[PDF] Calcul vectoriel – Produit scalaire

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205

Exercices 1 à 16 223

EXERCICES & SUJETS

SE TESTER Exercices 1 à 4 216

DÉMONSTRATIONS CLÉS Exercices 5 et 6 217

S'ENTRAÎNER Exercices 7 à 14 217

OBJECTIF BAC Exercices 15 et 16 • Sujets guidés 219

FICHES

DE COURS

Rappels sur les vecteurs 206

24 Produit scalaire de deux vecteurs 208

25 Produit scalaire et orthogonalité 210

26 Équations du premier degré à une inconnue 212

MÉMO VISUEL214

Le calcul vectoriel et le produit

scalaire combinent vision géo- métrique et calculs. La notion de produit scalaire , apparue au XIX

Calcul vectoriel - Produit scalaire

GÉOMÉTRIE

206

En bref

1

Égalité de vecteurs

fi fifi fifi fi fifi fifiAB=CD x A y A ) et ( x B y B ), alors le vecteur fi fiAB x B x A y B y A 2

Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles�:

fi fifi fifi fifi fi fifi fififi fifiAB fi u v x y ) et ( x y ), alors uv+ x x y y 3

Produit d'un vecteur par un nombre réel

Si k est un nombre réel et fi u x y fi ku kx ky

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls u

v colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que fi vku= fi uxy(;) v(x;y) xy x?y = 0. Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs fi fiAB fi fifiCD fi fiAB fi fifiAC I

MOT CLÉ

Le nombre

xy -x y est le déterminant des vecteurs u v Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. En physique, il permet de modéliser une grandeur qui ne peut être dé nie par un nombre seul (déplacement, force, vitesse, champ électrique...).

Rappels sur les vecteurs

23

207Calcul vectoriel - Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthodes

1

Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Soit A, B, C trois points non alignés, R le point tel que ???????CR

BM=BA+BC

Montrer que

???????CM=BA En déduire que C est le milieu du segment [RM].

SOLUTION

D'après la relation de Chasles :

???????CB+BC=0 CM=BA ???????CM=BA et ???????CR=AB ????CM ????CR

C est le milieu du

segment [RM] 2

Déterminer les coordonnées d'un point

Le plan est muni d'un repère (O, I, J). On considère les points A(-3 ; -1),

B(-1 ; 3) et C(-1 ; -3).

Déterminer les coordonnées du point M tel que

SOLUTION

On a AB(2;4???

x y x + 3 ; y + 1).

On a donc le système :

x y+3=5 +1=-

D'où

x = 2 et y = est le point de coordonnées (2 ; -3)

CONSEILS

À l'aide de la relation de Chasles, écrivez le vecteur ???? ACB

CONSEILS

Calculez les coordonnées des vecteurs ????

x y ) les coordonnées de M et exprimez les coordon- nées du vecteur IJ O A 208

En bref

L'outil " produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d'angle ou la longueur d'un segment.

Produit scalaire de deux vecteurs

24

Dé nition

Soit fiu fiv produit scalaire est un nombre réel noté fifiuv u scalaire fi »). fiu fiv =0 fifiuv. fiu fiv fi fi u fi fi v uv·=ABAHsiABetAHsontdemêmesens -ABAHsiABetAHsontdesens

Cas particulierfi: si

fiu fiv u0v0 uvu vuv u vuv

Propriétés

Symétriefi: pour tous vecteurs �

fiv = fififi fiuvvu

Bilinéaritéfi: pour tous vecteurs

fiu fiv fiw k fi: uvwuvuw ukvkuvkuv

Expression dans une base orthonormée

Si les vecteurs

fiu fiv x y ) et ( x y ) dans une même base orthonormée du plan, alorsfi:

Norme d'un vecteurfi: pour tout vecteur

fiu x y ) dans une base orthonormée fi: fi uxy I

À NOTER

Puisque u0v0

�B et A �C.

MOT CLÉ

uu·?? est le carré scalaire de u?u=||u|| 2 II

209Calcul vectoriel - Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthode

Calculer des produits scalaires

Sur la fi gure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a.

BCCDb. DCDHc. ABAC

d. BAAE e. ABEC

SOLUTION

a.?Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BCCD=0 b.?

DH=DA+DCDH=DC(DA+AH)=DCDA+DCAH

DCDA=0

DC AH ℓDCAH=42=8

DC·DH=0+8

DCDH. c.?Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc ??ABAC=ABAB

ABAC=16

d.?On a

BAAE=-ABAE

αABAE=ABAH×αBAAE=-ABAH

BAAE=-8

e.?Par la relation de Chasles : AB

ABEA=(-BA)(-AE)=BAAE

AB·EA=-8

ABAC=16

ABEC=-8+16′′ABEC=8

E H

CONSEILS

a.?

Considérez les directions des deux vecteurs.

b.?Décomposez le vecteur c.?Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). d.?Remarquez que e.?Utilisez les résultats des deux questions précédentes. 210

En bref

Soit u v u v uv=0 u v fi fiu=AB fi fifiv=AC une mesure de l'angle BAC on a�: fi uv=ABACcos

Remarques�:

• Si l'angle 0; et cos� �0, donc uv0?? et cos�?�?�0, donc uv�×× fi =�0 et uv=0

Vecteurs orthogonaux

1

Dé nition

Soit u v u v orthogonaux si et seulement si�: uv=0 0 fi fiAB fi fifiCD u , alors tout vecteur non nul ortho- gonal à u vecteur normal FICHE 27
2

Critère d'orthogonalité

Si les vecteurs

u v� x y ) et ( x y ) dans une même base orthonormée du plan, alors u v� xx yy =�0 I Le produit scalaire de deux vecteurs peut s'exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L'orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l'aide d'un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.

Produit scalaire et orthogonalité

25

Calcul vectoriel - Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthodes

1

Montrer que deux droites sont perpendiculaires

ABCD est un carré de côté

c . Les points E et F sont défi nis par CE BF

SOLUTION

AF =AB+BF=AB+3 BE AFBE et, en développant : AF

BE=ABBC+3

AB BC BCCD BC AB CD cABCD=- cBCBC= ficcAFBE=0-3 AF BE (AF) et (BE) sont perpendiculaires 2

Calculer la mesure d'un angle

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(-2 ; 2) et C(6 ; -2). Calculer le produit scalaire ABAC en degrés de l'angle

à 0,1 degré près.

SOLUTION

AB (-4;-2

ABAC=44+(-2)(-6)=-4

ABAC=ABACcos où ℓ est la mesure de l'angle Donc co s=ABAC ABAC. Or

α, soit

et ℓ =97,1° à 0,1 degré près. E D C FBA

CONSEILS

Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vec- teurs

CONSEILS

Calculez les coordonnées des vecteurs

211
212

En bref

vu||+|| 2

Pour tous vecteurs

u v ||u+v|| 2 =||u|| 2 +2u+||v|| 2 v v- ||u-v|| 2 =||u|| 2 -2u+||v|| 2 uv quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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