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Systèmes linéaires

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Exemples préliminaires

Un système de 3 équations à 2 inconnues

Un système de 2 équations à 3 inconnues

Un système de 3 équations à 3 inconnues

2Définition d"un système linéaire

Forme générale

Opérations

3Méthode du pivot de Gauss

Description

Système échelonné

Résolution

Discussion

Exemple de synthèse

Sommaire

1Exemples préliminaires

Un système de 3 équations à 2 inconnues

Un système de 2 équations à 3 inconnues

Un système de 3 équations à 3 inconnues

2Définition d"un système linéaire

3Méthode du pivot de Gauss

1. Exemples préliminairesa) 3 équations - 2 inconnues

Exemple 1.1

Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant: (S) :8 :x+y=1E1

2xy=2E2

3x+2y=a E3Résolution.On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide

decombinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y=1E 1 y=4E

02=E2+2E1

5y=a+3E

03=E3+3E1()8

:x+y=1E 1 y=4E 02

0=a17E

003=E035E02

On obtient un système composé d"un sous-systèmetriangulairede deux équations à deux inconnues(S00) :nx+y=1y=4et d"une équation de"compatibilité»sans inconnue :a17=0. Cette dernière indique si le système(S)admet des solutions ou non : sia6=17, il n"y a pas de solution, on dit que le système(S)estincompatible; sia=17, l"équation de compatibilité s"écrit0 =0et devient redondan te.Les systèmes(S)et(S00)sont alors équivalents. Le sous-système(S00)étanttriangulaire, il est facile de le résoudre en partant de l"équation du bas puis en "remontant» les équations :E02donney=4, puis en reportant dansE1, on récupèrex=y1=3. Le système(S)admet uneuniquesolution dansR2:(x;y) = (3;4).1

1. Exemples préliminairesa) 3 équations - 2 inconnues

Exemple 1.1

Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant: (S) :8 :x+y=1E1

2xy=2E2

3x+2y=a E3Interprétation géométrique

Chaque équation du système(S)représente une droite dans un plan rapporté à un repèreO;~i;~j. Notons

D1la droite d"équationx+y=1

D2la droite d"équation2 xy=2

D3la droite d"équation3 x+2y=a

Résoudre le système(S)revient à déterminer l"intersec- tion de ces trois droites.

La résolution précédente fournit donc :

sia6=17, les droitesD1,D2,D3n"admettent pas de point d"intersection :D1\D 2\D 3=?; sia=17, les droitesD1,D2,D3admettent un point d"intersection, le pointM(3;4), elles sont concourantes:D1\D 2\D 3=fMg:xy 34

O1111MD

1D 2D

3(a=3)D

3(a=5)D

3(a=17)2

1. Exemples préliminairesb) 2 équations - 3 inconnues

Exemple 1.2

Considérons le système de deux équations à trois inconnues suivant : (S) :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2Résolution

On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide de combinaisons linéairessur les équations : (S)()x+y+z=1E 1 y+5z=4E

02=E2+2E1()x+y=1zE

1 y=45zE 02 On obtient un systèmetriangulaire(S0)équivalent à(S)composé de deux équations à deux inconnues dites"principales»(x;y) et une inconnue dite"auxiliaire»(z). Le sous-système(S0)étanttriangulaire, il est facile de le résoudre en partant de l"équation du bas puis en "remontant» les équations :

E02donney=45z,

puis en reportant dansE1, on récupèrex=y+z1=34z. Le système(S)admet une infinité de solutions dansR3: (x;y;z) = (34z;45z;z);z2R:3

1. Exemples préliminairesb) 2 équations - 3 inconnues

Exemple 1.2

Considérons le système de deux équations à trois inconnues suivant : (S) :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2Interprétation géométrique

Chaque équation du système(S)repré-

sente un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. Notons

P1le plan d"équationx+y+z=1

P2le plan d"équation2 xy+3z=2

Résoudre le système(S)revient à déter- miner l"intersection de ces deux plans.

La résolution précédente montre que

les plansP1etP2admettent une infi- nité de points d"intersection, les points

M(34z;45z;z),z2R, il s"agit en

fait d"une droiteD: P

1\P 2=D:4

1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues

Exemple 1.3

Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant: (S) :8 :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2

x+2y+6z=a E3Résolution.On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide

decombinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y+z=1E 1 y+5z=4E

02=E2+2E1

y+5z=a1E

03=E2E1()8

:x+y+z=1E 1 y+5z=4E 02 0=a5E

003=E03E02

On obtient un système composé d"un sous-systèmetriangulairede deux équations à deux inconnuesprincipales(x;y) et uneauxiliaire(z)(S00) :x+y+z=1 y+5z=4et d"une équation decompatibilitésans inconnuea5=0. Cette dernière indique si le système(S)admet des solutions ou non : sia6=5, il n"y a pas de solution, le système(S)estincompatible; sia=5, l"équation de compatibilité s"écrit0 =0et devient r edondante.Les systèmes(S)et(S00)sont alors équivalents. Le sous-système(S00)a été résolu dans l"exemple précédent. Ainsi, le système(S)admet une infinité de solutions dansR3: (x;y;z)=(34z;45z;z);z2R:5

1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues

Exemple 1.3

Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant: (S) :8 :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2

x+2y+6z=a E3Interprétation géométrique Chaque équation de(S)représente un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. Notons

P1le plan d"équationx+y+z=1

P2le plan d"équation2 xy+3z=2

P3le plan d"équationx+2y+6z=a

Résoudre le système(S)revient à déterminer l"in- tersection de ces trois plans.

La résolution précédente fournit donc :

sia6=5, les plansP1,P2,P3n"admettent pas de point d"intersection : P

1\P 2\P 3=?;

sia=5, les plansP1,P2,P3admettent comme intersection une droiteD: P

1\P 2\P 3=D:6

1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues

Exemple 1.4

Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant : (S) :8 :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2

x+2y+5z=4E3Résolution On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide de combinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y+z=1E 1 y+5z=4E

02=E2+2E1

y+4z=3E

03=E2E1()8

:x+y+z=1E 1 y+5z=4E 02 z=1E

003=E03E02

On obtient un systèmetriangulairequi se résout en partant de l"équation du bas puis en remontant les équations :

E003donnez=1,

que l"on reporte dansE02qui donney=45z=1, que l"on reporte dansE1qui donnex=y+z1=1. Le système(S)admet uneuniquesolution dansR3:(x;y;z) = (1;1;1).7

1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues

Exemple 1.4

Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant : (S) :8 :x+y+z=1E1

2xy+3z=2E2

x+2y+5z=4E3Interprétation géométrique

Chaque équation du système(S)représente

un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. Notons

P1le plan d"équationx+y+z=1

P2le plan d"équation2 xy+3z=2

P3le plan d"équationx+2y+5z=4

Résoudre le système(S)revient à déterminer l"intersection de ces trois plans. La résolution précédente montre que les plans P

1,P2,P3admettent un point d"intersection,

le pointM(1;1;1), ils sontconcourants: P

1\P 2\P 3=fMg:8

Sommaire

1Exemples préliminaires

2Définition d"un système linéaire

Forme générale

Opérations

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