Chapitre 1 – Équations et Inéquations du 2nd degré
Ces nombres sont appelés "solutions" de l'équation ou "racines" du polynôme (on peut aussi dire racines de l'équation mais attention aux inéquations!). 2)
Équations et inéquations du second degré
1.1 Définition vocabulaire. Une équation du second degré
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ CORRECTION DES EXERCICES
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ: Exercice 1 : Résolvons dans R les inéquations suivantes sans utiliser le discriminant. 1. (2x + 1)(
SECOND DEGRE (Partie 2)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Résolution dans R de l'inéquation ?2x2 +5x?4 ? 0 : (Par rapport aux formules on a ici : a = ?2
Cours ? Inéquation du second degré
a pu si cela est possible
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
Comme ? < 0 l'équation ne possède pas de solution réelle. Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme.
Fiche dexercices 2 : équations et inéquations
factoriser P en un produit de polynômes de degré 1 et 2 les polynômes obtenus sont les facteurs de l'équation ;. 5. dans un tableau de signes
Équations et inéquations du second degré
Tu as vu en classe de seconde la forme canonique d'un trinôme du second degré : ax. 2. +bx +c = a(x ??)2. +? avec ? = ? b. 2a et ? = f (?) avec f (x) = ax.
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < 0 est : S = ?3;2. ] Signe d'un polynôme du second degré.
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1 1 Définition vocabulaire Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax2 + bx + c = 0 où a b
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[1-4] Novembre 2005 Cours ? Inéquation du second degré Définition et premiers exemples Une « inéquation du second degré à une inconnue » est une
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Désignons par (E) l'équation du second degré suivante : (E) : ax2 + bx + c = 0 avec a ?=0et(b c) ? R2 et notons f la fonction associée Définition 3 1 1
[PDF] Équations et inéquations du second degré
Tu as vu en classe de seconde la forme canonique d'un trinôme du second degré : ax 2 +bx +c = a(x ??)2 +? avec ? = ? b 2a et ? = f (?) avec f (x) = ax
[PDF] SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 où a b et c sont des réels avec a ? 0
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1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques ÉQUATIONS INÉQUATIONS Méthode : Résoudre une inéquation du premier degré
[PDF] Equations et inéquations et systèmes partie1 - AlloSchool
second degré 2)Résolution d'une équation du second degré a une inconnue Activité : Résoudre dans ? les équations suivantes : 1)
[PDF] Rapple sur les équations et inéquations du second degré
bien sûr sinon ce n'est plus du second degré) est du même signe de a à l'extérieur des deux solutions distinctes x1 et x2 = Exemple : Pour x²-1 ? = 0² - 4 (
[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes
4 Signe du trinôme et inéquation du second degré On factorise par le coefficient devant x2 c'est à dire ici ?1 P1(x) = ?
Équations et Inéquations du 2nd degré - Maths à Haapiti
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Comment se fait l'inéquation du second degré ?
Pour résoudre une inéquation du second degré, on commence par chercher le signe du trinôme du second degré qui lui est associé. Soit la fonction polynôme du second degré définie sur par : P ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 .Comment résoudre une inéquation du second degré à deux inconnues ?
Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution ?
1Il faut d'abord isoler l'une des deux inconnues dans l'une des deux équations. 2On remplace ensuite le x dans la deuxième équation par le résultat de x dans la première équation.Comment résoudre une inéquation exemple ?
Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple : La solution x=1 est une des solutions de l'inégalité 2x+1<5, car en la rempla?nt dans cette dernière on obtient 2?+1<5 qui est une inégalité vraie.- Règle. Les principales étapes de cette méthode de résolution sont : On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme ax2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 , si ce n'est pas déjà le cas. On évalue le discriminant b2?4ac b 2 ? 4 a c et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
Chapitre 1 : Polynôme du second degré
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
CORRECTION DES EXERCICES
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ:Exercice1:
Résolvons dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(2x+ 1)(x3)>0Posons(2x+ 1)(x3) = 0
(2x+ 1)(x3) = 0,2x+ 1 = 0oux3 = 0 ,x=12 oux= 3Faisons un tableau de signe:x
2x+ 1x3(2x+ 1)(x3)1
123+10++
0+ +00+Ainsi, pour toutx2
1;12 []3;+1[on a(2x+ 1)(x3)>0. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: 1;12 []3;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1Chapitre 1 : Polynôme du second degré
2.4x2 +x2
4x2 +x2, x2+ 4x20,x24x+ 20
Posonsx24x+ 2 = 0
x24x+ 2 = 0,(x2)24 + 2 = 0
,(x2)22 = 0 ,(x2)2= 2 ,x2 =p2oux2 =p2 ,x= 2 +p2oux= 2p2Faisons un tableau de signe.x
x24x+ 212p22 +
p2+1+00+Ainsi,x24x+ 20pour toutx22p2;2 +p2
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle:2p2;2 +p2
3.16(x4)20
Posons16(x4)2= 0
16(x4)2= 0,42(x4)2= 0
,(4x+ 4)(4 +x4) = 0 ,x(8x) = 0 ,x= 0oux= 8Faisons un tableau de signe:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x16(x4)2108+10+0
Ainsi,16(x4)20pour toutx2]1;0][[8;+1[
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;0][[8;+1[4.p5(2x1)20On sait que pour toutx2R,(2x1)20
Ce qui équivaut àp5(2x1)20carp5<0
Par conséquentRest l"ensemble solution de l"inéquation.5.2x2<5x2x2<5x, 2x25x <0
Posons2x25x= 0
2x25x= 0, x(x+ 5) = 0
,x= 0oux+ 5 = 0 ,x= 0oux=5Faisons un tableau de signe:x
2x25x150+10+0
Ainsi,2x25x <0pour toutx2]1;5[[]0;+1[
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;5[[]0;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3Chapitre 1 : Polynôme du second degré
6.2x2p2x >0
Posons2x2p2x= 0
2x2p2x= 0,x(2xp2) = 0
,x= 0ou2xp2 = 0 ,x= 0oux=p2 2Faisons un tableau de signe:x
2x2p2x10p2
2+1+00+
Exercice2:
On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2etg(x) =x2+ 3x2:1.Déterminons les racines des fonctionsfetgdansR. f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2 Soit1le discriminant de l"équation2x2(3 +p2)x+ 6p2 = 01=b24ac
= [(3 +p2)]24(2)(6p2)
= 9 + 6p2 + 248p2 = 1142p2On sait que11<42p2donc1142p2<0ainsi1<0
1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.
Par conséquent, la fonctionfn"admet pas de racines réelles.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4Chapitre 1 : Polynôme du second degré
g(x) =x2+ 3x2Soit2le discriminant de l"équationx2+ 3x2 = 0
2=b24ac
= 324(1)(2)
= 98 = 12>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:
x 1=bp22a=312= 2etx2=b+p
22a=3 + 12= 1
Par conséquent, la fonctiongadmet deux racines distinctes:1et22.Donnons le tableau de signes des fonctionsfetg.
Tableau de signe defx
f(x)1+1+Tableau de signe degx
g(x)112+10+03.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsf(x)<0etg(x)0
dansR.Solution de l"inéquationsf(x)<0
A partir du tableau de signe defprécédent on a:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5Chapitre 1 : Polynôme du second degré
f(x)>0pour toutx2Rainsi l"inéquationf(x)<0n"admet aucune solution réelle. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationf(x)<0est vide.Solution de l"inéquationsg(x)0
A partir du tableau de signe degprécédent on a: g(x)0pour toutx2]1;1][[2;+1[ D"où l"ensemble solutions de l"inéquationg(x)0est l"intervalle ]1;1][[2;+1[Exercice3:
On considère les fonctionsuetvdéfinies surRpar :u(x) = 3x2+ 7x+ 5etv(x) =x22x+ 71.Déterminons si elles existent, les racines des fonctionsuetvdansR.
u(x) = 3x2+ 7x+ 5 Soit1le discriminant de l"équation3x2+ 7x+ 5 = 01=b24ac
= 724(3)(5)
= 4960 =111<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.
Par conséquent, la fonctionun"admet pas de racines réelles. v(x) =x22x+ 7Soit2le discriminant de l"équationx22x+ 7 = 0
2=b24ac
= (2)24(1)(7) = 4 + 28 = 32 = (4p2) 2c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6Chapitre 1 : Polynôme du second degré
2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:
x 1=bp22a=24p2
2=1 + 2p2et
x 2=b+p22a=2 + 4p2
2=12p2
Par conséquent, la fonctionvadmet deux racines distinctes:12p2 et1 + 2p22.Donnons le tableau de signes des fonctionsuetv.
Tableau de signe deux
u(x)1+1+Tableau de signe devx
v(x)112p21 + 2p2+10+03.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsu(x)0etv(x)<0
dansR.Solution de l"inéquationsu(x)0
A partir du tableau de signe deuprécédent on a: u(x)>0pour toutx2R. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationu(x)0est l"ensembleR.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7Chapitre 1 : Polynôme du second degré
Solution de l"inéquationsv(x)<0
A partir du tableau de signe devprécédent on a: v(x)<0pour toutx21;12p2 [1 + 2p2;+1 D"où l"ensemble solutions de l"inéquationv(x)<0est l"intervalle:1;12p2 [1 + 2p2;+1Exercice4:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous.1.2x2+x <3x2422x2+x <3x242,3x2422x2x >0,x2x42>0
Posonsx2x42 = 0
Soitle discriminant de cette équation :
= (1)24(1)(42) = 1 + 168 = 169 = 132 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x1=1132
=6etx2=1 + 132 = 7Faisons un tableau de signe:x
x2x42167+1+00+
Ainsi,x2x42>0pour toutx2]1;6[[]7;+1[
D"où l"ensemble solution de l"inéquation2x2+x <3x242est: ]1;6[[]7;+1[2.3x2x23x+ 43x2x23x+ 4,2x23x+ 43x0,2x26x+ 40,
x23x+ 20
Posonsx23x+ 2 = 0
Soitle discriminant de cette équation :c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8Chapitre 1 : Polynôme du second degré
= (3)24(1)(2) = 98 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=312 = 1etx2=3 + 12 = 2Faisons un tableau de signe:x
x23x+2112+1+00+
Ainsix23x+ 20pour toutx2[1;2]
D"où l"ensemble solution de l"inéquation3x2x23x+ 4est[1;2]Exercice5:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.(x3)(x25x+ 6)>0Posons(x3)(x25x+ 6) = 0
(x3)(x25x+ 6) = 0,x3 = 0oux25x+ 6 = 0 Résolvons les équations :x3 = 0etx25x+ 6 = 0 x3 = 0,x= 3Soitle discriminant de l"équationx25x+ 6 = 0
= (5)24(1)(6) = 2524 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=512 = 2etx2=5 + 12 = 3Faisons un tableau de signe:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x x3x25x+ 6(x3)(x25x+6)123+10+
+00+ 0+0+Ainsi(x3)(x25x+ 6)>0pour toutx2]2;3[[]3;+1[
D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x3)(x25x+ 6)>0est: ]2;3[[]3;+1[2.(x21)(x27x+ 6)0Posons(x21)(x27x+ 6) = 0
(x21)(x27x+ 6) = 0,x21 = 0oux27x+ 6 = 0 Résolvons les équations:x21 = 0etx27x+ 6 = 0 x21 = 0,x= 1oux=1
Soitle discriminant de l"équationx27x+ 6 = 0
= (7)24(1)(6) = 4924 = 25 = 52 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes : x 1=752 = 1etx2=7 + 52 = 6Faisons un tableau de signe:x
x 21x27x+ 6(x21)(x27x+6)1116+1+00++
++00+ +000+ c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10Chapitre 1 : Polynôme du second degré
Ainsi pour toutx2[1;6];(x21)(x27x+ 6)0
D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x21)(x27x+ 6)0est [1;6].Exercice6:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.2x12x5
2x12x5,2x1(2x5)0
2(2x5)(x1)x10
2(2x22x5x+ 5)x10
2x2+ 7x3x10
Étudions le signe des fonctionx1et2x2+ 7x3
Posonsx1 = 0
x1 = 0,x= 1Posons2x2+ 7x3 = 0
Soitle discriminant de cette équation.
= 724(2)(3) = 4924 = 25 = 52
>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: xquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] fiscalité des opérations bancaires
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