=1E[Z

2 1 i=1 1 2 â‹…P[Z=1]=1 2 â‹…P[Z=1]=1Zâˆˆí µ 2 d Y 1 =ZXY 1 E[XY 1 1 2 E[X 2 ]+E[Y 2 1 Y 1 =Z1E[Z 2 1 2 E[X 2 ]+1

X-E[X]

Y-E[Y]

=XY-E[X]Y-E[Y]X+E[X]E[Y]E

X-E[X]

Y-E[Y]

=E

XY-E[E[X]Y-E[Y]X+E[X]E[Y]

E

X-E[X]

Y-E[Y]

=E XY-E E[X]Y -E E[Y]X +E

E[X]E[Y]

=E XY -E[X]E Y -E[Y]E X +E[X]E[Y]E 1 =E XY -E[X]E[Y]-E[Y]E[X]+E[X]E[Y]E[1]=1=E XY -E[X]E[Y]X,Yí µ 2 d XYXYV 3 =0V 3 =1P[(V 1 =i)∩(V 2 =j)]=P[(V 1 =i)∩(V 2 =j)∩(V 3 =0)]+P[(V 1 =i)∩(V 2 =j)∩(V 3 =1)]

Marc Tenti!/!28

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