[PDF] Chapitre 3 : Trigonométrie 23 sept. 2013 On appelle

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Chapitre 3 : Trigonométrie

PTSI B Lycée Eiffel

23 septembre 2013

Quel est le comble pour un cosinus?

Attraper une sinusite!

Pour compléter le chapître précédent consacré aux fonctions usuelles, un chapître à part consacré

à une catégorie de fonctions qu"il est tout aussi indispensable de connaitre sur le bout des doigts :

les fonctions trigonométriques. On en profitera pour refaire le point sur l"interprétation géométrique

des cosinus, sinus, et autres tangentes, qu"il faut absolument maîtriser pour être capable notamment

de résoudre des équations trigonométriques efficacement. Onprofitera également de ce chapître pour

appliquer nos connaissances sur les réciproques aux fonctions trigonométriques, pour ajouter à notre

catalogue les trois fonctions trigonométriques réciproques.

Objectifs du chapitre :

•capacité à utiliser un cercle trigonométrique rapidement.

•connaissance des multiples formules de trigonométrie, ou du moins capacité à toutes les retrou-

ver rapidement.

•connaissance des dérivées et représentations graphiques des fonctions trigonométriques et de

leurs réciproques.

1 Rappels de trigonométrie

1.1 Cercle trigonométrique, radians

Définition 1.Lecercle trigonométrique, dans un repère orthonormé, est le cercle de centreO

(origine du repère) et de rayon1. À tout réelx, on associe un pointMdu cercle trigonométrique

en parcourant le cercle sur une distancexà partir du point(1,0), etxest appelémesure en

radiansde l"angle orienté(-→i ,--→OM). L"abscisse et l"ordonnée du pointMassocié àxsont appelées

respectivementcosinusetsinusde ce réel. On définit par ailleurs latangentequand c"est possible,

c"est à dire six?=π

2+kπ,k?Z, partanx=sinxcosx. Pour une interprétation géométrique de la

tangente (expliquant d"ailleurs le nom de tangente), cf le dessin ci-dessous. 1 0 1-1 01 -1 x cos (x)sin (x) tan (x)

Remarque1.Le repérage du cercle trigonométrique suppose le choix d"une orientation sur ce cercle.

On appelle sens trigonométrique (ou positif) le sens opposéà celui des aiguilles d"une montre.

Proposition 1.Valeurs remarquables à connaitre : x0π 6 4 3

2π3π

2 cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20-10 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 210-1
tanx0 ⎷3

31⎷3?0?

Démonstration.Pour les multiples deπ2, il suffit de regarder le cercle trigonométrique. Pourπ4, on

obtient les valeurs facilement en se plaçant dans un demi-carré de côté1(en revenant à la définition

purement géométrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue au

collège). La diagonale a pour longueur⎷

2, donc le cosinus comme le sinus de chacun des deux angles

de mesure

4valent1⎷2=⎷

2

2. Pourπ3etπ6, on se place dans un demi-triangle équilatéral de côté

1. Les longueurs des trois côtés sont donc1;1

2et⎷

3

2(un petit coup de théorème de Pythagore),

dont on déduit sans difficulté les valeurs des lignes trigonométriques. Proposition 2.Propriétés de symétrie du cosinus, du sinus et de la tangente: •cos(x+ 2π) = cosx•sin(x+ 2π) = sinx•tan(x+ 2π) = tanx •cos(x+π) =-cosx•sin(x+π) =-sinx•tan(x+π) = tanx •cos(-x) = cosx•sin(-x) =-sinx•tan(-x) =-tanx •cos(π-x) =-cosx•sin(π-x) = sinx•tan(π-x) =-tanx

•cos(x+π

2) =-sinx•sin(x+π2) = cosx•tan(x+π2) =-1tan(x)

•cos(π

2-x) = sinx•sin(π2-x) = cosx•tan(π2-x) =1tan(x)

2

Démonstration.C"est toujours une question de symétries du cercle trigonométrique : àx+2πcorres-

pond le même point qu"àx; àx+πle symétrique par rapport à0; à-xle symétrique par rapport à

l"axe des abscisses; àπ-xcelui par rapport à l"axe des ordonnées; àx+π

2l"image par une rotation

de centre0et d"angleπ

2, et enfin àπ2-xl"image par la composée de cette rotation et de la symétrie

par rapport à l"axe des abscisses (en commençant par la symétrie).

1.2 Formules trigonométriques

Proposition 3.Pour tout réelx,sin2x+ cos2x= 1.

Démonstration.SoitMle point associé àxsur le cercle trigonométrique. La distanceOM, qui vaut

1, est égale à?

cos2x+ sin2x, ce qui élevé au carré donne notre égalité.

Les formules suivantes sont toutes à connaitre parfaitement et surtout à ne pas confondre les unes

avec les autres. Nous verrons un peu plus tard comment les retenir plus facilement à l"aide des exponentielles complexes.

Proposition 4.Formules d"addition :

•cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

•sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb

•tan(a+b) =tana+ tanb

1-tanatanb•cos(a-b) = cosacosb+ sinasinb

•sin(a-b) = sinacosb-cosasinb

•tan(a-b) =tana-tanb

1 + tanatanb

Démonstration.SoientMetNles points du cercle trigonométrique de coordonnées respectives (cosa,sina)et(cos(a+b),sin(a+b))etM?l"image deMpar rotation autour de l"origine d"angleπ 2.

Le triplet(O,--→OM,---→OM?)est un repère (orthonormal direct). Les coordonnées deNdans ce repère

sont(cosb,sinb)(puisqueNappartient toujours au cercle trigonométrique dans ce nouveau repère,

et(--→OM,--→ON) =a+b-a=b), donc--→ON= cosb--→OM+ sinb---→OM?= cosb(cosa-→i+ sina-→j) +

sinb(-sina-→i+ cosa-→j) = (cosacosb-sinasinb)-→i+ (sinacosb-cosasinb)-→j. Comme on sait

par ailleurs, par définition du pointN, que ces coordonnées sont égales à(cos(a+b),sin(a+b)), une

petite identification donne les formules d"addition du sinus et du cosinus. On a ensuitetan(a+b) = sin(a+b) cos(a+b)=sinacosb+ cosasinbcosacosb-sinasinb=sina cosa+sinbcosb

1-sinasinbcosacosb=tana+ tanb1-tanatanb. Pour obtenir les formules de

soustraction, on reprend les formules précédentes en remplaçantbpar-b. Méthode :Ces formules permettent de calculer les valeurs exactes deslignes trigonométriques d"angles qui peuvent s"exprimer comme sommes ou différencesd"angles classiques, par exempleπ 12: on utilise le fait que

12=π3-π4, donccosπ12= cosπ3cosπ4+ sinπ3sinπ4=⎷

6 +⎷2

4. De même,

sin

12=⎷

3

2.⎷

2

2-12.⎷

2

2=⎷

6-⎷2

4.

Proposition 5.Formules de duplication :

•cos(2a) = cos2a-sin2a= 2cos2a-1 = 1-2sin2a

•sin(2a) = 2cosasina

•tan(2a) =2tan(a)

1-tan2(a)

•cos(3a) = 4cos3a-3cosa

•sin(3a) = 3sina-4sin3a

3 Démonstration.Ce ne sont que des cas particuliers des formules d"addition,mais il est bon de bien les connaitre. Pour obtenircos(3a), on applique la formule d"addition àaet2a:cos(3a) = cos(2a)cosa-sin(2a)sina= 2cos3a-cosa-2cosasin2a= 2cos3a-cosa-2cosa(1-cos2a) = 4cos

3a-3cosa.

Remarque2.On peut calculer les valeurs decos(na)etsin(na)de proche en proche de cette manière, mais on verra une méthode plus efficace utilisant les nombres complexes. Proposition 6.Transformations de sommes en produits (et vice versa) :

•cosacosb=1

2(cos(a+b) + cos(a-b))

•sinacosb=1

2(sin(a+b) + sin(a-b))

•sinasinb=1

2(cos(a-b)-cos(a+b))

•cosp+ cosq= 2cos?p+q

2? cos?p-q2?

•cosp-cosq=-2sin?p+q

2? sin?p-q2?

•sinp+ sinq= 2sin?p+q

2? cos?p-q2?

•sinp-sinq= 2cos?p+q

2? sin?p-q2? Démonstration.Rien de compliqué, par exemplecos(a+b) + cos(a-b) = cosacosb-sinasinb+ cosacosb+ sinasinb= 2cosacosb. On obtient de même les deux formules suivantes, puis les

quatre dernières s"obtiennent directement en partant du membre de droite et en utilisant les trois

premières.

1.3 Résolution d"équations trigonométriques

Définition 2.Soitθ?R, on dit qu"un réelxestcongru àαmoduloθsix=α+kθ, oùkest un

entier relatif quelconque. On le notex≡α[θ].

Exemple :On peut ainsi écrirex≡θ[2π]pour indiquer que le réelxcorrespond sur le cercle

trigonométrique au même point que l"angleθ.

Remarque3.On peut effectuer sur les congruences (qui ne sont rien d"autre que des égalités déguisées)

les opérations suivantes : addition d"une constante des deux côtés (sans toucher à ce qui est dans

le crochet), ou multiplication par une constante (y comprisce qui est dans le crochet). Ainsi, si

2x+π≡π

2[2π], on pourra écrire2x≡ -π2[2π], puisx≡ -π4[π].

Proposition 7.L"équationcos(x) = cos(θ)a pour solutionsx≡θ[2π]etx≡ -θ[2π]. L"équation

sin(x) = sin(θ)a pour solutionsx≡θ[2π]etx≡π-θ[2π].

Exemples :L"équationcos(x) =1

2a pour solutionsx≡π3[2π]etx≡ -π3[2π]. L"inéquation

sin(x)?⎷ 3

2a pour solutionsx??π3,2π3?

[2π]. Exercice :Résoudre les équations suivantes :

1.cos(3x) =1

2

2.sin?

x+π 2? = 1

3.tan(x) = 2cos(x)

4.sin(x) + sin(3x) = 0

4

1. On écrit simplement3x≡ ±π3[2π], soitx≡ ±π9?

2π3?

2. On peut par exemple écrirex+π

2≡π2[2π], soitx≡0[2π], ou encore utiliser le fait que

sin? x+π 2? = cos(x)pour obtenir l"équation équivalentecos(x) = 1(qui donne évidemment les mêmes solutions).

3. Le plus simple est décrire

sin(x) cos(x)= 2cos(x), soitsin(x) = 2cos2(x) = 2-2sin2(x). En posant X= sin(x), on se ramène donc à l"équation2X2+X-2 = 0, qui a pour discriminant Δ = 1 + 16 = 17, et admet comme racinesX1=-1-⎷ 17

4, qui est strictement inférieure à

-1(puisque⎷

17>4) donc n"est pas une valeur valable pour un sinus, etX2=-1 +⎷17

4, qui appartient bien à[-1,1]. Il existe donc un angleθtel quesin(θ) =X2, et les solutions de l"équation initiale sont alorsx≡θ[2π]etx≡π-θ[2π].

4. Une possibilité brutale est d"écriresin(x)+sin(3x) = sin(x)+3sin(x)-4sin3(x) = 4sin(x)(1-

sin

2(x)), les solutions vérifient doncsin(x) = 0,sin(x) = 1ousin(x) =-1, ce qui donnex≡

0?π

2? . Autre possibilité, utiliser une formule de transformation somme-produit pour ramener l"équation à2sin(2x)cos(-x) = 0, soitsin(2x) = 0oucos(x) = 0(la fonctioncosétant paire). Commesin(2x) = 2sin(x)cos(x), on doit en fait avoirsin(x) = 0oucos(x) = 0, ce qui donne bien les solutions trouvées ci-dessus.

2 Fonctions trigonométriques

Proposition 8.La fonctioncosinusest définie surRparx?→cos(x). Elle est paire et2π-périodique,

continue et dérivable, et sa dérivée est égale à-sin(x). Sur l"intervalle[-π;π], son tableau de

variations est le suivant : x-π-π20π2π cosx -1?? ??0?? ??1????0????-1

La courbe bien connue du cosinus :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

01 -1

Démonstration.La périodicité et la parité découlent des propriétéscos(x+2π) = cosxetcos(-x) =

cosx. Le calcul de dérivée peut s"effectuer en revenant au taux d"accroissement et en utilisant des

encadrements exploitant la définition géométrique des lignes trigonométriques, nous verrons cette

démonstration en exercice.

Proposition 9.La fonctionsinusest définie surRparx?→sin(x). Elle est impaire,2π-périodique,

continue et dérivable, sa dérivée est la fonction cosinus, et voici son tableau de variations sur[-π;π]:

5 x-π-π20π2π sinx0????-1?? ??0?? ??1????0

Et une autre courbe bien connue :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

01 -1 Démonstration.Mêmes remarques que pour le cosinus. Proposition 10.La fonctiontangenteest définie surR\?π2+kπ|k?Z? parx?→tan(x). Elle est

impaire,π-périodique, continue et dérivable sur son domaine de définition, ettan?= 1+tan2=1

cos2.

D"où le tableau de variations suivant sur?

2;π2?

x-π20π2 tanx ??0?? Et une dernière courbe peut-être moins bien connue :

0 1 2 3 4-1-2-3-4

012345

-1 -2 -3 -4 -5 6

Démonstration.Encore une fois, tout a été vu sauf la dérivée et les limites, qui se calculent facile-

ment. Par exemple,tan?(x) =?sin cos? (x) =cos2(x) + sin2(x)cos2(x)=1cos2(x)en utilisant la formule de dérivation d"un quotient. Par ailleurs,1+ tan2(x) = 1+sin2(x) cos2(x)=1cos2(x), d"où la deuxième forme possible. Exercice :Étudier le plus complètement possible la fonctionf:x?→cos(x) +12sin(2x).

La fonction est évidemment définie et dérivable surR. Elle n"est ni paire ni impaire, mais2π-

périodique, ce qui permet de réduire l"intervalle d"étude à[-π,π]. Sa dérivée estf?(x) =-sin(x) +

cos(2x) =-sin(x)+1-2sin2(x). En posantX= sin(x),f?(x)est du signe de-2X2-X+1, qui a pour discriminantΔ = 1 + 8 = 9, et admet pour racinesX1=1-3 -4=12, etX2=1 + 3-4=-1. La dérivée est donc positive lorsque-1?sin(x)?1

2, ce qui permet de dresser le tableau de variations

suivant : x-π-π20π6π25π6πf?(x)+ 0 + + 0- -0 + f -1?? ??0?? ??1?? ??3 3

4????0????-3⎷

3 4?? ??-1 Pour compléter le tableau, on a notamment calculéf?π6? = cos?π6? +12sin?π3? 3

2+12×⎷

3 2=

3⎷

3

4(calcul identique au signe près en5π6, les autres valeurs sont faciles à calculer). On a également

déterminé le signe defen résolvant l"équationf(x) = 0: commesin(x) = 2sin(x)cos(x), elle se

ramène àcos(x)(1 +sin(x)) = 0, ce qui donne (sur notre intervalle)x=±π

2. On peut conclure avec

une belle courbe :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

012 -1 -2

3 Fonctions trigonométriques réciproques

Définition 3.La fonctionsinétant strictement croissante sur?

2,π2?

, elle y est bijective vers

l"intervalle image[-1;1]. La fonction réciproque du sinus sur cet intervalle est appeléearcsinuset

notéearcsin.

Proposition 11.La fonctionarcsinest impaire, définie et continue sur[-1;1]et dérivable sur]-1;1[,

de dérivéearcsin?(y) =1 ?1-y2. Elle est strictement croissante sur son domaine de définition. 7 0 1-1 01 -1

Démonstration.L"imparité et la croissance d"arcsindécoulent de celles du sinus via le théorème de

la bijection. Pour la dérivée, appliquons la formule de dérivation d"une réciproque :arcsin?(y) =1

sin?(arcsiny)=1cos(arcsiny). La fonctionarcsinétant à valeurs dans? -π2;π2? , et le cosinus étant positif sur cet intervalle, on acos(arcsiny) =?

1-sin2(arcsiny)) =?1-y2, ce qui prouve la

formule. Remarque4.Le fait quesin(arcsiny) =y, utilisé dans la démonstration, n"est vrai que siy?[-1;1] (sinonarcsin(y)n"existe pas). De même,arcsin(sin(x)) =xseulement six??

2;π2?

(mais cette expression est définie quelle que soit la valeur dex).

Définition 4.La fonctioncosest strictement décroissante sur[0;π], elle y est donc bijective vers

son intervalle image[-1;1]. On définit la fonctionarccosinussur[-1;1](notéearccos) comme la réciproque decossur cet intervalle.

Proposition 12.La fonctionarccosest paire, continue sur[-1;1]et dérivable sur]-1;1[, de dérivée

arccos ?(y) =-1 ?1-y2. Elle est strictement décroissante sur son domaine de définition. 8 0 1-1 0123
Démonstration.La preuve est totalement similaire à la précédente. Proposition 13.Pour tout réely?[-1;1],arccos(y) + arcsin(y) =π2.

Démonstration.Notonsg:y?→arccos(y)+arcsin(y). La fonctiongest définie sur[-1;1], dérivable

et de dérivée nulle sur]-1;1[. Elle est donc constante égale àg(0) = arccos(0)+arcsin(0) =π

2+0 = 2. Définition 5.La fonctiontanest strictement croissante sur? -π2;π2? , elle y effectue donc une

bijection vers son intervalle imageR. La fonctionarctangenteest définie surRcomme sa réciproque,

on la notearctan.

Proposition 14.La fonctionarctanest impaire, continue et dérivable surR, de dérivéearctan?(y) =1

1 +y2. Elle est strictement croissante surR, avec pour limites respectives-π2etπ2en-∞et+∞.

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

012 -1 -2

Démonstration.Comme d"habitude, contentons-nous du calcul de la dérivée,qui est ici facile :

arctan ?(y) =1 tan?(arctany)=1(1 + tan2)(arctany)=11 +y2. 9 Exercice :Démontrer que,?x?R,arcsin?x⎷x2+ 1? = arctan(x). Deux méthodes possibles, d"abord une méthode bourrine où onposef(x) = arcsin?x ⎷x2+ 1?

arctan(x). Il faut déjà réussir à déterminer le domaine de définition def. En constatant que?x?R,

0?x2< x2+ 1, on peut prendre la racine carrée pour obtenir|x|<⎷

x2+ 1, soit-⎷x2+ 1< x <⎷ x2+ 1. On a donc toujours-1entier. Comme la fonctionarctanest également définie surR,Df=R. La fonction est dérivable surR

également puisque l"expression à l"intérieur de l"arcsinus ne prend jamais les valeurs-1et1. Dérivons

donc :f?(x) =⎷ x2+ 1-2x22⎷x2+1 x2+ 1×1?

1-x2x2+1-1x2+ 1=x2+ 1-x2(x2+ 1)32×⎷

x2+ 1⎷x2+ 1-x2-1x2+ 1= x2+ 1 (x2+ 1)32-1x2+ 1= 0. La fonctionfest donc constante. Commef(0) = arcsin(0)-arctan(0) = 0, fest la fonction nulle, ce qui prouve l"égalité demandée. Deuxième méthode, on posex= tan(θ), avecθ??

2;π2?

(on peut toujours, la focntiontan

étant bijective de cet intervalle surR. On a bien évidemmentarctan(tan(θ)) =θsur cet inter-

valle (ce ne serait pas vrai pour unθquelconque), et par ailleursx ⎷x2+ 1=tan(θ)?1 + tan2(θ)= tan(θ)?

cos2(θ). Commecos(θ)est positif sur l"intervalle considéré,x⎷x2+ 1= tan(θ)cos(θ) =

sin(θ). Et comme on est justement dans l"intervalle oùarcsin(sin(θ)) =θ(la vie est bien faite), on

trouvearcsin?x ⎷x2+ 1? =θ, ce qui prouve l"égalité. 10quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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