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3 et algèbre -Fascicule 1

Modélisation et algèbre

Fascicule 1

Régularités et relations

4 et algèbre -Fascicule 1

Table des matières

PRÉFACE ................................................................................................................................8

INTRODUCTION .................................................................................................................... 11

PENSÉE ALGÉBRIQUE ............................................................................................................ 13

Processus fondamentaux .................................................................................................. 15

Habiletés mathématiques.................................................................................................. 18

Habileté à résoudre une situation-problème de façon algébrique..................................... 18

Habileté à raisonner de façon algébrique ........................................................................ 19

Habileté à communiquer de façon algébrique ................................................................. 21

Compréhension des régularités et des relations .............................................................. 24

Représentation de situations-problèmes en utilisant des symboles .................................. 26

Utilisation de modèles mathématiques pour représenter des relations entre des quantités

.................................................................................................................................... 27

Analyse du changement................................................................................................. 32

Concepts algébriques regroupés selon les grandes idées ..................................................... 33

GRANDES IDÉES EN MODÉLISATION ET ALGÈBRE .................................................................... 36

Aperçu ............................................................................................................................. 36

GRANDE IDÉE 1 : RÉGULARITÉS ET RELATIONS........................................................................ 37

Aperçu ............................................................................................................................. 37

Énoncé 1 .......................................................................................................................... 39

Vocabulaire lié aux suites non numériques ..................................................................... 40

Suites non numériques à motif répété ............................................................................ 41

Suites non numériques à motif croissant ........................................................................ 53

Activités ........................................................................................................................... 60

Activité 1 ʹ À la découverte de régularités! ..................................................................... 60

Activité 2 ʹ De quel pays? .............................................................................................. 60

Activité 3 ʹ Musée de régularités ................................................................................... 61

Activité 4 ʹ La régularité dans mon prénom .................................................................... 61

Activité 5 ʹ Bateau à vapeur........................................................................................... 62

Activité 6 ʹ La fête de la Récolte..................................................................................... 62

Énoncé 2 .......................................................................................................................... 63

5 et algèbre -Fascicule 1

Vocabulaire lié aux suites numériques ............................................................................ 64

Suites numériques ......................................................................................................... 64

Activités ........................................................................................................................... 79

Activité 1 ʹ Devine quelle est la suite!............................................................................. 79

Activité 2 ʹ Une régularité calculée ................................................................................ 80

Activité 3 ʹ Nombres manquants.................................................................................... 81

' ............................................................................................. 85

Aperçu ............................................................................................................................. 85

Légende ........................................................................................................................... 86

Grande idée : Régularités et relations ............................................................................. 87

Sommaire ..................................................................................................................... 87

Intention pédagogique .................................................................................................. 87

Contexte pédagogique................................................................................................... 87

Préalables ..................................................................................................................... 88

Vocabulaire mathématique............................................................................................ 88

Activité préparatoire ..................................................................................................... 88

Adaptations .................................................................................................................. 98

Suivi à la maison ............................................................................................................ 98

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1...................................................................................... 98

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2...................................................................................... 99

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3.................................................................................... 100

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 4.................................................................................... 101

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 5.................................................................................... 102

ANNEXE MJ.1 .............................................................................................................. 105

ANNEXE MJ.2A ............................................................................................................ 106

ANNEXE MJ.2B ............................................................................................................ 107

ANNEXE MJ.2C ............................................................................................................ 108

6 et algèbre -Fascicule 1

ANNEXE MJ.2D ............................................................................................................ 109

ANNEXE MJ.2E ............................................................................................................ 110

Grande idée : Régularités et relations ........................................................................... 114

Sommaire ................................................................................................................... 114

Intention pédagogique ................................................................................................ 114

Contexte pédagogique................................................................................................. 115

Préalables ................................................................................................................... 115

Adaptations ................................................................................................................ 126

Suivi à la maison .......................................................................................................... 127

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1.................................................................................... 127

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2.................................................................................... 128

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3.................................................................................... 130

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 4.................................................................................... 131

ANNEXE 1.1................................................................................................................. 132

ANNEXE 1.2................................................................................................................. 133

ANNEXE 1.3................................................................................................................. 134

Grande idée : Régularités et relations ........................................................................... 135

Sommaire ................................................................................................................... 135

Intention pédagogique ................................................................................................ 135

Contexte pédagogique................................................................................................. 135

Préalables ................................................................................................................... 136

Vocabulaire mathématique.......................................................................................... 136

Adaptations ................................................................................................................ 151

Suivi à la maison .......................................................................................................... 151

7 et algèbre -Fascicule 1

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1.................................................................................... 153

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2.................................................................................... 154

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3.................................................................................... 155

ANNEXE 2.1................................................................................................................. 156

Grande idée : Régularités et relations ........................................................................... 158

Sommaire ................................................................................................................... 158

Intention pédagogique ................................................................................................ 158

Contexte pédagogique................................................................................................. 158

Préalables ................................................................................................................... 159

Vocabulaire mathématique.......................................................................................... 159

Adaptations ................................................................................................................ 171

Suivi à la maison .......................................................................................................... 171

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1.................................................................................... 172

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3.................................................................................... 173

ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 4.................................................................................... 174

ANNEXE 3.1................................................................................................................. 175

ANNEXE 3.2A .............................................................................................................. 176

ANNEXE 3.2B............................................................................................................... 177

ANNEXE GÉNÉRALE............................................................................................................. 178

Échange mathématique .................................................................................................. 178

Points à considérer ......................................................................................................... 178

RÉFÉRENCES ....................................................................................................................... 181

8 et algèbre -Fascicule 1

PRÉFACE

Le document intitulé Stratégie de mathématiques au primaire : Le guide principal, publié en cinq fascicules et intitulé Guide développé et valorisé. Les stratégies portent essentiellement sur les grandes idées inhérentes aux attentes du programme-cadre de mathématiques (Ministère de les parents* 9 et algèbre -Fascicule 1 mathématiques, suggèrent des applications pratiques des principes et des fondements soutenir la réussite scolaire des élèves et appuyer le développement durable de la compétences en communication orale. * Dans le présent document, parents désigne père, mère, tuteur et tutrice. 10 et algèbre -Fascicule 1 11 et algèbre -Fascicule 1

INTRODUCTION

la forme de la Terre. Les mathématiciens et les mathématiciennes ont tenté de calcul. algébrique. Prenons, par exemple, la phrase mathématique 2 + 3 = 3 + 2 pour laquelle pas. relations dans ces changements, le changement étant une composante importante de la pensée algébrique. Par exemple, dans la photo ci-contre, les élèves observent que les 12 et algèbre -Fascicule 1 Au cours de la dernière décennie, des éducateurs en mathématiques de plus en plus 13 et algèbre -Fascicule 1

PENSÉE ALGÉBRIQUE

priorisent une perspective que chacun juge essentielle en algèbre. En voici trois exemples qui reflètent trois perspectives différentes : penser (Vance, 1998, p. 282, traduction libre). inconnues et les variables, et la généralisation des régularités. Chaque fois

346, traduction libre).

outil indispensable pour représenter et résoudre des situations complexes du monde qui nous entoure (Baroody et Coslick, 1998, p. 16-3, traduction libre). interagissant entre eux, soit : ͻ des habiletés mathématiques développées selon une perspective algébrique (résoudre un problème, raisonner et communiquer); changement); ͻ les concepts algébriques regroupés selon les grandes idées (régularités et 14 et algèbre -Fascicule 1 15 et algèbre -Fascicule 1

Processus fondamentaux

Dans une classe de mathématiques visant à développer la pensée algébrique chez les est largement dépassé. Développer la pensée algébrique est un cheminement complexe qui mise sur trois processus fondamentaux : abstraire, généraliser et opérer sur sensoriel des choses pour raisonner à un niveau plus général (Raynal et Rieunier, 2003,

Exemple

16 et algèbre -Fascicule 1 des conjectures. Au cycle primaire, les propriétés des nombres et des opérations font font une conjecture.

Exemple

4x3 3x4 opérations, les généralisations et non sur les objets (Squalli et Theis, 2005, adaptation).

2002; Driscoll, 1999).

situations, elle peut être représentée par un symbole ou du matériel concret, ou elle peut être exprimée oralement. 17 et algèbre -Fascicule 1 situation semblable. 18 et algèbre -Fascicule 1

Habiletés mathématiques

En modélisation et algèbre, les processus de pensée des élèves évolueront dans la mesure où les habiletés à résoudre une situation-problème, à raisonner et à communiquer seront développées selon une perspective algébrique. Habileté à résoudre une situation-problème de façon algébrique exploitée dans un très large éventail de situations. Sur le plan pratique, on y a

spontanément recours pour trouver réponse à différents défis de la vie quotidienne. Sur

Situation-problème

Dans ce document, une situation-problème désigne un problème qui :

ͻ est ouvert;

ͻ se travaille en équipe;

ͻ est mis en contexte;

ͻ est un défi pour tous et toutes;

élèves dans un processus où ils auront à utiliser différentes stratégies. Les élèves qui ont

problème, à anticiper et à prédire des résultats, à raisonner et à trouver une solution.

des outils intellectuels pour raisonner (p. ex., rechercher des régularités, établir des relations, utiliser différentes représentations). Résoudre une situation-problème sous 19 et algèbre -Fascicule 1

présenter et les utiliser de façon explicite pour aider les élèves à se les approprier. Les

modèles peuvent sembler être davantage de nature numérique, mais leur utilisation sous une perspective algébrique permettra de développer la pensée algébrique. Par numérique ouverte ou double pour les amener à réfléchir au calcul et non à faire le

Exemple

9+6=8+7

sont présentés aux pages 18 à 21. stratégies et y ont recours spontanément pour résoudre un problème. Une situation- élèves à élaborer une solution. Elle implique un processus qui exige anticipations, retours en arrière et objectivation, ce qui favorise le développement de la pensée algébrique. Habileté à raisonner de façon algébrique existantes. (Raynal et Rieunier, 2003, p. 315)

du Québec, 2001, p. 128). Le raisonnement algébrique vise à observer et à agir de façon

20 et algèbre -Fascicule 1 processus de pensée analytique comme généraliser, opérer sur des inconnues et exprimer des relations. Le tableau ci-après présente la principale distinction entre raisonner de façon arithmétique et raisonner de façon algébrique. Raisonnement arithmétique Raisonnement algébrique (le nombre de départ et les opérations).

Connu Inconnue

Par exemple :

nombre de départ) comme si elle était connue.

Inconnue Connu

Par exemple :

ou tout symbole choisi (p. ex. ӑ, ). Lorsque les élèves raisonnent algébriquement, ils analysent les nombres, les symboles, les quantités, les opérations et ensuite, ils généralisent. cette démarche : ͻ en les aidant à rendre leur démarche explicite; de la réponse pour se rendre au point de départ; ͻ en leur faisant observer les relations entre les nombres ou les opérations; amènent à réfléchir.

En voici quelques exemples :

21
et algèbre -Fascicule 1 ʹ " Est-ce que la régularité fonctionne dans tous les cas? » ʹ " Est-ce que je suis toujours les mêmes étapes? Quelles sont-elles? » Habileté à communiquer de façon algébrique Modes de représentation : Pour communiquer efficacement, les élèves peuvent utiliser différents modes de représentation. Les relations mathématiques peuvent être des tableaux, des grilles de nombres ou des droites numériques. Ces modèles les aident de relations et contribue au développement de la pensée algébrique. Les différentes mathématiques. Une étape mathématique significative dans le développement de la pensée algébrique est de comprendre que deux suites peuvent être construites avec du matériel différent, mais avoir la même régularité. 22
et algèbre -Fascicule 1

Argument mathématique :

une idée mathématique. commence à élaborer des arguments mathématiques. En demandant aux élèves leur pensée algébrique. p. 133), les élèves peuvent utiliser les arguments mathématiques pour justifier :

ͻ un raisonnement ou une démarche;

23
et algèbre -Fascicule 1 année.

ͻ une conjecture;

compté sur mon dessin combien de formes il y a chaque année et il y en a 4, 6, 8, 10, 12 dessiner les arbres pour le vérifier. Note : Au cycle primaire, les élèves peuvent avoir de la difficulté à élaborer une questionnement, profiter des échanges mathématiques avec toute la classe pour favoriser la formulation de conjectures. Pour plus de renseignements au sujet de

ͻ une représentation.

utilisées chaque année. Le nombre de formes fait donc une suite numérique. » 24
et algèbre -Fascicule 1 algébrique devrait intégrer les quatre composantes suivantes : la compréhension des régularités et des relations, la représentation de situations-problèmes en utilisant des abordée ci-après. Compréhension des régularités et des relations les termes.

Reconnaître des régularités est une habileté importante en résolution de problèmes;

menant à des généralisations. Le concept de régularité est la pierre angulaire du raisonnement algébrique.

dans une phrase mathématique, les élèves découvrent des régularités et peuvent ainsi

approfondir leur compréhension des concepts algébriques. Dès leur jeune âge, les enfants prennent conscience de régularités dans le monde qui les entoure (p. ex., disposition des carreaux de céramique dans la salle de bain, cycle du jour et de la nuit, routines de la journée). Au cours des premières années scolaires, le

numériques à motif répété et à motif croissant, présentées sous formes variées en

utilisant divers attributs tels que des mouvements, des sons, des couleurs, des figures

est un outil intéressant pour initier les élèves aux concepts de suite et de régularité et

découvrent que le motif est toujours composé de trois éléments " grand, moyen, petit »

Reconnaître, comparer, représenter, décrire, prolonger et créer des suites dans le

contexte de résolution de problèmes amène les élèves à établir des relations entre les

25
et algèbre -Fascicule 1 de variables et de symboles. 26
et algèbre -Fascicule 1 Représentation de situations-problèmes en utilisant des symboles Représenter et analyser des situations-problèmes est une composante fondamentale de représentations symboliques de situations réelles ou contextualisées. Les situations graduellement représentées par des symboles. Afin de construire une base solide pour bien comprendre les concepts en algèbre, il est important de faire cheminer les élèves concret. Par exemple, les élèves utilisent une représentation semi-concrète pour

Exemple

représenter les éléments brique debout et brique couchée dans la suite et décrire sa structure. En utilisant des symboles significatifs pour eux, les élèves approfondissent un moyen efficient de représenter la situation et la régularité observée.

Exemple

27
et algèbre -Fascicule 1 Utilisation de modèles mathématiques pour représenter des relations entre des quantités Quand les mathématiques sont perçues comme la mathématisation du monde qui nous mathématisation sans parler simultanément de modèles. (Fosnot et Dolk, 2001, p. 77, traduction libre) Une relation mathématique est un lien qui existe dans un contexte particulier entre des objets, des idées ou des nombres.

mathématiciens et les mathématiciennes ont créé, utilisé et généralisé certaines idées,

certaines représentations sont devenues des modèles reconnus, par exemple la droite

numérique et le cadre à dix cases. Il est important que les élèves utilisent des modèles

quantités. Devant une situation-problème à résoudre, plusieurs représentations sont possibles; certains élèves utilisent leurs corps, du matériel de manipulation ou des dessins et la pensée algébrique. Les modèles explorés au cycle primaire et au cycle moyen seront rectangulaire, la table de valeurs, la droite numérique ouverte ainsi que la droite numérique ouverte double sont des modèles à favoriser au cycle primaire. La résolution mot modèle désigne les différentes représentations concrètes, semi-concrètes et symboliques du problème. Il désigne aussi la façon dont chaque élève utilise des symboles personnels pour modéliser son raisonnement. Par exemple, la droite flèches modélise son raisonnement. 28
et algèbre -Fascicule 1

Exemples de modèles

Problème 1 : Un épicier a acheté 4 caisses de citrons. Dans chaque caisse, il y a 9 citrons.

Combien de citrons a-t-il achetés en tout?

Le cadre à dix cases

9 + 9 + 9 + 9 = 36

10 + 10 + 10 + 6 = 36

La disposition rectangulaire

36 ʹ 6 = 30

La droite numérique ouverte

3x3=9 29
et algèbre -Fascicule 1

4x9 =36

36-6=30

La table de valeurs

Nombre de caisses Nombre de citrons

1 9 2 18 3 27 4 36 5 45 6 54 7 63 lundi et mardi. Est-ce vrai ou faux? Pour résoudre ce problème, les élèves peuvent utiliser la droite numérique ouverte double, la balance à plateaux ou la balance mathématique.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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Modélisation et algèbre

Fascicule 1 : Régularités et relations

Modélisation et algèbre

Fascicule 1

Régularités et relations

Table des matières

PRÉFACE

INTRODUCTION

PENSÉE ALGÉBRIQUE

346, traduction libre).

Processus fondamentaux

Exemple

Exemple

2002; Driscoll, 1999).

Habiletés mathématiques

Situation-problème

ͻ est ouvert;

ͻ se travaille en équipe;

ͻ est mis en contexte;

ͻ est un défi pour tous et toutes;

Exemple

9+6=8+7

Connu Inconnue

Par exemple :

Inconnue Connu

Par exemple :

En voici quelques exemples :

Argument mathématique :

ͻ un raisonnement ou une démarche;

ͻ une conjecture;

ͻ une représentation.

Exemple

Exemple

Exemples de modèles

Combien de citrons a-t-il achetés en tout?

Le cadre à dix cases

9 + 9 + 9 + 9 = 36

10 + 10 + 10 + 6 = 36

La disposition rectangulaire

36 ʹ 6 = 30

La droite numérique ouverte

4x9 =36

36-6=30

La table de valeurs

Nombre de caisses Nombre de citrons