[PDF] PSI 2021 2015 – 2021. X/ENS PSI

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Annales des Concours

PSI

Mathématiques·Informatique

2021

Sous la coordination de

WilliamAufort

professeur en CPGE ancien élève de l"École Normale Supérieure (Lyon)

FlorianMetzger

professeur en CPGE ancien élève de l"École Normale Supérieure (Paris-Saclay)

VincentPuyhaubert

professeur en CPGE ancien élève de l"École Normale Supérieure (Paris-Saclay) Par

VirgileAndreani

ENS Ulm

WilliamAufort

professeur en CPGE

PierreBosch

professeur en CPGE

PhilippeBouafia

professeur agrégé en école d"ingénieurs

CélineChevalier

enseignant-chercheur à l"université

JulienDumont

professeur en CPGEJulieGauthier professeur agrégé

QuentinGuilmant

ENS Lyon

DavidMichel

professeur agrégé

RémiPellerin

ENS Lyon

CyrilRavat

professeur en CPGE

Sommaire thématique de mathématiques

2015-2021X/ENS PSI MathsX/ENS PC MathsX/ENS MP Maths BX/ENS MP Maths AMines PSI Maths 2Mines PSI Maths 1Mines PC Maths 2Mines PC Maths 1Mines MP Maths 2Mines MP Maths 1Centrale PSI Maths 2Centrale PSI Maths 1Centrale PC Maths 2Centrale PC Maths 1Centrale MP Maths 2Centrale MP Maths 1CCINP PSI MathsCCINP PC MathsCCINP MP Maths 2CCINP MP Maths 1e3a PSI Maths 1 (2021)e3a PC Maths 1 (2021)e3a MP Maths 1 (2021)

Structures algébriques et arithmétique••

Polynômes•

Algèbre linéaire générale•

Réduction des endomorphismes••

Produit scalaire et espaces euclidiens•

Topologie des espaces vectoriels normés•

Suites et séries numériques••

Suites et séries de fonctions••

Séries entières••

Analyse réelle••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Intégration

Équations différentielles

Fonctions de plusieurs variables

Dénombrement et probabilités

Informatique pour tous

Sommaire

ÉnoncéCorrigé

e3a Mathématiques 1 Quatre exercices indépendants. algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, intégration, séries entières, équations différentielles, probabilités17 21

Concours commun INP

Mathématiques Étude de séries entières et déterminants de certaines matrices complexes. fonctions de plusieurs variables, séries entières, séries numériques, intégration, algèbre linéaire, matrices41 49

Informatique Autour des montres multisport.

programmation Python, chaînes de caractères, listes, SQL71 91

Centrale-Supélec

Mathématiques 1 Marche aléatoire sur un graphe et matrices stochastiques. probabilités, algèbre linéaire, théorème spectral, convergence de suites, programmation Python104 110 Mathématiques 2 Autour des fonctions hypergéométriques. suites et séries, fonctions développables en séries entières, équations différentielles, probabilités, fonction génératrice128 133

Informatique Lancer de rayons.

numpy, SQL, bases de données, images159 167

8SommaireMines-Ponts

Mathématiques 1 Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion. séries de fonctions, intégrales à paramètre, variables aléatoires discrètes180 186

Mathématiques 2 Noyaux de type positif.

théorème spectral, intégrales à paramètre, produit scalaire, réduction des endomorphismes, séries de fonctions206 213

Informatique Marchons, marchons, marchons...

programmation Python, bases de données, complexité233 244

Polytechnique-ENS

Mathématiques Intégration et dérivation fractionnaires. intégration, dérivation, séries de fonctions, théorèmes de permutations, convergence dominée, séries entières256 264

Informatique Gestion d"un allocateur dynamique de

mémoire. algorithmique, représentation binaire, programmation Python290 301

Formulaires

Développements limités usuels en 0 313

Développements en série entière usuels 314

Dérivées usuelles 315

Primitives usuelles 316

Trigonométrie 318

e3a Mathématiques PSI 2021 - Énoncé17Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. SESSION 2021 PSI8M 'PREUVE SP'CIFIQUE - FILIçRE PSI

MATH'MATIQUES

Dure : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance ‡ la clart, ‡ la prcision et ‡ la concision de la rdaction.

et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quÓil a t amen ‡ prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu fonc non effaOEable pour la rdaction de votre composition ; dÓautres

des rsultats. • Ne pas utiliser de correcteur. • 'crire le mot FIN ‡ la fin de votre composition.

18e3a Mathématiques PSI 2021 - ÉnoncéExercice 1

On noteFl"espace vectoriel des fonctions définies surJ=]-1,+∞[ à valeurs réelles. Soitp?N. Pour toutk??-1,p?, on définit les fonctionsfksurJpar : ?x?J,f-1(x)=ln(1+x) et?k??0,p?,fk(x)=1 (1+x)k.

1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions

1.1.Soient (ak)k??-1,p?des réels tels quep

k=-1a kfkest la fonction nulle.

Démontrer quea-1=0.

1.2.Démontrer alors que la familleB=(fk)k??-1,p?est libre.

On noteE=Vect(B).

1.3.En déduire la dimension deE.

2.On noteul"application qui à toute fonctionfdeEassocie la fonctiongdéfinie surJpar :

?x?J,g(x)=(1+x)f?(x).

2.1.Déterminer, pour toutk??-1,p?, les images defkparu.

2.2.Vérifier queuest un endomorphisme deE.

2.3.Déterminer le noyau et l"image deu.

2.4.Préciseru-1({f-1}), l"ensemble des antécédents def-1.

2.5.Déterminer la matriceMdeudans la baseB.

2.6.L"endomorphismeuest-il diagonalisable?

2.7.L"endomorphismeu2est-il diagonalisable?

3.Résoudre surJl"équation différentielle (ED)f-1(t)=(1+t)y?(t).

4.Soith2la solution de l"équation différentielle (ED) nulle en zéro.

4.1.On noteh3la solution de l"équation différentielleh2(t)=(1+t)y?(t) nulle en zéro.

Expliciterh3.

4.2.En itérant le procédé, on note pour tout entier naturelk?2,hkla solution nulle en zéro de

l"équation différentiellehk-1(t)=(1+t)y?(t).

Expliciterhk.

5. Étude de la série de fonction?

k?2h k

5.1.Montrerquelasériedefonctions?

k?2h

5.2.La fonctionHest-elle dansE?

5.3.En utilisant la question5.1, vérifier queHest dérivable et queH??E.

e3a Mathématiques PSI 2021 - Énoncé19Exercice 2 On noteSl"ensemble des suites réelles (un)n?Nvérifiant la relation : ?n?N,un+2=un+1+un.

1.On noteγla racine positive du trinômex2-x-1.

Justifier queγ >1 et que la deuxième racine est-1

2.On considère la suite réelle (yn)n?NdeSvérifiant :y0=0,y1=1.

Parmi les réponses proposées, une seule est l"expression correcte deynvalable pour tout entier natureln. Laquelle? (1)yn=γn

⎷5+(-1)n+1γn+1⎷5; (2)yn=(-1)n+1γn⎷5+1γn⎷5; (3)yn=γn⎷5+(-1)n+1γn⎷5.

3.Soit (Xn)n?Nune suite de variables aléatoires définie par :

•X0etX1sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de paramètres respectifsλ >0 etμ >0; •pour tout entier natureln:Xn+2=Xn+1+Xn.

3.1.Montrer que la variable aléatoireX2suit une loi de Poisson dont on déterminera le para-

mètre.

3.2.Démontrer que les deux variables aléatoiresX1etX2ne sont pas indépendantes.

3.3.Montrer que :?n?N?,Xn=yn-1X0+ynX1.

3.4. Étude de l"espérance de la variable aléatoireXppourp?N

3.4.1.Soitp?N. Justifier que la variable aléatoireXppossède une espérance que l"on

noteraxpet la calculer en fonction deλ,μet de termes de la suite (yn)n?N.

3.4.2.Déterminer un équivalent dexplorsqueptend vers l"infini.

3.5.Soitp?N. Justifier que la variable aléatoireXppossède une variance que l"on notera

V(Xp) et la calculer en fonction deλ,μet de termes de la suite (yn)n?N.

3.6.Soientpetqdeux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Calculer, en fonction deλ,μet de termes de la suite (yn)n?N, la covariance Cov(Xp,Xq) des deux variables aléatoiresXpetXq.

Que peut-on en conclure?

Exercice 3

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose :In=?

1 exp(-tn)dt.

1.Justifier, pour toutn?N?, l"existence deIn.

2.En citant précisément le théorème utilisé, justifier l"existence et déterminer la limite de la suite

(In)n?N?.

3.En le justifiant, effectuer le changement de variableu=tndansIn.

e3a Mathématiques PSI 2021 - Corrigé21e3a Mathématiques PSI 2021 - Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémi Pellerin (ENS Lyon); il a été relu par Angèle

Niclas (ENS Lyon) et Céline Chevalier (enseignant-chercheur à l"université).Ce sujet se compose de quatre exercices indépendants qui portent chacun sur des

parties différentes du programme. •Le premier exercice propose l"étude d"un espace vectoriel de fonctions déri- vables à valeurs réelles. On montre en particulier qu"un tel espace n"est pas toujours stable pour la dérivation et ne contient pas forcément les limites de ses séries simplement convergentes. Les questions 3 et 4 font appel au cours sur les équations différentielles. •Dans le deuxième exercice, on commence par montrer des résultats classiques sur la suite de Fibonacci. Une application est ensuite proposée pour étudier une suite de variables aléatoires définie par la relation de récurrence ?n?NXn+2= Xn+1+ Xn •Le troisième exercice porte sur l"étude du domaine de convergence de la série entière?Inxnoù I n=? 1 exp(-tn) dt On y utilise les principaux résultats du cours d"intégration. •Enfin, le dernier exercice traite de réduction d"endomorphismes. On y établit, à l"aide notamment des polynômes interpolateurs de Lagrange, le résultat sui- vant: pour toutC-espace vectorielEde dimension finie, toutu?L(E)et tous complexes distincts deux à deuxλ1,...,λm, l"endomorphismeuest diagonali- sable de spectre{λ1,...,λm}si et seulement si ?p1,...,pm?L(E)?k?Nuk=m? j=1λ jkpj Ce sujet est excellent pour les révisions. Il n"est pas très difficile, et permet de revoir les principaux théorèmes du cours d"analyse (intégration, équations différen-

tielles, probabilités, suites récurrentes, séries entières) et du cours d"algèbre linéaire.

Les questions sont un peu plus délicates à la fin des exercices mais l"ensemble du

sujet pouvait être traité dans le temps imparti. Il avait sans doute été conçu pour sé-

lectionner les candidats à l"aise avec l"ensemble du programme. De ce fait, il convient aussi aux révisions des élèves d"autres filières.

22e3a Mathématiques PSI 2021 - CorrigéIndications

Exercice 1

1.1 Raisonner par l"absurde et faire tendre xvers+∞. 1.2 Utiliser la question précéden tepuis mon trerque a0= 0,a1= 0, etc. On pourra multiplier la somme par(1 +x)p. 2.3 Utiliser la question 2. 1en expriman tles images des élémen tsde Bparuen fonctions def0,...,fp. 2.4 Mon treru-1({f-1}) =?en utilisant la question 2.3. 2.6 En utilis antla question pré cédente,calculer le p olynômecaractér istiquede uet raisonner sur la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre0.

Utiliser la question 2.3 pour conclure.

2.7

Utiliser la question 2.1 ou bien la ques tion2.5.

4.2

Mon trerpar récu rrencesu rkque

?k>2?x?Jhk(x) =1k!ln(1 +x)k 5.2 Raisonner par l"absurde en remarquan tque si H?E, alors(x?→x)?E.

Obtenir une contradiction en justifiant que

?f?E limx→+∞f(x)1 +x= 0

Exercice 2

1 Remarquer que p ourtous a,b?C,(X-a)(X-b) = X2-(a+b)X-ab. 2

On p ourraremarquer que γ+ 1/γ=⎷5.

3.2

Mon trerque P(X2= 0|X1= 0)?= P(X2= 0).

3.4.1 Une v ariablealéatoire qui suit une loi de P oissonde paramètre λa une espé- rance (et une variance) qui vautλ. 3.4.2 Utiliser les questions 1 et 2 p ourjustifier que yn≂n→+∞γn/⎷5puis en dé- duire que x p=γp-1⎷5

λ+γp⎷5

μ+op→+∞(γp)

3.5 Une v ariablealéatoire qui suit une loi de P oissonde paramètre λa une variance (et une espérance) qui vautλ. De plus, siXetYsont des variables aléatoires indépendantes, alorsV(X + Y) = V(X) + V(Y). 3.6 Rapp elonsque si XetYsont deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé,Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y). De plus, siXetYsont indépen- dantes, alorsCov(X,Y) = 0. e3a Mathématiques PSI 2021 - Corrigé23Exercice 3 2 Utiliser le théorème de con vergencedominée. On p ourraétablir que ?t>1 e-tn62t 2 4 Utiliser de nouv eaule théorème de con vergencedominée. 6.1 Si les suites des co efficientsde deux séries en tièresson téquiv alentes,alors ces séries ont le même rayon de convergence. 6.2 Utiliser le critère des série salternées p ourmon trerque fest définie en-1.

Exercice 4

1 Considérer une famille de pro jecteursasso ciéeà la décomp ositionde Een somme directe d"espaces propres deu. 2.2

Mon trerque le p olynômeπu=m?

j=1(X-λi)vérifieπu(u) = 0L(E). 2.3.2 Utiliser la question préc édentep ourmon trerque la f amilleB= (Lj)j?[[1;m]] est libre. 2.3.3

Utiliser la question 2.3.1 p ourmon trerque

?P?C[X] P =m? j=1P(λj)Lj 2.4 Fixer i?[[1;m]]et utiliser les résultats des questions 2.1 et 2.3.3 avecP = Li. 2.5 Remarquer tout d"ab ordque spu? {λ1,...,λm}. Pour obtenir l"égalité, mon- trer que lespidonnés par la relation(?)sont des projecteurs en examinant leurs valeurs propres, puis que tout vecteuryi?Im(pi)non nul est propre pouruetλi. Pour cela, on pourra établir quepj◦pi= 0L(E)sii?=j.

24e3a Mathématiques PSI 2021 - CorrigéExercice 1

1.1Soient(ak)k?[[-1;p]]des réels tels quep?

k=-1a kfkest la fonction nulle. Raisonnons par l"absurde et supposons quea-1?= 0. Dès lors, ?x?Ja-1ln(1 +x) +p? k=0a k(1 +x)k= 0 puis?x?J ln(1 +x) =-1a -1p k=0a k(1 +x)k En passant à la limite dans le membre de droite quandx→+∞, on obtient lim x→+∞-1a -1p k=0a k(1 +x)k=-a0a -1

ce qui est absurde carlimx→+∞ln(1 +x) =+∞. Par conséquent,Pour tous réels(ak)k?[[-1;p]]tels quep?

k=-1a kfk= 0, on aa-1= 0.1.2Soient(ak)k?[[-1;p]]des réels tels quep? k=-1a kfkest la fonction nulle. D"après la question précédente,a-1= 0. Montrons à présent queak= 0pour toutk?[[0;p]].

Remarquons que la fonction

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