[PDF] Examen de mécanique analytique (L4)

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FIP | ENSAnnee 2016-2017

Mecanique analytique

StephanFauve, AurelieFargette& ArnaudRaoux

Examen de mecanique analytique (L4)

Les deux parties contribueront de maniere equivalente a la note nale.Merci de les traiter sur des copies separees. Les copies presentant des sous-parties traitees en profondeur seront valorisees, a l'inverse des tentatives de grapillage. On prendra garde atoujours indiquer les variablesdes fonctionnellesL,H,S,L,H considerees.

1 Formation de rides sous l'eet d'une compression

L'objectif de cette partie est d'etudier le comportement d'une membrane inextensible lors- qu'elle est soumise a une force de compression. La premiere partie s'interesse au probleme uni- dimensionnel de la deformation d'une membrane exible posee a la surface d'un bain liquide, comprimee dans une direction (en reduisant la distance entre ses deux extremites). La seconde partie cherche a modeliser l'apparition de rides a la surface d'un lm elastique etire dans une direction, ce qui cause une compression du lm dans la direction transverse. Pour ce deuxieme probleme on ne considere plus de bain liquide sous la membrane.

1.1 Probleme uni-dimensionnel : membrane sur un bain liquide

On considere une membrane

exible mais inextensible posee sur un bain liquide. La mem- brane sera comprimee selon l'axeOy, et on supposera que le probleme est invariant par transla- tion selonOx. Soit`la largeur de la membrane selonOx, etWla longueur initiale selonOy. On impose aux extremites d'^etre rapprochees selon l'axeOyd'une distance W. La membrane initialement plane va se deformer selon l'axeOz(ascendant), et adopter une forme minimisant l'energie totale du systeme compose de la membrane et du bain liquide. Cette energie totale est la somme de l'energie de courbure de la membrane et de l'energie potentielle du liquide sous- jacent (la surface du bain liquide etant determinee par la forme de la membrane, une apparition de rides au niveau de la membrane cause un deplacement de liquide, donc un changement de l'energie potentielle de pesanteur du liquide). On donne l'expression de l'energie de courbure (bending)UBet de l'energie potentielle de pesanteur du liquide sous-jacentUp: U B=`B2 Z B A (@s)2dsetUp=`K2 Z B A h2cosds(1) ousest une abscisse curviligne,hle deplacement vertical local (selon l'axeOz),l'angle local entre l'horizontale et la surface,Bune constante appelee raideur de courbure, etKune constante reliee a la masse volumique du substrat.AetBsont les positions reperant les extremites de la membrane selon l'axeOy.

1.Faire un schema du systeme etudie, sur lequel vous representerez les grandeurs localeseth,

ainsi que les variations dy, dhet ds.

2.Justier l'expression deUp.

3.Donner les dimensions deBetK. On se placera ensuite dans les unites ou`=B=K= 1.

4.A cause de la compression, la distance entre les deux extremites de la membrane selon l'axe

OyestW. Exprimer la contrainte d'inextensibilite en egalant a une integrale curviligne faisant intervenir cos. 1

5.Exprimer@shen fonction de. On admettra qu'on peut traiterhetcomme variables independantes

a condition d'ajouter un termeRB AQ(s)(@shsin)dsa l'action. Quel est le r^ole deQ(s)?

6.En deduire une action dont la minimisation selonethdonnera la solution du probleme (en

prenant en compte toutes les contraintes).Ecrire le lagrangienL(s;;;@s;h;@sh) le plus simple correspondant.

7.Calculer les impulsions conjuguees et le hamiltonien equivalent.

8.Exprimer les equations de Hamilton, et montrer que l'une se met sous la forme

3s+(@s)22

+P s+h= 0 (2) ouPest un coecient dont on justiera la presence.

9.En deduire une equation d'ordre 4 uniquement en fonction de.

10.Integrer une premiere fois cette equation, montrer qu'elle se met sous la forme

3s@s12

(@2s)2+f(@s)(@s)22 + 1cos= 0 (3) avecf(@s) une fonction polynomiale d'ordre 2 a determiner. Il est possible de resoudre explicitement cette equation, mais la methode est assez penible. Ci-dessous sont representees dierentes solutions pour cette equation. Pour desPproches de la valeur critique 2, on observe un prol sinusodal. Cependant, lorsquePdiminue, c'est-a-dire lorsque augmente, le prol change et toute la deformation se concentre au centre du prol.-4-2024 y -2024681012 z

P= 0.5P= 1.0P= 1.5P= 1.9

(a)

P= 0.04

4-2024

y

024681012

z

P= 0P= 0.5P= 1.9

P= 1.5

(b)

P= -0.71.2 Eet a deux dimensions

On observe egalement des rides lorsqu'on etire une membrane elastique selon l'axeOxcar cela produit par reaction une compression selon l'axe perpendiculaireOy, et peut conduire a la formation de rides selon le m^eme phenomene que dans la partie precedente. On etudie la situation sur la gure ci-dessous, ou un lm est etire selonOxet libre selon Oy. Dans ce probleme, on oublie l'eet du bain liquide sous la membrane, et on supposera la membrane inextensible selonOy. 2 La hauteurh(x;y) n'est maintenant plus prise comme une fonction de l'abscisse curviligne, mais est entendue comme un champ scalaire. On admet que selon l'axeOy, la condition d'inextensi- bilite s'ecrit :ZW 0 12 @yh2(x)W dy= 0 (4) ou (x) est comme dans la partie precedente la compression selon l'axeOypar rapport a la longueurW; comme on le voit sur la gure ci-dessus, celle-ci peut dependre de la positionx.

La fonctionnelle a minimiser s'ecrit maintenant

U=B2 Z

S@2yh2dS+12

Z S f(x)(@xh)2dSZ S b(x)12 @yh2(x)W dS:(5)

1.Interpreter chacun des termes deU. Donner en particulier la dimension et une interpretation

physique de la fonctionf(x).

2.Exprimer la densite lagrangienneLassociee au probleme. Dans ce probleme, les equations pour

les champs vues en cours et en TDs ne sont plus valides, deriverexplicitementles nouvelles equations d'Euler-Lagrange pour cette densite lagrangienne.

3.En deduire que la fonctionhverie l'equation aux derivees partielles

B@

4yhf(x)@2xh+b(x)@2yh= 0:(6)

4.Justier que l'on cherche une solution sous la formeh(x;y) =P

nAncos(kny+n)Xn(x), avec k n=2nW , et donner les conditions aux limites associees aux fonctionsXn. 5. Etablir l'equation dierentielle veriee par les fonctionsXn, en faisant appara^tre la pulsation

2n=b(x)Bk2nf(x)k2n(7)

6.La resoudre en supposantbetfconstantes, et ne conserver que la solution minimisant la

courbure du probleme. En deduire l'expression de!nne faisant pas appara^tren. Trouver la solution generale necessite une approche numerique. L'objectif des questions sui- vantes est de trouver une loi d'echelle pour la longueur d'onde et l'amplitude des rides. Pour cette raison, on considere dans la suitehAcos(ky+)X(x) en se rappelant que leskpossibles sont leskndenis precedemment; et on cherche des relations entre,A, et les parametres du systeme.

7.Deduire de la relation d'inextensibilite un lien entreAetk. Commenter cette relation en faisant

appara^tre.

8.Montrer que l'energie totale peut s'ecrire

U=Bk2L+2fk

2L(8) 3

9.En deduire une loi d'echelle entre,L, et les parametres physiques du probleme. Commenter

cette relation.

References

H. Diaman t& T.A. Witten, Compression Induced F oldingof a Sheet : An In tegrable

System,Phys. Rev. Lett.107, 164302 (2011).

E. Cerda & L. Mahadev an,Geometry and Ph ysicsof W rinkling,Phys. Rev. Lett.90,

074302 (2003).

2 Oscillateurs couples

2.1 Machine d'Atwood

On considere la machine d'Atwood representee gure 1 : un l passant sur une poulie relie deux massesm1etm2. Le l est suppose de masse negligeable et non elastique, sa longueur est donc constante. La poulie est egalement supposee de moment d'inertie negligeable et sans frottement. La position de la massem1par rapport a sa position initiale est reperee parx(t).

L'acceleration de la pesanteur est noteeg.m

2 m 1 xFigure1 { Machine d'Atwood 1. Ecrire le Lagrangien du systeme en fonction dex, _x,m1,m2etg. En deduire l'equation de Lagrange. 2. Retrouv erle r esultatpr ecedenten expriman tla c onservationde l' energie.P ourquoia-t-on conservation de l'energie? 3. Indiquer sur un sc hemales forces s'appliquan taux deux masses et ala p oulie.Com- ment retrouvez-vous les resultats precedents dans le cadre du principe fondamental de la dynamique?

2.2 Pendules couples

On utilise le dispositif precedent pour coupler deux pendules (voir le schema de la gure 2. On suppose quem1se deplace suivant la verticale et quem2eectue des oscillations d'amplitude (t). On noter(t) la longueur du deuxieme pendule. On prendm1=m2=m. 1. Ecrire le Lagrangien du systeme en fonction der, _r,,_,metg. 2.

En d eduireles equationsde Lagrange p ourret.

3. Lin eariserles equationsde Lagrange p our_ retpetits.m1etm2ont une vitesse initiale nulle et(t= 0) =petit. Integrer les equations pourret. 4 m 2 m 1 rFigure2 { Pendules couples 4. Donner l'expression de l' equationde Lagrange p ourren gardant les termes non lineaires d'ordre le plus bas enet_. 5. En utilisan tla solution appro cheetrouv eep our, determiner l'acceleration dem1en fonction deetg, en l' evaluant en moyennant sur une periode d'oscillation. Dans quel sens se deplace la massem1. 6. Si la masse m1n'est pas maintenue sur la verticale, pensez-vous qu'elle va se mettre a osciller?

2.3 Transfert d'energie entre oscillateurs couples non lineairement

On considere trois oscillateurs couples non lineairement. Le Lagrangien du systeme est L=3X k=1 _x2k!2kx2kV x1x2x3:(9) Initialement, un seul oscillateur possede une amplitude d'oscillation nie, les deux autres sont au repos. On veut determiner dans quelles conditions cet oscillateur peut exciter les deux autres. Il faudra pour cela analyser la stabilite lineaire des deux oscillateurs au repos. 1. Ecrire les equations de Lagrange pour les amplitudes des 3 oscillateurs,xk(t) (k= 1;2;3). 2. On c herche ar esoudreap proximativementce syst emed' equationspar la m ethodedes echelles multiples. Il faut pour cela que les amplitudes soient faibles. On notexk(t) = y k(t;T) avecT=tet1.Ecrire les equations pour lesyk(t;T). 3.

On c herchedes solutions sous la forme,

y k(t;T) =y(0) k(t;T) +y(1) k(t;T) +2y(2) k(t;T) +(10)

Ecrire les equations pour lesy(0)

k(t;T). 4. Mon trerque les solutions al'ordre 0 son tdonn eespar : y (0) k(t;T) =Ak(T)expi!kt+A k(T)expi!kt:(11) 5.

Ecrire les equations pour lesy(1)

k(t;T) obtenues a l'ordre suivant. 6. En ecrivantles condi tionsde solv abilite,mon trerque les amplitudes complexes Ak(T) sont constantes sauf si les pulsations!kobeissent a des relations que l'on determinera. 5

7.On consid ereles equations

2i!1dA1dT

=V A2A3;(12)

2i!2dA2dT

=V A1A

3;(13)

2i!3dA3dT

=V A1A

2:(14)

Quelle est la relation entre les!kqui doit ^etre satisfaite? 8. Quelle sym etrieimp ose-t-elleque le co ecientde prop ortionnaliteen trec haqued erivee et le terme non lineaire correspondant soit imaginaire pur? 9. On supp oseque l'on a initialemen tl'oscillateur (1) excit e: A1=A(0)

1etA2'0,A3'0.

Lineariser les equations pourA2etA3.

10.

Cherc herdes solutions A2=A(0)

2expsTetA3=A(0)

3expsTet donner les solutions pour

s. Montrer que la solution initiale est instable i.e. que les amplitudes des oscillateurs (2) et (3) augmentent exponentiellement en fonction du temps. 11. On s uppose apr esentque l'oscillateur (2) est initialemen texcit e,les deux autres etant au repos. Cette solution est-elle stable? M^eme question dans le cas de l'oscillateur (3). 12. Quelle es tla condition sur les pulsation sp ourqu'un oscillateur puisse exciter les deux autres? 13. On p oseNk=!kjAkj2. Montrer les relations de Manley-Rowe,N1+N2=C,N1+N3=C0 ouCetC0sont des constantes. Donner l'interpretation physique de ces relations. 14. Mon trerque N1!1+N2!2+N3!3est constant. Que represente cette quantite?

2.4 Couplage gyroscopique (les calculs sont un peu longs)

On considere le pendule double represente gure 3. Les massesm1etm2sont reliees par des barres solides de longueurlet de masse negligeable. Les deux pendules sont astreints a osciller dans des plans perpendiculaires. Leurs angles par rapport a la verticale sont respectivement1 et2. L'ensemble du dispositif est en rotation autour de l'axe vertical 0z, (angle(t)). On note

2=m2=(m1+m2). L'acceleration de la pesanteur est noteeg.m

2 m 1 1 2 xyz u0Figure3 { Couplage gyroscopique 6

1.Donner les expression des co ordonneesd esmasses m1etm2en fonction del,1,2et

(t). 2.

Donner l'expression d uLagrangien

3.

Ecrire les equations de Lagrange pour1et2.

4. On supp oseque le disp ositiftou rne avitesse angulaire constan te _= et que les pendules sont initialement suivant la verticale. Lineariser les equations de Lagrange dans la limite

1et2petits. Montrer que l'on obtient les equations

1= 2gl 122
_2;(15) 2= 2 _1+ 2gl

2:(16)

5. Cherc herles solutions p our1et2en expst. Donner l'equation pourset indiquer la localisation dans le plan complexe des solutions poursdans le cas ou est faible. Montrer que lorsque atteint une valeur critique c, la solution1=2= 0 devient instable. Comment sont les solutions poursdans le plan complexe lorsque c? 7quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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