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Centrale-supelec 2014CorrigeUn corrig´e du concours Centrale-sup´elec Math-II- 2014 Fili`ere MP

Propos´e par Mr : HAMANI Ahmed

I- D´efinitions et propri´et´es usuelles

I-A

Polynˆomes de premi`ere esp`ece

I-A-1

Les polynˆomesT0,T1,T2etT3

- On a les relations?θ?R,T0(cos(θ)) =1,T1(cos(θ)) =cos(θ),T2(cos(θ)) =2cos2(θ) -1et

T

3(cos(θ)) =4cos3(θ) -3cos(θ).

Donc par unicit´e, on obtientT1=1,T2=X,T2=2X2-1etT3=4X3-3X. I-A-2

Expression deTn

?θ?R,?n?N,ein= (cos(θ) +isin(θ))n=n∑ k=1C kncosn-k(θ)iksink(θ). En prennant la partie r´eelle des deux membres, on obtient cos(nθ) =∑

2kn(-1)kcosn-2k(θ)sin2k(θ) =∑

2kn(-1)kcosn-2k(θ)(1-cos2(θ))k.

Et par unicit´e on auraTn=∑

2kn(-1)kXn-2k(1-X2)k=∑

2knXn-2k(X2-1)k.

I-A-3

Une relation de r´ecurence entre lesTn

?n?N,Tn+2(cos(θ))+Tn(cos(θ)) =cos((n+2)θ)+cos(n(θ)) =2cos((n+1)θ)cos(θ) =2cos(θ)Tn+1(cos(θ)).

Ce qui entraine par unicit´eTn+2+Tn=2XTn+1.

Degr´e et coefficient dominant deTn.

On va montrer par une r´ecurrence forte surnquedom(Tn) =2n-1etdeg(Tn) =n. - La propri´et´e est vrai pourn=0,1,2et3. - Supposons que pour un certainn≥2,dom(Tn) =2n-1,dom(Tn+1) =2n, etdeg(Tn) =n, deg(Tn+1) =n+1, alors,deg(Tn+2) =deg(2XTn+1-Tn) =deg(XTn+1) =1+n+1=n+2. dom(Tn+2) =dom(2XTn+1) =2dom(Tn+1) =22n=2n+1.

Une m´ethode qui utilise l'expression deTn.

On a?n?N,Tn=∑

2knXn-2k(X2-1)k.

On remarque que?k?[0,n/2],n-2k+2k=n, de plus le coefficient deXnest 2kn=1 2 (n∑ k=0(1+ (-1)k)Ckn) =1 2 n k=0C kn+1 2 n k=0(-1)kCkn=1 2 (1+1)n+1 2 (1-1)n=2n-1.

En conclusiondeg(Tn) =netdom(Tn) =2n-1.

I-A-4

Les racines deTn

?n?N?,Tn(cos(θ)) =0⇐⇒cos(nθ) =0⇐⇒θ=(2k+1)π 2n , k?Z. On a donc?k?[[0,n-1]],Tn(cos(θk)) =0o`uθk=(2k+1)π 2n , de plus?k?[[0,n-1]],θk?]0,π[et la fonction cosinus est bijective de] -1,1[vers]0,π[, doncTnadmetnracines distinctes sur] -1,1[, `a savoir lescos(θk)o`uk?[[0,n-1]]. I-B

Polynˆomes de deuxi`eme esp`ece

I-B-1

Expression deUn(cos(θ))

- En d´erivant l'expressionTn+1(cos(θ)) =cos((n+1)θ)par rapport `a la variableθ, on obtient

-sin(θ)T?n+1(cos(θ)) = -(n+1)sin((n+1)θ), ce qui entraine que ?θ?R rπZ,?n?N,T?n+1(cos(θ)) n+1=sin((n+1)θ) sin(θ), c'est `a direUn(cos(θ)) =sin((n+1)θ) sin(θ). I-B-2 a )Une relation de r´ecurence entre lesUn -?n?N,Un+2(cos(θ)) +Un(cos(θ)) =1 sin(θ)(sin((n+2)θ) +sin(nθ)) = 2 sin(θ)(cos(θ)sin((n+1)θ)) =2cos(θ)Un+1(cos(θ)) ce qui donne par unicit´e desUnqueUn+2+Un=2XUn+1. b )Racines deUn - Les racines deUnsont celles deT?n+1, orTn+1admetn+1racines distinctes sur]-1,1[, donc par

application du th´eor`eme des accroissements finies entre deux z´eros cons´ecutifs deTn+1, on obtient

un z´ero deT?n+1, ce qui prouve queUnadmetnracines distinctes sur] -1,1[. 1/ 5

Centrale-supelec 2014Corrige?n?N,Un(cos(θ)) =0⇐⇒sin((n+1)θ) =0⇐⇒(n+1)θ=kπ , k?Z.

Donc?k?[[1,n]],Un(cos(φk)) =0o`uφk=kπ

n+1, lescos(φk)sont distincts deux `a deux grˆace `a la bijectivit´e decosinusde] -1,1[vers]0,π[. Donc les racines deUnsont lescos(φk)o`uk?[[1,n]]. II- Arithm´etique des polynˆomes de Tchebychev II-A

Division euclidienne

II-A-1

T n+mTn-m=2TnTm. U n+m-1+Un-m-1=2Un-1Tm.

II-A-2

a ) - Sim < n < 2m, alors0 < n-m < m, donc d'apr`es(II-A-1),TmTn-m=1 2 (Tn+T2m-n), c'est `a direTn=2Tn-mTm-T2m-n=2Tn-mTm-Tjn-2mjavec0 < 2m-n < 2m-m=m=deg(Tm). T n-mTm=1 2 (Tn+Tn-2m), c'est `a direTn=2Tn-mTm-Tn-2m=2Tn-mTm-Tjn-2mjavec

On conclut queQn;m=2Tn-metRn;m= -Tjn-2mj.

b ) - Soitn= (2p+1)mo`up?N?, on applique l'´egalit´e de(II-A-1)au couple(n,m)←(2km,m) o`uk?[[1,p]], on obtient2T2kmTm=T(2k+1)m+T(2k-1)m, ce qui entraine que

2(-1)p-kT2kmTm= (-1)p-kT(2k+1)m-(-1)p-k+1T(2k-1)m, ce qui donne en sommant dek=1`a

k=p, on obtient par t´el´escopie T n-(-1)pTm=T(2p+1)m-(-1)pTm=p∑ k=1? (-1)p-kT(2k+1)m- (-1)p-k+1T(2k-1)m?=2Tmp k=1(-1)p-kT2km.

DoncTn=Tm?

(-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2km? , donc Q n;m= (-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2kmetRn;m=0. c ) - On consid`ere l'ensembleAn;m=fk?N?/(2k-1)m < ng. Par hypoth`esen?= (2(0) +1)m, donc1?An;mde plusAn;mest major´e par1+E?n/m+1 2 , donc admet un maximump. entier impair, donc(2p-1)m < n <(2p+1)m, c'est `a direjn-2pmj< m. -?k?[[0,p-2]],n- (2k+1)m≥n- (2p-3)m≥2m > m, donc ?k?[[0,p-2]],2TmTn-(2k+1)m=Tn-2km+Tn-(2k+2)m, donc

2(-1)kTmTn-(2k+1)m= (-1)kTn-2km- (-1)k+1Tn-(2k+2)m, ce qui donne par t´el´escopie en som-

mant dek=0`ak=p-2 T n=2Tmp-2∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)p-1Tn-(2p-2)m. Orm < n- (2p-2)m < 3m, donc d'apr`es la questiona), T n-(2p-2)m=2TmTn-(2p-1)m-Tjn-2pmjet par suite T n=2Tmp-1∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)pTjn-2pmj, ce qui donne le r´esultats puisque jn-2pmj< m=deg(Tm). II-B

Plus grand commun diviseur

II-B-1

Pgcd deUnetUm

- Posonsn+1=hn1etm+1=hm1. - Soitrune racine deUh-1, alors?k?[[0,h]]tel quer=cos?kπ h =cos?kn 1π n+1? =cos?km 1π m+1? doncrest une racine commune deUnet deUm. - R´eciproquement sirest une racine commune deUnet deUm, alors?(k,k?)?[[1,n]]×[[1,m]]tel quer=cos?kπ n+1? =cos?k?π m+1? , donckπ n+1=k?π m+1et par suitekm1=k?n1, orn1etm1 sont premiers entre eux, donc par le th´eor`eme de Gauss,n1divisek, ce qui entraine en posantk n 1=k?? quer=cos?k??π h c'est `a dire querest une racine deUh-1. - En conclut queUh-1est le pgcd deUnetUm. 2/ 5 Centrale-supelec 2014CorrigeII-B-2Pgcd deTnetTma) - Soitrune racine deTg, alors?k?[[0,g-1]]tel que r=cos?(2k+1)π 2g =cos?(2k+1)m1π 2m =cos?(2k+1)n1π 2n , or(2k+1)m1et(2k+1)n1 sont impairs, doncrest une racine commune deTnetTm. - R´eciproquement sirest une racine commune deTnetTm, alors?(k,k?)?[[0,n-1]]×[[0,m-1]] tel quer=cos?(2k+1)π 2n =cos?(2k?+1)π 2m , donc(2k+1)π 2n =(2k?+1)π 2m , c'est `a dire (2k?+1)n1= (2k+1)m1, orn1etm1sont premiers entre eux, doncn1divise2k+1et par suite si on pose 2k+1 n

1=n2qui est impair, on aurar=cos?n

2π 2g et l'imparit´e den2entraine quer est une racine deTg. - On conclut queTgest le pgcd deTnetTm. b ) - Soitrune racine commune deTnetTm, alors le raisonnement pr´ec´edent aboutit `a l'existence dek,k?tel que(2k?+1)n1= (2k+1)m1, doncn1etm1sont de mˆeme parit´e, ce qui exige par hypoth`ese quen1etm1sont pairs, ce qui contredit qu'ils sont premiers entre eux. - On conclut queTnetTmsont premiers entre eux. c )•- Casn,mimpairs - Cette condition exige quen1etm1sont impairs, donc d'apr`esa), le pgcd deTnetTmestTgo`u gest le pgcd demetn.

•- Casn,mdes puissances de2.

- Dans ce cas l'un desn1etm1est pair et l'autre vaut1, donc d'apr`esb)TnetTmsont premiers entre eux.

III-Un th´eor`eme

III-A

Pr´eliminaires

III-A-1

(Tn)nest suite commutante -deg(Tn) =n. -?θ?R,?n,m?N,TnoTm(cos(θ)) =Tn(cos(mθ)) =cos(nmθ) =Tnm(cos(θ)), donc par unicit´e T noTm=Tnm=Tmn=TmoTn.

III-A-2

Gest un groupe

-?P,Q?G,deg(PoQ) =deg(P).deg(Q) =1, donc la loioest une loi de composition interne qui est associative. -?P?G,PoX=XoP=P, doncXest l'´el´ement neutre deG. - L'inverse deP=aX+bestP-1=x-b a ?G. - On conclut queGest un groupe. III-B

Commutant deX2etT2

III-B-1

Qest unitaire

SoitQde degr´en≥1et de coefficient dominantq?=0, tel quePoQ=QoP, alors en ´egalisant les coefficients dominants de ces deux membres, on obtientq2=q, doncq=1.

III-B-2

Commutant deX2

•- SoitQ1etQ2deux polynˆomes de degr´en≥1commutant avecP, alors d'apr`es la question pr´ec´edente, ils sont unitaires, donc si in poseR=Q1-Q2, on auradeg(R)< n. -RoP=Q1oP-Q2oP=PoQ1-PoQ2=Q21-Q22= (Q1-Q2)(Q1+Q2) =R(Q1+Q2), ce qui donne par passage aux degr´es que

2deg(R) =deg(RoP) =deg(R(Q1+Q2)) =deg(R) +n, doncdeg(R) =n, ce qui est contradictoire

avecdeg(R)< n. •-?n?N?,Xncommute avecX2et c'est l'unique polynˆome de degr´en. - SiP=λest un polynˆome constant qui commute avecX2, alorsλ2=X2oP=PoX2=λ, donc

λ?f0,1g.

- En conclut queC(X2) =f0g?fXn/ n?Ng.

III-B-3

Existence deUetα

- SoitP=aX2+bX+cetU=γX+βaveca?=0etγ?=0.

-UoP=PoU⇐⇒γ(aX2+bX+c)+β= (γX+β)2+α, ce qui aboutit `a un syst`eme qui admet une

unique solution `a savoirU=aX+b 2 etP=X2+4ac+2b-b2 4 - Le casP=T2=2X2-1, donneU=2XetP=X2-2.

III-B-4

Commutant deT2

- SoitQde degr´en≥1. La question pr´ec´edente entraine queUoT2oU-1=P-2, donc Q? C(T2)⇐⇒QoT2=T2oQ⇐⇒UoQoU-1oP-2=P-2oUoQoU-1⇐⇒UoQoU-1? C(P-2). 3/ 5

Centrale-supelec 2014Corrige- D'apr`es la question(II-B-2),P-2admet au plus un commutant de degr´en≥1, or

?n≥1,Tncommute avecT2, doncUoTnoU-1commute avecP-2par unicit´e c'est le seul de degr´e n≥1, doncQ=Tn. - De plus siP=λcommute avecT2, alorsλ=2λ2-1, ce qui exige queλ?f-1 2 ,1g. - En conclusionC(T2) =f-1 2 g?fTn/ n?Ng. III-C

III-C-1

Lesαr´epondant `a la question

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