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Corrigé de Centrale PC 2015 maths 1

I Première partie

I.A - Si cette droite es tstable, alors f(u)2Vect(u), donc il existe2Ktel que f(u) =u, doncuest un vecteur propre def. Réciproquement, siuest un vecteur propre def, il existe2Ktel quef(u) = u. Soitx2Vect(u): il s"écritupour un certain scalaire. Alorsf(x) = f(u) =f(u) =u2Vect(u), donc la droite engendrée paruest stable parf. I.B

I.B.1)

Les sous-espaces f0getEsont évidemment stables parf. Il sont au nombre de deux carEn"est pas réduit au vecteur nul, par hypothèse. La rotation d"angle=2dans le plan euclidien canonique, de matrice R=01 1 0 dans la base canonique, n"a pas de troisième sous-espace stable. Sinon, ce serait une droite, qui serait donc une droite propre d"après la question pré- cédente. Orf=A=X2+ 1n"a pas de racine réelle doncfn"a pas de vecteur propre.

I.B.2)

On remarque de l"image et le no yaude fsont toujours stable parf. Si ce dernier est non nul et non injectif, son noyau (ou son image) n"est niEni f0g, ce qui donne un troisième sous-espace stable. Si ce noyau et cette image sont distincts, cela fait quatre sous-espaces stable. C"est nécessairement le cas sinest impair : dans ce cas, on ne peut avoir Imf= Kerf, sinon la formule du rang donnerait2rg(f) =nimpair, ce qui est impossible.

L"endomorphismefde matrice

N=0 1 0 0 dans la base canonique(e1;e2)possède - outref0getR2- un troisième sous-espace stable : la droiteVect(e1), qui est à la fois son noyau et son image. Il n"en a pas d"autre : ce serait une droite propre, or zéro est la seule valeur propre defcomme le montre immédiatement la matriceN, donc la seule droite propre defest son noyauVect(e1).I.C-

I.C.1)

Si Fest un sous-espace engendré par une famille(x1;:::;xp)de vec- teurs propres def, associés aux valeurs propres respectives1;:::;p, si x2F, il existe(1;:::;p)2Kptel quex=Pp k=1kxk, et alors f(x) =Pp k=1kkxk2F, doncFest stable parf. SiEest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre, alorsfF= idF.

I.C.2)

Soit Fun sous-espace propre parfde dimension au moins égale à 2. Il existe une infinité de droites contenues dansF: prendre deux vecteurs non colinéairesx1etx2dansF, et considérer les droitesVect(x1+x2)pour2 K, qui sont deux à deux distinctes). Ces droites sont stables, car engendrées par des vecteurs propres.

I.C.3)

On v adé montrerque fest une homothétie. D"après la première question, tous les vecteurs non nuls deEsont des vecteurs propres def. Pour chaque x2E, on notexl"unique scalaire tel quef(x) =xx(l"unicité vient du fait quex6= 0). Soient alors deux vecteurs non nulsxetydeE, et montrons quex=yen distinguant deux cas. Sixetysont colinéaires, ce que l"on écrity=xpour un certain2K, alors f(y) =yy=f(x) =f(x) =xx=xy; d"oùy=xcaryest non nul. Sinon, on considère le vecteurx+yet on pose=x+y: f(x+y) =(x+y) =x+y=f(x) +f(y) =xx+yy d"oùx==y, car la famille(x;y)est libre. On notela valeur commune de tous les scalairesxpourx6= 0. On a donc

8x2En f0g; f(x) =x, et cette égalité reste évidemment valable lorsque

x= 0. On a bien prouvé quefest une homothétie. I.D

I.D.1)

Soit Fun sous-espace deEetB= (e1;:::;en)une base deEpropre pourf (elle existe par hypothèse de diagonalisablité def). SiF=f0g, il admet un supplémentaire stable qui estE. Sinon,Fpossède une baseF, qui est une famille libre deE, et le théorème de la base incomplète affirme qu"on peut trouver dansBdes vecteursei1;:::;eipqui tels queF [ fei1;:::;eipgsoit une base deE. On pose

G= Vect(ei1;:::;eip):

Par construction,FetGsont supplémentaires, etGest stable puisqu"il est engendré par une famille de vecteurs propres def(question I.C.1).

I.D.2)

On raisonne par récurrence sur la dimension n>1deE. Sin= 1, tous les endomorphismes deEsont des homothéties puisqueEest une droite, donc ils sont diagonalisables. Si la propriété est établie pour tous les espaces de dimensionn1, considérons un espace vectoriel complexeEde dimensionn, et un endomorphismefdeE tel que tout sous-espace deEstable parfadmet un supplémentaire stable parf. Le théorème de d"Alembert Gauss affirme quefpossède au moins une racine, donc quefpossède au moins un vecteur propre, notéx. On pose D= Vect(x), alorsDest stable parf, donc possède un supplémentairequotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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