[PDF] Sujet de Mathématiques I PC 2009

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MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2009 1/6MATHÉMATIQUES I Filière PC

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme Les parties I et II traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série factorielle convergente sur l'intervalle .

Partie I - Préliminaires

I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose :

I.A.1) Montrer que la série est convergente.

I.A.2) On pose :

Calculer .

I.A.3) Pour , et pour quelconque dans ,

exprimer en fonction de et . I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour . I.B - Soient un entier et un entier naturel .

Donner une majoration du reste

en le comparant à une intégrale. a n n! n0 ]0 +,[ p nINun p,()1 un p,() n1 p()un p,() n1=+ 1() p2nIN un p1-,()un1+p1-,()- npunp,() p()pp2 q 2N 1

RNq,()1

n q nN1+=+

Concours Centrale-Supélec 2009 2/6

Filière PC

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Partie II - Un exemple d'accélération de la convergence

II.A -

II.A.1) Montrer par récurrence l'existence de trois suites , et d'entiers naturels définies pour telles que, pour tout réel strictement positif et pour tout entier on ait : II.A.2) Exprimer , et à l'aide de , et .

II.A.3) Montrer que : , .

II.A.4) Calculer , , pour et .

II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de avec une erreur inférieure ou égale à . II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel suffisant pour que soit inférieur à .

II.B.2) Donner un majorant simple de :

et montrer, à l'aide de tout ce qui précède, comment calculer pour la même valeur de avec une valeur de moins grande que celle trouvée à la question II.B.1. II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à près (par défaut) de en utilisant ce qui précède. a p ()b p ()c p p2x p 1 x 3 -----a k p xc p x 3 k2=p a p1+ b p1+ c p1+ pb p c p p2b p c p 0 a p b p c p p23,=4 3()1 n 3 n1=+ 510
5- N 1 n 3 nN1+=+ b 4 nc 4 n 3 nN1+=+ 3() N 3()

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Concours Centrale-Supélec 2009 3/6

Partie III - Séries factorielles

III.A -

III.A.1) Pour tout entier naturel et pour tout réel strictement positif, on pose :

Montrer que la série de terme général

, définie pour , est convergente. III.A.2) En déduire qu'il existe (dépendant de et strictement positif) tel que : III.B - Soit une suite de complexes et un réel strictement positif. Montrer que la série est absolument convergente (en abrégé AC) si et seulement si la série est AC. III.C - On désigne désormais par l'ensemble des suites indexées par telles que la série soit AC pour tout réel strictement positif.

Soit un élément de , montrer que :

III.C.1) la fonction définie par :

est continue sur l'intervalle .

III.C.2) la fonction tend vers en .

III.D -

III.D.1) Donner un exemple d'un élément de avec non nul pour tout entier . III.D.2) Donner un exemple d'une suite qui ne soit pas un élément de nx u n x()n! n x()1 n1+() x --------------------=w n x()u n x() v n x()-------------= ln w n x() w n1- x()-----------------------n1 lx()x u n x() v n x()------------- n+ limlx()= a n n0 x a n u n x() n0 a n v n x() n0 Aa n n0 INa n u n x() n0 x aa n n0 = A f a xf a x()a n u n x() n0=+ =a ]0 +,[ f a 0+ a Aa n n a n n0 A

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Concours Centrale-Supélec 2009 4/6

III.E - Soit un élément de .

III.E.1) Montrer que, pour tout entier la fonction est de classe sur l'intervalle et que : III.E.2) En déduire que la fonction est de classe sur l'intervalle . N.B. On dira alors que la fonction est développable en série factorielle (sous- entendu ici sur et en abrégé DSFA) et on admettra qu'un tel développe- ment est unique.

Partie IV - Représentation intégrale

IV.A -

IV.A.1) Soit un entier naturel. On pose :

Montrer que les polynômes forment une base de l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à . IV.A.2) En déduire qu'il existe des rationnels indépendants de notés tels que :

Exprimer en fonction de et .

IV.B - Montrer, pour et entier naturel, l'existence de l'intégrale : et calculer sa valeur en fonction de et .

IV.C - Montrer que :

En déduire que, pour tout élément de , on a : a A nxu n x()aC 1 ]0 +,[ x0>u n x()u n x()1 x---ln 1n x---++ f a C 1 ]0 +,[ f a ]0 +,[ n k0... n=P k Xi+() i0=ik,n P k IR n X[] n x 0 1 n x0>n! k xk+------------ k0=n k kn x0>k 1y-() x1-k+ yd 01 kx x0>nIN1y-() x1- y n yd 01 n! a A x0>f a x()a n 1y-() x1- y n yd 01 n0=+

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Concours Centrale-Supélec 2009 5/6

IV.D - Soit un élément de .

IV.D.1) Montrer que la série entière a un rayon de convergence supé- rieur ou égal à .

On note la fonction définie sur par :

IV.D.2) Montrer que la fonction est définie sur , DSFA sur ce même intervalle et égale à . Partie V - Dérivabilité d'une série factorielle V.A - On reprend les notations des parties III et IV. V.A.1) Montrer que la fonction est dérivable sur l'intervalle et que : V.A.2) Montrer que la fonction : est développable en série entière sur l'intervalle .

V.A.3) On pose :

Vérifier que et que :

V.B - Soient et . Montrer :

V.C - Montrer que, pour tout entier tel que , on a : a A a n y nquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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