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23 sept. 2012 ▷ La matrice d'inertie est une matrice symétrique ;. ▷ On nomme aussi cette matrice tenseur d'inertie. Par convention on pose : 그O(S) =.

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vecteurs de la base par l'opérateur d'inertie. en intégrant sur tout le solide : Les composantes de la matrice d'inertie sont traditionnellement notées : ?.

Exercice 1

Exprimer la matrice d'inertie d'un demi cerceau par rapport à son centre calculer la position de son centre de masse

POLYCOPIE

moment d'inertie du solide à savoir la géométrie des masses

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Géométrie des masses de solides homogènes. Corps homogène de masse m. Centre d'inertie. Matrice d'inertie en (. )

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23 sept 2012 · Opérateur d'inertie en 1 point Définition Matrice d'inertie Détermination du moment d'inertie par rapport `a un axe quelconque

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1) CENTRE D'INERTIE CENTRE D'INERTIE 2) MOMENT D'INERTIE MOMENT D'INERTIE 3) MATRICE D'INERTIE MATRICE D'INERTIE 4) SOLIDES ELEMENTAIRES

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EXERCICES de MECANIQUE Professeur : Franck Besnard CPGE PSI 1 Exercice 5 : détermination de la matrice centrale d'inertie d'un cylindre (CORRECTION)

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Matrices d'inertie de solides usuels m est la masse du solide RESSOURCE PÉDAGOGIQUE -1- z x c Parallélépipède h y x z h /2 R Cylindre de révolution

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permet de déterminer la plupart des matrices d'inertie des solides simples On rappelle - la matrice d'inertie d'un solide dans une base Gxyz : [IG(S)

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1 La matrice d'inertie de la sphère au centre O La sphère a une symétrie sphérique Tout diamètre est axe de symétrie donc : Ixx=Iyy=Izz =A D=F

C'est quoi la matrice d'inertie ?
La matrice d'inertie permet de synthétiser les caractéristiques d'inerties d'un solide S, on retrouve dans cette matrice les particularités géométriques du solide, c'est à dire les symétries (symétrie/plan, /2 plans, de révolution).
Comment calculer la matrice d'inertie ?
L'opérateur d'inertie permet de synthétiser l'ensemble des caractéristiques d'inertie d'un solide. Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice. OP = x · #»x + y · #»y + z · #»z, #»u = ? · #»x + ? · #»y + ? · #»z, un vecteur._{23 sept. 2012}
Quelle est la particularité du centre d'inertie d'un solide ?
Le centre d'inertie d'un objet, et ce quelle que soit l'histoire antérieure du système, s'il est pseudo isolé, correspond à un et un seul des points de sa trajectoire qui est toujours en mouvement rectiligne et uniforme. C'est par exemple au centre d'inertie d'un solide que s'exerce le poids du système.
Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un point est égal à la demi-somme de ses moments d'inertie par rapports à trois axes perpendiculaires ( O x , O y , O z ) passant par le point.

Chap2 : Eléments d"inertie

EXERCICES de MECANIQUE

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: Franck Besnard

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Exercice 5

: détermination de la matrice centrale d"inertie d"un cylindre (CORRECTION)

De plus, les axes

(G,x)?? et (G,y)?? jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B.

On a donc la matrice suivante :

G R

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

0 0 C

Choix du paramétrage :

Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, q et z avec dV=rdrdqdz

Domaine d"intégration :

r varie de 0 à R, z de -H/2 à H/2 et q de 0 à 2p

Calcul :

H 2 R 42
3 H 0 0

2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4

p = + = r q = r p∫∫∫ ∫ ∫ ∫ avec 2M .R .Hr =p soit

2MRC2=

oxGxz GxyI A (y² z²)dm y²dm z²dm I I B" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

oyGyz GxyI B (x² z²)dm x²dm z²dm I I A" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

ozGyz GxzI C (x² y²)dm x²dm y²dm I I A" B"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le même rôle pour la répartition de la matière. On peut donc

en déduire que A"=B"=C/2 et par conséquent que

GxyC CA I C"2 2= + = +

H 2 R 32
Gxy H 0 0 2 M H R² MH²I C" z²dm z².rdr.d .dz .2 . .R²H 12 2 12 p = = =r q = p =p∫∫∫ ∫ ∫ ∫

D"où :

MR² MH²A4 12= +

1) Déterminez la matrice centrale d"inertie d"un cylindre de

révolution plein et homogène de masse M , de rayon R et de hauteur H.

Détermination de la base centrale d"inertie :

Le repère

(G,x,y,z)?? ?? ? est bien le repère central d"inertie du cylindre. L"axe (G,z)? est axe de symétrie donc E=D=0.

De même l"axe

(G,x)?? est axe de symétrie donc F=E=0.

Chap2 : Eléments d"inertie

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: Franck Besnard

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2 La matrice centrale d"inertie du cylindre s"écrit ainsi : G R

MR² MH²0 04 12

MR² MH²I (S) 0 04 12

MR²0 02

2) Déduisez-en la matrice d"inertie au centre de l"une de ses bases.

On peut appliquer le théorème de Huygens, soit : O G R b² c² ab ac

I I M. ab c² a² bc

ac bc a² b² Avec

HGO a.x b.y c.z .z2= + + = -???? ?? ?? ? ?

On obtient :

O G R x,y,z

R² H²H²0 00 04 34

H² R² H²I I M. 0 0 M. 0 04 4 3

0 0 0

R²0 02( )

3) Cas particulier d"un disque et d"un barreau cylindrique.

Masse M, rayon R et d"épaisseur négligeable devant R :

Le terme

MH²

12 est alors négligeable devant MR²

4 et on obtient alors au centre du disque :

G x,y,z

1 0 0MR²I (disque) . 0 1 040 0 2( )( )

Cas d"une tige cylindrique de masse M dont le rayon est négligeable devant la longueur H.

C"est alors le terme

MR²

4 qui très petit devant le termeMH²

12. Si G est le centre d"inertie du

barreau et O l"une de ses extrémités.

Chap2 : Eléments d"inertie

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3 G R

H²0 012

H²I (tige) M. 0 012

R²0 02

et O R

H²0 03

H²I (tige) M. 0 03

R²0 02

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Exercice 6 :

Chap2 : Eléments d"inertie

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C'est quoi la matrice d'inertie ?

Comment calculer la matrice d'inertie ?

Quelle est la particularité du centre d'inertie d'un solide ?

Chap2 : Eléments d"inertie

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Exercice 5

De plus, les axes

On a donc la matrice suivante :

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

Choix du paramétrage :

Domaine d"intégration :

Calcul :

2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4

2MRC2=

GxyC CA I C"2 2= + = +

D"où :

MR² MH²A4 12= +

1) Déterminez la matrice centrale d"inertie d"un cylindre de

Détermination de la base centrale d"inertie :

Le repère

De même l"axe

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MR² MH²0 04 12

MR² MH²I (S) 0 04 12

MR²0 02

2) Déduisez-en la matrice d"inertie au centre de l"une de ses bases.

I I M. ab c² a² bc

HGO a.x b.y c.z .z2= + + = -???? ?? ?? ? ?

On obtient :

R² H²H²0 00 04 34

H² R² H²I I M. 0 0 M. 0 04 4 3

R²0 02( )

3) Cas particulier d"un disque et d"un barreau cylindrique.

Le terme

MH²

12 est alors négligeable devant MR²

4 et on obtient alors au centre du disque :

1 0 0MR²I (disque) . 0 1 040 0 2( )( )

C"est alors le terme

MR²

4 qui très petit devant le termeMH²

12. Si G est le centre d"inertie du

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H²0 012

H²I (tige) M. 0 012

R²0 02

H²0 03

H²I (tige) M. 0 03

R²0 02

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Exercice 6 :

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