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I) Oscillateur simple
1 - La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la masse donne :
( )[ ]xuˆmgxxkdt vdm----=&lr a0 projeté sur l"axe (Ox), on obtient ()00=++-+mgxxkxm&l&&a. Comme xX&&= et xX&&&&=, on identifie k mgxX+-=0l pour obtenir la relation demandée 022
00=++XXXwxw&&&. On identifie alors
k mgx~-=0l, ω0 = (k/m)1/2 et m
axw=02 , soit mk2 ax=.Notons que
x~ est la position d"équilibre du système (X = 0).ω0 est la pulsation propre (pulsation du régime libre sans amortissement) du système et x est le facteur
d"amortissement (sans dimension).2 - Cas 0=x : l"équation du mouvement devient 02
0=+XXw&&. On a donc un oscillateur
harmonique dont la réponse donne ()()tsinBtcosAX00ww+=. L"application des conditions initiales donne ()AXX==00 et()000wBVX==&, soit une solution :
( )( )tsinVtcosX)t(X0 0000www+=.
Il s"agit d"une solution oscillante non amortie idéale (elle ne se rencontre pas en réalité).
Cas 10
<002=++wxwrr.
Son discriminant réduit s"écrit
2 0202wwx-=D"
. La condition imposée sur x donne donc un discriminant réduit négatif et des solutions complexes conjuguées : 0201wxxw-±-=ir. On peut poser pour des
raisons pratiques la pseudo-période021wxw-=. La réponse du système est en effet ici pseudo-
périodique : ()()()[]tsinBtcosAtexp)t(Xwwxw+-=0. L"application des conditions initiales donne ()AXX==00 et()wxwBAVX+-==000&, soit une solution : ++-=tsinXVtcosXtexp)t(Xwwxwwxw000 00.Il s"agit d"une solution oscillante amortie plus réaliste avec un amortissement pas trop élevé.
Si l"on rajoute l"action du vent, c"est le terme d"amortissement qui se trouve modifié :α est remplacé par α - β. L"action globale est donc de diminuer l"amortissement et donc x. Ce paramètre peut alors devenir
négatif ce qui engendre une instabilité : solution avec exponentielle divergente au lieu de sinusoïdale
amortie. Cela pose évidemment un grand problème pratique : le vent peut conduire à des oscillations
amplifiée et à la destruction de la structure. C"est ce qui s"est produit en 1940 pour le pont de Tacoma
(voir sur Youtube https://www.youtube.com/watch?v=X8YR5nS-PY0). Sans en arriver à ces extrémités ;les oscillations sont moins rapidement amorties et peuvent conduire à un grand inconfort rendant le pont
peu praticable.3 - Le principe fondamental de la dynamique projeté sur Ox devient
( )[ ]( )ftcosFFuˆmgxxkdt vdm xpa2100 rr&l r soit encore en prenant comme nouvelle variable Y = X + F0/mω02,
( )ftcosmFYYYpwxw2212
00-=++&&&
En utilisant la notation complexe, on obtient en utilisant la pulsation ω = 2πf : ( )EtiexpmFYYiY-=-=++-wwwxww12
0022 .
On peut alors exprimer la fonction de transfert du système telle qu"elle est définie dans l"énoncé :
( )200221wwxwww++--==iEYH.
En utilisant les notations réduites de l"énoncé, on a donc finalement : ( )( )W+W--=xwwiH211122 0.4 - On a affaire à un passe-bas qui pourra présenter un phénomène de résonance si la norme de H
présente un maximum. C"est le cas si la norme du dénominateur (ou son carré) est minimale : dérivons
donc ()222241W+W-xpar rapport à Ω : ()()0821222=W+W-W-x donne la solution Ω =0 (minimum ou maximum en o : comportement attendu d"un passe-bas), ou ()02122=+W-x qui donne221x-=W. L"existence de cette solution est conditionnée par 21 trop fort. Si cette solution existe, c"est bien un maximum pour la norme de H car elle est continue et tend
vers 0 à l"infini. Le maximum est alors obtenu pour 2 021xww-=r.
Dans le cas où
ξ2<<1, on constate que 0ww=r au deuxième ordre près en ξ. On obtient alors un maximum pour la norme de H valant environ ( )xww2112
00=H. 5 - Sur la courbe de la figure 3, on lit un maximum aux alentours de 9 dB (environ 2,8 = 109/20 pour la
norme de H.ωo2) pour une pulsation légèrement supérieure à 12 rad.s-1. Avec l"hypothèse précédente, on
en déduit ω0 ≈ 12 rad.s-1 (soit une fréquence voisine de 1,9 Hz) et ( )xww2112 00=H qui donne
( )02 0211wwxH= soit numériquement ξ = 0,17 qui correspond bien à un faible amortissement et ξ < 2-1/2.
6 - On a vu dans la question 4 que le déplacement de la structure devenait important au niveau de la
fréquence de résonance (voir l"introduction). Il faut éviter ce phénomène d"autant plus que cela peut aller
jusqu"à la destruction (voir commentaires en 2) et au minimum un inconfort rendant le pont inutilisable.
7 - On peut envisager un accéléromètre fixé au niveau de la hanche pour éviter les rotations et utiliser
ensuite amFrr=. Un capteur de force par extensométrie fixé au tablier pose le problème de la mesure en
un point que l"on peut résoudre à l"aide d"un tapis roulant (en laboratoire). 8 - La fréquence maximale de tous les spectres est la moitié de la fréquence d"échantillonnage. En
utilisant ( )e minmaxfttN=-, on obtient en effet successivement : 1,68 Hz, 11,5 Hz, 3,37Hz et 33,3 Hz. Or, le signal proposé est de période 0,5 s environ et donc de fréquence voisine de 2 Hz. Le critère de Nyquist-
Shanon n"est donc pas respecté pour les trois premiers graphes : le premier et le troisième ne restituent
aucune fréquence correctement, le deuxième ne donne que les deux premières harmoniques. Sur ces trois
graphes, on assiste à un repliement de spectre. Par exemple pour le deuxième par exemple, en plus des
fréquences à 2 et 4 Hz, on trouve des pics à environ 1,3 Hz, 3,3 et 5,3 Hz : il s"agit des fréquences 6, 8 et
10 Hz repliées. En effet
fe - 10 donne 1,5, fe - 8, 3,5 et fe - 6, 5,5 Hz ce qui coïncide grossièrement avec les fréquences des pics observés (problème de précision sur les t donnés ?) Seul le graphe 4 permet d"obtenir un spectre convaincant : fondamentale vers 2 Hz et 6 harmoniques bien
observables. La fréquence de la marche est de l"ordre de 1 Hz, Les deux pieds jouant un rôle symétrique, la fréquence
de la force est le double. 9 - La fréquence de résonance du pont correspond à la fréquence de la marche ! (quels sont les
ingénieurs qui l"ont conçu ???) Le système d"amortisseur n"a pas amorti grand chose (-2 dB), mais a par contre dédoublé la résonance en
créant une anti résonance pour la fréquence de la marche (-8 dB cette fois). L"explication vient donc du
couplage des deux oscillateurs, hors programme. Remarque : l"amortissement a bien été réalisé en majorité par des amortisseurs (viscous dampers) même
s"il y a quelques tuned mass dampers (des masses oscillantes créant un couplage décalant les fréquences
de résonance : voir un problème des mines précédant sur la limitation des oscillations des gratte-ciel).
II - Système élastique continu
10 - [E]=[F][L]/[S][ΔL] = [F]/[S], donc le module d"Young est homogène à une pression (force par
unité de surface). Son unité est donc le Pascal (Pa). 11 - Partie hors programme MP - voir correction sur les sujets PC ou PSI ou sur un cours de ces
sections. 22
22xXE
tX 12 - idem. 22
0 22xX
T ty 13 - idem. On identifie m
0Tc= l. III - Modèle de la poutre élancée
14 - Il s"agit d"ondes stationnaires : les fonctions de l"espace et du temps sont décorrélées. Les solutions
de ce type correspondent à des systèmes finis avec des conditions aux limites de type grandeur constante
(nulle le plus souvent). 15 -En injectant la solution proposée dans l"équation de l"énoncé, on trouve :
( )( )( ) ( )044 fdIEt dt gdxSfr que l"on manipule pour obtenir : xfx xfd S IE tgt dtgd 44
r Ces deux fonctions étant de variables
x et t indépendantes, elles doivent être constantes. Posons là égale à C. En g(t), l"équation est donc :
( ) ( )022=+tg.Ctdt gd. Si la constante est négative (
C positif), l"équation en g est celle d"un oscillateur harmonique. Les solutions sont alors harmoniques de période 2 π/C1/2. Mais à ce stade, on ne peut affirmer cela. Le fait que la constante soit négative apparaît dans la question suivante ! De plus, les domaines dans lesquels ont va
trouver C ne sont pas identifiés, ce sera fait en se référant aux conditions initiales qui sélectionnent les
possibilités de valeurs de C : l"affirmation g(t) est une fonction périodique ne peut pas être justifiée à ce stade... Une combinaison linéaire de solutions obtenue avec des C différents pourrait très bien ne pas être périodique. L"équation en
f est d"ordre 4, il y a donc quatre constantes d"intégration à déterminer. L"équation en g est
d"ordre 2, il y a donc deux autres constantes d"intégration à déterminer. y s"obtenant comme un produit, on peut regrouper deux constantes multiplicatives, il y a donc cinq constantes indépendantes à déterminer.
16 -L"équation en f(x) s"écrit ( )( )044=-xfIE
SCt dx fdr, son polynôme caractéristique s"écrit donc 04=-IE
SCrr. Si la constante C est négative, les racines sont 21 41i
IESCr r. Tous ces termes possèdent des parties exponentielles ( ±xIESCexp
/41 4 r) ce qui, avec des valeurs aux limites nulles, conduit à la seule solution f = 0. La constante est bien positive ! On peut alors oser C =
ω2 positif. On a alors des racines pour le polynôme caractéristiques 41/
IESCr)
±=r et
41/
IESCir)
±=r. Ceci donne bien des solutions combinaisons linéaires de exp(βx), exp(- βx), exp(iβx) et exp(-iβx) mais on peut exprimer les solutions dans une autre base, ce qui est fait
dans l"énoncé : cos( βx) sin(βx), sh(βx) et ch(βx) avec 42
41
IES IESC /rwrb=) =. En effet, exp(βx) est, par exemple, la demi somme de sh( βx) et ch(βx).
On a donc bien une solution générale de l"équation en f qui s"écrit comme proposé par l"énoncé.
17 - Les deux équations exprimant les conditions aux limites en 0 donnent : ()00=+=CAf
()0022=+-=¢¢bbCAf Comme β est non nul, A = C = 0
La solution se limite alors à f(x) = B ;sin(
βx) + D.sh(βx)
Les conditions aux limites en L donnent ainsi :
()()()0=+=Lsh.DLsin.BLfbb ()()()022=+-=¢¢Lsh.DLsin.BLfbbbb On ne s"intéresse pas à la solution triviale B = D = 0. Si D doit être nul car sh( βL) ne l"est pas, sin(βL)
peut être nul et donc B non nul (et indéterminé) : il faut alors que pbnL= avec n entier naturel non nul (les cas négatifs sont évacués dans la constante B en changeant son signe). On aboutie alors à prwbnIESLn n==42 soit SIE Lnnrpw222=.
18 - On doit avoir aux extrémités une ligne horizontale ce qui est toujours le cas, et donc un noeud aux
extrémités. La dérivée seconde nulle aux extrémités est également vérifiée dans tous les cas.
Par contre, les modes étudiés donnent les solutions : +=Lx IESsintcosB)t,x(y
n nnn42rwjw Elles ne donnent pas de différence de cote y à z variable (pas de torsion du pont mais une flexion verticale) : on élimine donc les modes b, d, g et h qui sont plus complexes que ceux étudiés ici.
Les quatre cas restant sont identifiés grâce au nombre de ventres qu"ils développent, il y a
n ventres (i.e. n maxima d"amplitude entre 0 et L : nombre de maxima et minima sur la figure) dans le mode n et donc : Mode a
Mode b Mode e Mode f
n 1 2 3 4 Notons que c"est seulement à ce moment qu"on peut donner une solution générale par combinaison
linéaire des yn : ( ) ( )∑ 142
n n nbLx IESsintcosBt,xy
rwjw. Il s"agit d"une série de Fourier qui est bien périodique... On répond positivement à la question 15. 19 - On va discuter de la possibilité d"exciter les différentes parties de la passerelle près de la
résonance. Pour cela, on va calculer les fréquences des modes obtenus dans cette partie. Rappelons que
SIE Lnfnrpp2222= et I = bh3/12 ainsi que S = bh : on obtient donc rp122 2 22Eh
Lnf n=. Les fréquences des modes sont donc en 8245222,L
nf n= avec L en m et fn en Hz. On dresse le tableau de résultats : Longueur (m)/mode
n=1 n=2 n=3 n=4 70 0,50 2,0 4,5 8,0
144 0,12 0,47 1,1 1,9
108 0,21 0,84 1,9 3,4
Le mode 1 ne peut être excité par le signal des piétons, périodique de fréquence 2 Hz environ. Le mode 2
peut l"être sur la travée de longueur 70 m, le mode 3 pour la travée de 108 m, et le mode 4 sur les travées
de longueur 70 m si l"harmonique de rang 4 est suffisamment importante (au vu du spectre fourni, c"est
peu vraisemblable) et sur celle de longueur 144 m (fondamental). L"étude des fréquences propres est identique sauf qu"il faut inverser les rôles dequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
H car elle est continue et tend
vers 0 à l"infini. Le maximum est alors obtenu pour 2021xww-=r.
Dans le cas où
ξ2<<1, on constate que 0ww=r au deuxième ordre près en ξ. On obtient alors un maximum pour la norme deH valant environ ( )xww2112
00=H.5 - Sur la courbe de la figure 3, on lit un maximum aux alentours de 9 dB (environ 2,8 = 109/20 pour la
norme deH.ωo2) pour une pulsation légèrement supérieure à 12 rad.s-1. Avec l"hypothèse précédente, on
en déduit ω0 ≈ 12 rad.s-1 (soit une fréquence voisine de 1,9 Hz) et ( )xww211200=H qui donne
( )020211wwxH= soit numériquement ξ = 0,17 qui correspond bien à un faible amortissement et ξ < 2-1/2.
6 - On a vu dans la question 4 que le déplacement de la structure devenait important au niveau de la
fréquence de résonance (voir l"introduction). Il faut éviter ce phénomène d"autant plus que cela peut aller
jusqu"à la destruction (voir commentaires en 2) et au minimum un inconfort rendant le pont inutilisable.
7 - On peut envisager un accéléromètre fixé au niveau de la hanche pour éviter les rotations et utiliser
ensuiteamFrr=. Un capteur de force par extensométrie fixé au tablier pose le problème de la mesure en
un point que l"on peut résoudre à l"aide d"un tapis roulant (en laboratoire).8 - La fréquence maximale de tous les spectres est la moitié de la fréquence d"échantillonnage. En
utilisant ( )e minmaxfttN=-, on obtient en effet successivement : 1,68 Hz, 11,5 Hz, 3,37Hz et 33,3 Hz. Or,le signal proposé est de période 0,5 s environ et donc de fréquence voisine de 2 Hz. Le critère de Nyquist-
Shanon n"est donc pas respecté pour les trois premiers graphes : le premier et le troisième ne restituent
aucune fréquence correctement, le deuxième ne donne que les deux premières harmoniques. Sur ces trois
graphes, on assiste à un repliement de spectre. Par exemple pour le deuxième par exemple, en plus des
fréquences à 2 et 4 Hz, on trouve des pics à environ 1,3 Hz, 3,3 et 5,3 Hz : il s"agit des fréquences 6, 8 et
10 Hz repliées. En effet
fe - 10 donne 1,5, fe - 8, 3,5 et fe - 6, 5,5 Hz ce qui coïncide grossièrement avec les fréquences des pics observés (problème de précision sur les t donnés ?)Seul le graphe 4 permet d"obtenir un spectre convaincant : fondamentale vers 2 Hz et 6 harmoniques bien
observables.La fréquence de la marche est de l"ordre de 1 Hz, Les deux pieds jouant un rôle symétrique, la fréquence
de la force est le double.9 - La fréquence de résonance du pont correspond à la fréquence de la marche ! (quels sont les
ingénieurs qui l"ont conçu ???)Le système d"amortisseur n"a pas amorti grand chose (-2 dB), mais a par contre dédoublé la résonance en
créant une anti résonance pour la fréquence de la marche (-8 dB cette fois). L"explication vient donc du
couplage des deux oscillateurs, hors programme.Remarque : l"amortissement a bien été réalisé en majorité par des amortisseurs (viscous dampers) même
s"il y a quelques tuned mass dampers (des masses oscillantes créant un couplage décalant les fréquences
de résonance : voir un problème des mines précédant sur la limitation des oscillations des gratte-ciel).
II - Système élastique continu
10 - [E]=[F][L]/[S][ΔL] = [F]/[S], donc le module d"Young est homogène à une pression (force par
unité de surface). Son unité est donc le Pascal (Pa).11 - Partie hors programme MP - voir correction sur les sujets PC ou PSI ou sur un cours de ces
sections. 2222xXE
tX
12 - idem. 22
0 22xXT ty
13 - idem. On identifie m
0Tc= l.III - Modèle de la poutre élancée
14 - Il s"agit d"ondes stationnaires : les fonctions de l"espace et du temps sont décorrélées. Les solutions
de ce type correspondent à des systèmes finis avec des conditions aux limites de type grandeur constante
(nulle le plus souvent).15 -En injectant la solution proposée dans l"équation de l"énoncé, on trouve :
( )( )( ) ( )044 fdIEt dt gdxSfr que l"on manipule pour obtenir : xfx xfd S IE tgt dtgd 44r
Ces deux fonctions étant de variables
x et t indépendantes, elles doivent être constantes. Posons là égale àC. En g(t), l"équation est donc :
( ) ( )022=+tg.Ctdt gd.Si la constante est négative (
C positif), l"équation en g est celle d"un oscillateur harmonique. Les solutions sont alors harmoniques de période 2 π/C1/2. Mais à ce stade, on ne peut affirmer cela. Le fait que laconstante soit négative apparaît dans la question suivante ! De plus, les domaines dans lesquels ont va
trouverC ne sont pas identifiés, ce sera fait en se référant aux conditions initiales qui sélectionnent les
possibilités de valeurs de C : l"affirmation g(t) est une fonction périodique ne peut pas être justifiée à ce stade... Une combinaison linéaire de solutions obtenue avec des C différents pourrait très bien ne pas être périodique.L"équation en
f est d"ordre 4, il y a donc quatre constantes d"intégration à déterminer. L"équation en g est
d"ordre 2, il y a donc deux autres constantes d"intégration à déterminer. y s"obtenant comme un produit, onpeut regrouper deux constantes multiplicatives, il y a donc cinq constantes indépendantes à déterminer.
16 -L"équation en f(x) s"écrit ( )( )044=-xfIE
SCt dx fdr, son polynôme caractéristique s"écrit donc04=-IE
SCrr. Si la constante C est négative, les racines sont 21 41iIESCr r. Tous ces termes possèdent des parties exponentielles (
±xIESCexp
/41 4 r) ce qui, avec des valeurs aux limites nulles, conduit à la seule solution f = 0. La constante est bien positive !On peut alors oser C =
ω2 positif. On a alors des racines pour le polynôme caractéristiques 41/IESCr)
±=r et
41/IESCir)
±=r. Ceci donne bien des solutions combinaisons linéaires de exp(βx), exp(-βx), exp(iβx) et exp(-iβx) mais on peut exprimer les solutions dans une autre base, ce qui est fait
dans l"énoncé : cos(βx) sin(βx), sh(βx) et ch(βx) avec 42
41IES IESC /rwrb=) =. En effet, exp(βx) est, par exemple, la demi somme de sh(
βx) et ch(βx).
On a donc bien une solution générale de l"équation en f qui s"écrit comme proposé par l"énoncé.
17 - Les deux équations exprimant les conditions aux limites en 0 donnent : ()00=+=CAf
()0022=+-=¢¢bbCAf Commeβ est non nul, A = C = 0
La solution se limite alors à f(x) = B ;sin(
βx) + D.sh(βx)
Les conditions aux limites en L donnent ainsi :
()()()0=+=Lsh.DLsin.BLfbb ()()()022=+-=¢¢Lsh.DLsin.BLfbbbb On ne s"intéresse pas à la solution triviale B = D = 0. Si D doit être nul car sh(βL) ne l"est pas, sin(βL)
peut être nul et donc B non nul (et indéterminé) : il faut alors que pbnL= avec n entier naturel non nul (les cas négatifs sont évacués dans la constante B en changeant son signe). On aboutie alors à prwbnIESLn n==42 soit SIELnnrpw222=.
18 - On doit avoir aux extrémités une ligne horizontale ce qui est toujours le cas, et donc un noeud aux
extrémités. La dérivée seconde nulle aux extrémités est également vérifiée dans tous les cas.
Par contre, les modes étudiés donnent les solutions : +=LxIESsintcosB)t,x(y
n nnn42rwjw Elles ne donnent pas de différence de cote y à z variable (pas de torsion du pont mais une flexionverticale) : on élimine donc les modes b, d, g et h qui sont plus complexes que ceux étudiés ici.
Les quatre cas restant sont identifiés grâce au nombre de ventres qu"ils développent, il y a
n ventres (i.e. n maxima d"amplitude entre 0 et L : nombre de maxima et minima sur la figure) dans le mode n et donc :Mode a
Mode b Mode e Mode f
n 1 2 3 4Notons que c"est seulement à ce moment qu"on peut donner une solution générale par combinaison
linéaire des yn : ( ) ( )∑ 142n n nbLx
IESsintcosBt,xy
rwjw. Il s"agit d"une série de Fourier qui est bien périodique... On répond positivement à la question 15.19 - On va discuter de la possibilité d"exciter les différentes parties de la passerelle près de la
résonance. Pour cela, on va calculer les fréquences des modes obtenus dans cette partie.Rappelons que
SIE Lnfnrpp2222= et I = bh3/12 ainsi que S = bh : on obtient donc rp122 2 22EhLnf n=. Les fréquences des modes sont donc en
8245222,L
nf n= avec L en m et fn en Hz. On dresse le tableau de résultats :Longueur (m)/mode
n=1 n=2 n=3 n=470 0,50 2,0 4,5 8,0
144 0,12 0,47 1,1 1,9
108 0,21 0,84 1,9 3,4
Le mode 1 ne peut être excité par le signal des piétons, périodique de fréquence 2 Hz environ. Le mode 2
peut l"être sur la travée de longueur 70 m, le mode 3 pour la travée de 108 m, et le mode 4 sur les travées
de longueur 70 m si l"harmonique de rang 4 est suffisamment importante (au vu du spectre fourni, c"est
peu vraisemblable) et sur celle de longueur 144 m (fondamental). L"étude des fréquences propres est identique sauf qu"il faut inverser les rôles dequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] centrale pc 2016 corrigé
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