[PDF] Éléments finis M. Kern PC 2 ENSMP – S2733/S2735. 2002. Élé

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ENSMP - S2733/S2735 2002

Éléments finis

M. Kern

PC 2 Exercice I Éléments finis en dimension 1On considère le problème : ?-(p(x)u?(x))?+q(x)u(x) =f(x)dans]0,1[ u(0) =u(1) =1 oùpetqsont définies et bornées sur[0,1], avecp(x)≥p?>0,q(x)≥0, etf?L2(0,1).

1)En donner une formulation variationnelle. Démontrer l"existence et l"unicité de la solution.

V h={vh?C0([0,1]),vh?P1sur]xj,xj+1[,?j,vh(0) =vh(1) =0} Vérifier queVh?H10(]0,1[). Montrer qu"il existe une fonction unique devhtelle que w j(xj) =1;wj(xi) =0,i?=j et que(wj)j=1,Nest une base devh. Donner l"expression dewj.

On définit l"opérateur d"interpolationIhassocié au maillage précédent. Étant donné une fonc-

tionv?H1(0,1, on noteIhvla fonction deVhqui prend les mêmes valeurs quevaux points su maillage : I hv?Vh,Ihv(xj) =v(xj),?j=1,...,N.

3)Écrire le problème approché. Former les intégrales permettant de calculer la matrice et le

second membre du problème approché. Achever le calcul dans le cas oùp(x) =1,q(x) =0, et où l"on remplacefpar son interpolée. Exercice II Estimation de l"erreurOn reprend les notations de l"exercice précédent.

On veut majorer l"erreur entre la solution exacteuet la solution approchéeuh. On notera?u?1=?R10|u?(x)|2dx?

1/2la norme surH10(0,1). On fait l"hypothèse (de régularité)u???L2(0,1).

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2)On noteej= (u-Ihu)|[xj,xj+1]. En utilisantej(xj) =ej(xj+1) =0, montrer qu"il existe

x?[xj,xj+1]tel quee?j(x) =Rxxe??j(t)dt. En déduire que Zxj+1 x j? x j? ?u??(x)??2dx.

3)Conclure que

Z1 0? ?u??(x)??2dx? 1/2 Exercice III Élément finiP2SoitTun triangle. On note(N1,N2,N3)les sommets, N

4resp(N5,N6)un point de l"arête[N1,N3]( resp.[N3,N1],[N1,N2])à choisir.??

???FIG. 1 - TriangleP2

On noteLil"équation de la droite qui définit le côté 3-i(la fonction affine telle que un point

1)Quelle est la dimension deP2?

2)SoitPun polynôme en(x,y)de degréd≥1 qui s"annule sur une droiteL. Montrer qu"on

aP=LQ, oùQest un polynôme de degréd-1.

3)Montrer qu"il existe une unique fonction deP2prenant des valeurs données aux points

(Ni)i=1,...,6. Exprimer les fonctions de base (prenant la valeur 1 en un point et 0 au 5 autres) en fonction des coordonnées barycentriques sur le triangle.

4)Soit deux triangles adjacents : Comment doit-on placer les pointsN4,N5,N6pour qu"une

fonctionP2sur chaque triangle soitcontinuesurT1?T2? Exercice IV Rectangle à 8 noeudsOn considère un rectangle à 8 noeuds (figure 3), et l"espace de polynômes P=? p?Q2,4p(G)+4å i=1p(Ai)-25å i=1p(Ai) =0?

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???FIG. 2 - Deux triangles adjacentsFIG. 3 - TriangleP2bulle

1)Montrer queP2?P.

2)Montrer que l"élément de Lagrange correspondant estPunisolvant. Calculer les fonctions

de base de cet élément.

3)Montrer que cet élément fini est conformeH1.

Exercice V Un élément fini " non standard »Étant donné un triangleK, on note bla fonction " bulle » (faire un dessin pour expliquer le nom de cette fonction) b(x,y) =l1(x,y)l2(x,y)l3(x,y)

On notePl"espace de polynomes de la forme

P=?p=p2+ab,p2?P2,a?R?

1)Quelle est la dimension deP? Montrer queP2?P?P3, et que l"ensemble suivant estP

unisolvant

2)Montrer, avec un minimum de calcul, que cet élément est conformeH1.

Exercice VI Laplacien dans un carréOn considère le problème : ?-Du=fdansW=]0,1[×]0,1[

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M2

S3S1S2

M1FIG. 4 - TriangleP2bulle

On discrétise le problème par éléments finisP1, en prenant un maillage régulier du carréW

de pash=1/(N+1). (i-1, j)(i, j+1) (i+1, j) (i, j) (i, j-1)FIG. 5 - Maillage régulier du carré unité On noteMij= (ih,jh),i=1, ...,N,j=1,...,Nles points du maillage, etjijla fonction de base associée au pointMij.

1)Donner la formulation variationnelle de ce problème.

2)Quel est le support dejij? Écrire l"expression dejijet des ses dérivées partielles dans

chacun des triangles contenus dans le support.

3)Pour les couples(k,l)tels que suppjij∩suppjkl?=/0calculerR

WÑjijÑjkl.

En déduire les équations du système discrèt.

4)On adopte une numérotation des inconues par colonne;

U= (U11,U21,...,UN,1,U12,...,Uij...,U1,N,...,UN,N).

Écrire la matrice du système.

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