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Universit´e Claude Bernard-Lyon I

Agr´egation de Math´ematiques : Alg`ebre & g´eom´etrie

Ann´ee 2006-2007Sous-espaces stables

par un endomorphisme

En guise d"introduction

L"existence de suppl´ementaires dans un espace vectoriel est un petit miracle (qui r´esulte du

th´eor`eme de la base incompl`ete). En effet, siRest un anneau quelconque, fˆut-il aussi commu-

tatif, unitaire, int`egre et principal queZouK[X], siMest unR-module etNun sous-module, il est tr`es rare qu"il existe un sous-moduleN?tel queM?N?N?. Prendre, par exemple,

R=Z,M=ZetN= 2Z.

Si on se consacre d´esormais au casR=K[X], polynˆomes en une ind´etermin´eeXsur un corps

K, on sait que la donn´ee d"unR-module est ´equivalente `a la donn´ee d"un espace vectoriel sur

Ket d"un endomorphisme.

En effet, si on se donne unK[X]-moduleM, il est clair que c"est unK-espace vectoriel (K?K[X] !), et on a un endomorphisme naturelu:M→M,v?→X.v. Inversement, siuest un endomorphisme d"un espace vectorielM, on d´efinit une structure deK[X]-module surMen posant, pourf?K[X] etv?M:f.v=f(u)(v). UnK[X]-module est donc d´etermin´e par un couple (M,u). Un morphisme deK[X]-modules entre (M,u) et (M?,u?), c"est une application lin´eaire?:M→M?telle queu?◦?=?◦u. Un endomorphisme duK[X]-module (M,u), c"est une application lin´eaire?:M→Mqui commute `au. Dans ce vocabulaire, un sous-espace stable paruest un sous-K[X]-module. Si on revient au probl`eme de suppl´ementaire, on voit que l"absence d"un sous-K[X]-module suppl´ementaire se

traduit par l"absence, en g´en´eral, d"un sous-espace suppl´ementaire stable par l"endomorphisme.

Tout ¸ca pour dire que "la th´eorie des sous-espaces stables" est plus compliqu´ee que "la th´eorie

des sous-espaces", parce qu"en fait, on est pass´e du corpsK`a un anneauK[X] qui n"est pas un corps. D"un tout autre point de vue, en dimension infinie, on peut citer leprobl`eme ouvertdit "du

sous-espace invariant" : ´etant donn´e un op´erateur dans un espace de Banach, existe-t-il toujours

un sous-espace ferm´e propre stable par cet op´erateur. Confidence d"un membre du jury : dans cette le¸con, si vous parlez d"autre chose que de sous- espaces propres, quoi que ce soit, vous partez sur de bonnes bases.

A ne pas rater

•rˆole et int´erˆet de la commutation de deux endomorphismes pour ces probl`emes ; •sous-espaces caract´eristiques, en particulier : -un sous-espace est stable si et seulement si c"est la somme directe de ses intersections avec les sous-espaces caract´eristiques, et ceux-ci sont stables ; -d´ecomposition de Dunford ; •sous-espaces propres, en particulier : -diagonalisation simultan´ee d"endomorphismes diagonalisables qui commutent ; -dans un espace hermitien/euclidien, cas des endomorphismes normaux, hermi- tiens/sym´etriques, unitaires/orthogonaux (plans stables pour le dernier cas) ; •l"orthogonal (dans le dual) d"un sous-espace stable est stable pour la transpos´ee ; (exem- ple : hyperplans stables↔sous-espaces propres de la transpos´ee). 1

Semblent int´eressants pour enrichir

•un endomorphisme sur un corps alg´ebriquement clos : -preuve du th´eor`eme de Cayley-Hamilton et existence dans le th´eor`eme de Jordan (les deux ensemble ; voir la le¸con "Endomorphismes nilpotents") ; -endomorphismes ayant un nombre fini de sous-espaces stables (V) ; •un endomorphisme `a la fois sur un corps non alg´ebriquement clos : endomorphismes semi-simples (VI) ; •plusieurs endomorphismes `a la fois : -formant un groupe fini : th´eor`eme de Maschke (VII) ; -formant une alg`ebre de Lie nilpotente (resp. une alg`ebre de Lie r´esoluble) : th´eor`eme d"Engel (resp. th´eor`eme de Lie) (voir VIII et surtout [Tauvel]) : •divers : -plusieurs sous-espaces `a la fois : drapeaux (voir ci-dessous) ; -th´eor`eme de Skolem-Noether (r´ef´erence : [Leichtnam-Schauer]) ; application : faire dePGLn(K) =GLn(K)/K?unsous-grouped"un groupe de matrices :GLn2(K).

I Compl´ements sur le plan de Nolwenn Cozian

Notations :Eespace vectoriel de dimension finie surK,u?L(E) endomorphisme. 1 ◦Autour du lemme 3 : sous-espaces stables de petite dimension

(a)Notons l"´evidence suivante : une droite est stable parusi, et seulement si elle est engendr´ee

par un vecteur propre deu. Ainsi, siKest alg´ebriquement clos,ua toujours une droite stable. (b)SiK=R, le polynˆome caract´eristique deuposs`ede une valeur propreλ?C. Siλ?R, on obtient ainsi une droite stable. Supposons queλ?C\R. Fixons une base deE, ce qui permet de remplacerupar sa matriceA?Mn(R) et de travailler avec des vecteurs dansCn. Soit doncZ?Cnun vecteur propre deApour la valeur propreλ. Ecrivonsλ=a+ib, o`u a,b?R. CommeAest r´eelle, on peut s´eparer parties r´eelle et imaginaire dansAZ=λZ:

AX+iAY=aX-bY+i(bX+aY),d"o`u?AX=aX-bY

AY=bX+aY.

Par suite, siXetY´etaient colin´eaires dansRn,XetYseraient des vecteurs propres deA (du moins, s"ils ne sont pas nuls), si bien queZaurait une valeur propre r´eelle : absurde. Par

suite, l"espace engendr´e parXetYest un plan, et les ´egalit´es pr´ec´edentes montrent qu"il est

stable parU. On en d´eduit l"existence d"un plan deEstable paru.

On peut aussi proc´eder ainsi : on choisit un facteur irr´eductiblePde degr´e 2 du polynˆome

caract´eristique deuet un vecteurx?= 0 dans KerP(u) : on v´erifie que l"espace engendr´e engendr´e parxetu(x) est un vrai plan (sinon,xserait vecteur propre etPaurait une racine r´eelle), et qu"il est stable paru(¸ca d´erive deP(u)(x) = 0). (c)SiKest un corps arbitraire, il est plausible queK[X] poss`ede un polynˆome irr´eductible Pde degr´en≥3. Alors leK[X]-moduleK[X]/(P) -c"est simplement l"espaceK[X]/(P), de dimensionnsurK, muni de l"endomorphismeuinduit par la multiplication parX- estsimple, au sens qu"il ne poss`ede pas de sous-espace stable paru(cf.Proposition 14). Noter que la matrice deu, dans la base induite par la famille (1,X,···,Xn-1), n"est autre que la matrice compagnon deP; le polynˆome caract´eristique deuest doncP. 2 (d)Encore une ´evidence : l"intersection et la somme de deux sous-espaces stable par un endomorphisme sont encore stables. On fait ainsi de l"ensemble des sous-espaces stables un

treillis(ensemble partiellement ordonn´e o`u deux ´el´ements ont toujours un max et un min).

2 ◦Proposition 17 bis

C"est un r´esultat-cl´e dans cette le¸con, si facile qu"il soit.Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton,1et

l"application 13 donnent la r´eciproque suivante `a la proposition 17 : Proposition(Notations de I3.) Un sous-espaceFdeEest stable si, et seulement si son intersection avec chaque sous-espace caract´eristiqueNiest stable paru. Dans ces conditions, on a :F=? i(F∩Ni). Remarque :Noter que siuest diagonalisable, on en d´eduit que la restriction `a tout sous- espace stable l"est aussi ; inversement, les sous-espaces stables sont les sommes directes de sous-espaces des espaces propres. Extension :Noter aussi que siχun"est pas scind´e, on peut quand mˆeme factoriserχu=?

iPαii, o`u lesPisont irr´eductibles et deux `a deux distincts. On a alors les mˆemes ´enonc´es en

posantNi= KerPαii(u). 3 ◦Sous-espaces stables dans le dual (a)Rappelons que l"orthogonalit´e ´etablit une bijection entre sous-espaces de dimensiondde Eet sous-espaces de dimensionn-ddu dualE?. SiF?E, et siG?E?, on pose : F ?={??E?:?x?F, ?(x) = 0}, G◦={x?E:???G, ?(x) = 0}. On a de plus : (F?)◦=F. Si on identifieEau dualE??deE?,G◦s"identifie `aG?: `a ce titre, l"orthogonalit´e est essentiellement une involution. Si vous ne l"avez jamais fait, remarquez que si on d´ecritG?E?par une famille g´en´eratrice

(?1,...,?r), l"orthogonalG◦est l"ensemble des solutions du syst`eme lin´eaire?1(x) =···=

r(x) = 0. Cette notion n"est donc pas plus myst´erieuse que la notion de "r´esoudre des syst`emes" ! (b)Dans ce cadre, le r´esultat central, pour trivial qu"il soit, est la proposition 19 : un sous- espace est stable par un endomorphisme, si et seulement si, son orthogonal est stable pour

la transpos´ee. En d"autres termes, l"orthogonalit´e ´etablit une bijection entre sous-espaces de

dimensionddeE(stables paru) et sous-espaces de dimensionn-ddeE?(stables paru). (c)Une application simple de ce fait, c"est qu"en dimension 3, les droites stables parusont les droites propres, et les plans stables sont les noyaux des vecteurs propres de la transpos´ee deu. II Stabilit´e en pr´esence d"une forme quadratique ou hermitienne On brasse beaucoup d"air chaud dans ce paragraphe ! 1 ◦Cadre bilin´eaire : deux notions d"adjoint ? (a) Le cadre

On choisit une forme bilin´eaire sym´etrique?·,·?non d´eg´en´er´ee surE. Par exemple, siK=R,

un produit scalaire euclidien. Attention, surC, ce serait une forme quadratique et pas un produit scalaire hermitien. Le choix d"une forme bilin´eaire permet d"associer, `a tout vecteurx?E, une forme lin´eaire x?E?:?x=?x,??:y?→ ?x,y?. On en d´eduit une applicationlin´eaire ?·,·?:E→E?, x?→ ?x,??.1 Il faudra v´erifier lorsqu"on l"´enoncera plus loin qu"il n"y a pas de cercle vicieux. 3

Dire que la forme est non d´eg´en´er´ee, c"est dire qu"aucun vecteur non nul n"est orthogonal `aE:

pourx?E, on a : ?y?E,?x,y?= 0 =?x= 0.

(Attention, le cˆone isotrope n"est pas n´ecessairement trivial : il peut y avoir des vecteursxtels

que?x,x?= 0.) Ceci signifie exactement que le noyau de Φ est r´eduit `a{0}. Par ´egalit´e des

dimensions, Φ est un isomorphisme. (b) Identification des orthogonaux Montrons que Φ envoie l"orthogonal d"un sous-espaceF?E, au sens de?·,·?, sur l"orthogonal deFdansE?, au sens de la dualit´e. En effet, pourx?E, on a : x?F??? ?y?F,?x,y?= 0?? ?y?F, ?x(y) = 0??Φ(x) =?x?F?. Ce n"est donc pas un abus grave d"avoir not´e les deux orthogonauxF?: Φ les identifie. (c) Adjoint et transpos´ee Soit alorsu?L(E). Son adjoint pour?·,·?est l"unique endomorphisme lin´eaire tel que (§)?x,y?E,?u?(x),y?=?x,u(y)?.

Noter que cette ´egalit´e se traduit par :

?x?E,Φ(u?(x)) = Φ(x)◦u=tu◦Φ(x),i.e.u?= Φ-1◦tu◦Φ. Ceci prouve du mˆeme coup l"existence et l"unicit´e deu?. Et surtout, si on identifieEet son dual `a l"aide de Φ,u??L(E) s"identifie `atu?L(E?). Ouf. (d) Matrices dans une base orthonorm´ee

SiEposs`ede une base orthonorm´eeB= (ei)i=1,...,npour?·,·?, la matrice deua pour coefficient

d"indice (i,j)? {1,...,n}2: ?ei,u(ej)?=?u?(ei),ej?=?ej,u?(ei)?. On en d´eduit que la matrice deu?dansBest la transpos´ee de la matrice deu. D"autre part, la base duale deBest l"image deBpar Φ, si bien que c"est aussi la matrice detudans cette base duale. On retrouve l"identification pr´ec´edente... 2 ◦Cadre sesquilin´eaire : deux notions d"adjoint ? (a) Le cadre Ici,K=Cet?·,·?est sesquilin´eaire `a sym´etrie hermitienne : pourλ?Cetx,y,x??E,

On suppose de plus que?·,·?est d´efinie positive :?x,x? ≥0, avec ´egalit´e seulement pourx= 0.

Par exemple, siE=Cn, on peut prendre pourX,Y?Cn=Mn,1(C),?X,Y?=tXY.

On peut comme ci-dessus d´efinir une application Φ :E→E?,x?→ ?x,??, mais elle estanti-

lin´eaire

2: pourλ?Cetx,x??E,

Φ(x+x?) = Φ(x) + Φ(x?),Φ(λx) =λΦ(x).

Comme?·,·?est d´efinie positive, elle est non d´eg´en´er´ee et Φ est toujours bijective.

(b) Identification des orthogonaux Rien `a changer, si ce n"est que la bijection Φ est d´esormais anti-lin´eaire.2

C"est en fait un isomorphisme si on munitE?de la structure "tordue", d´efinie par :λ·?:x?→λ?(x) pour

λ?Cet??E?.

4 (c) Adjoint(s ?) On d´efinit l"adjoint deu?L(E) par l"´egalit´e (§), et on a toujours : ?x?E,Φ(u?(x)) = Φ(x)◦u=tu◦Φ(x),i.e.u?= Φ-1◦tu◦Φ.

D"o`u, encore, l"existence et l"unicit´e deu?. Noter que puisqueuest lin´eaire et que Φ et Φ-1

sont anti-lin´eaires,u?est bien lin´eaire. (d) Matrices dans une base orthonorm´ee

SoitB= (ei)i=1,...,nune base orthonorm´ee pour?·,·?, la matrice deua pour coefficient d"indice

(i,j)? {1,...,n}2: ?ei,u(ej)?=?u?(ei),ej?=?ej,u?(ei)?. On en d´eduit que la matrice deu?dansBest la transconjugu´ee de la matrice deu. D"autre part, v´erifions que c"est bien la matrice de Φ -1tuΦ. La base dualeB?= (e?i)i=1,...,nde Best l"image deBpar Φ, donc la matrice detudansB?est la transpos´ee de la matrice (aij) deudansB. Par anti-lin´earit´e de Φ-1, on a : ?j? {1,...,n},Φ-1◦tu◦Φ(ej) = Φ-1◦tu(e?j) = Φ-1? n? i=1a jie?i? =n? i=1a jiei. D"o`u la coh´erence : les matrices deu?et Φ-1◦tu◦Φ co¨ıncident. Ouf. 3 ◦Morale : propositions 19 et 20 La morale de cette histoire pesante, c"est que les propositions 19 et 20 du plan de Nolwenn Cozian sont synonymes : elles s"obtiennent l"une de l"autre grˆace `a la bijection Φ.

III R´eduction des endomorphismes normaux

SoitEun espace vectoriel de dimension finie surC(resp.R), muni d"une forme sesquilin´eaire

(resp. bilin´eaire) `a sym´etrie hermitienne (resp. sym´etrique) d´efinie positive. Un endomor-

phisme est dit normal s"il commute `a son adjoint. 1 ◦Cadre hermitien (a) Diagonalisation des endomorphismes hermitiens normaux Th´eor`emeUn endomorphisme hermitien normal poss`ede une base orthonorm´ee de vecteurs propres. Par r´ecurrence sur la dimension de l"espace. En dimension 1, il n"y a rien `a prouver. Pour le pas de r´ecurrence, soitunormal etxun vecteur propre deu?. Alors la droiteCxest stable parudoncxest propre pouru; de plus,Cxest stable paru?, donc son orthogonal est stable paruet sa dimension est strictement plus petite. Ane qui trotte. (b) Cas particuliers

Les cas les plus utiles sont les suivants :

•u=u?(endomorphisme hermitien) ; toute valeur propreλdeuest alors r´eelle, puisque six?E\ {0}est un vecteur propre :λ?x,x?=?λx,x?=?u(x)x,x?=?u?(x),x?=?x,u(x)?=λ?x,x?. •uu?= Id (endomorphisme unitaire) : toute valeur propreλdeua pour module 1 (calcul analogue). 5 (c) Mise en garde : matrices sym´etriques complexes Celles-l`a ne sont pas n´ecessairement diagonalisables. Par exemple,?1i i1? estnilpotente!

On peut commencer le mˆeme raisonnement que ci-dessus, avec la forme bilin´eaire sym´etrique

C n×Cn→C, (X,Y)?→tXY. Mais l"argument par r´ecurrence ne marche pas, car un vecteur

propre peut ˆetre isotrope, si bien que l"orthogonal de la droite engendr´ee, pour stable qu"elle

soit, n"est pas un suppl´ementaire. 2 ◦Cadre euclidien (a) R´eduction des endomorphismes sym´etriques r´eels Th´eor`emeUn endomorphisme sym´etrique r´eel poss`ede une base orthonorm´ee de vecteurs propres.

En effet, sa matrice dans une base orthonorm´ee est sym´etrique r´eelle, donc hermitienne com-

plexe, donc ses valeurs propres sont r´eelles. On peut alors proc´eder comme pour les endomor- phismes normaux ! (b) R´eduction des isom´etries r´eelles Th´eor`emeUn endomorphisme orthogonal poss`ede, dans une base orthonorm´ee convenable, une matrice diagonale par blocs, o`u les blocs sont de l"un des types suivants : (1) (-1)?cosθ-sinθ sinθcosθ? (θ?R). On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension. Le plus commode est de travailler avec une matrice Aorthogonale dansRneuclidien standard3:tAA= Id. Soitλune valeur propre : si elle est

r´eelle, on choisit un vecteur proprexet on applique l"hypoth`ese de r´ecurrence `aRx?. Siλest

complexe non r´eelle, on choisit un vecteur propre complexez?Cn, et on s´epare ses parties r´eelle et imaginaire :z=x+iy, avecx,y?Rn. De mˆeme, on noteλ=a+ib, aveca,b?R. On v´erifie sans peine quea2+b2=|λ|2= 1, et surtout que

Ax=ax+by, Ay=-bx+ay.

On en d´eduit quexetyne sont pas colin´eaires, il est ´evident que le plan qu"ils engendrent est

stable parA, et on applique l"hypoth`ese de r´ecurrence `a l"orthogonal de ce plan. IV Motivation pour V : matrices triangulaires et drapeaux complets Dans ce paragraphe, on veut montrer un peu l"importance du sous-groupeBdes matrices triangulaires sup´erieures

4dans le groupeGLn(K).

(c)L"importance deBvis-`a-vis des syst`emes lin´eaires est bien connue : r´esoudre un syst`eme,

c"est essentiellement se ramener `a un syst`eme dont la matrice est dansB. On peut dire mieux, et interpr´eter l"algorithme de Gauss de la fa¸con suivante. On noteWle groupe des matrices de permutation,B-le groupe des matrices triangulaires inf´erieures.

Proposition (D´ecomposition de Bruhat)On a :

GL n(K) =BWB=B-WB. En d"autres termes, ´etant donn´e une matrice inversibleg, il existe3

Situation idyllique `a laquelle on se ram`ene en choisissant une base orthonorm´ee dans une espace euclidien

quelconque.

4Best l"initiale de Borel, qui a mis en ´evidence cette importance.

6 •b1etb2, triangulaires sup´erieures etwmatrice de permutation telles queg=b1wb2; •b?1etb?2, triangulaires sup´erieures etw, matrice de permutation telles queg=tb?1wb?2. Esquisse de d´emonstration: On applique l"algorithme de Gauss en se restreignant aux op´erations ´el´ementaires suivantes : •remplacement d"une ligne par la somme de cette ligne et de lignes d"indice strictement plus petit ; •remplacement d"une colonne par la somme de cette colonne et de colonnes d"indice stricte- ment plus petit ; •produit d"une rang´ee par un scalaire non nulad libitum; •pas de permutations de lignes ou de colonnes.

La cl´e, c"est que chacune de ces op´erations consiste `a remplacer la matrice en coursgrespec-

tivement par : •un produittbg, o`ubest triangulaire sup´erieure ; •un produitgb, o`ubest triangulaire sup´erieure ; •un produittgougt, o`utest diagonale. Comme on n"autorise pas les permutations de rang´ees, on n"est pas sˆur de pouvoir transformer gen la matrice identit´e. En revanche, on peut se ramener `a une matrice monˆomiale (un seulquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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