Fiche dexercices no 4 : Équivalents de fonctions au voisinage dun
8. 1. 1 + x. ?0 1 ? x. Exercice 2. Trouver un équivalent pour chacune des fonctions suivantes.
cdg60
Toute personne qui justifie de l'exercice d'une activité professionnelle d'équivalence pour l'accès à un concours de la fonction publique territoriale ...
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
Etablir pour chacune des fonctions proposées ci-dessous un développement limité de en 0 à à l'ordre 3 mais comme dans l'exercice précédent il va.
Corrigé TD 3 Exercice 1.
Exercice 2. 1. Trouver un équivalent en 0 à x ?? cos(sin x). Comme la limite en 0 est lim x?0 cos(sin x) = 1 qui n'est pas 0 la fonction constante 1 est
LES ÉQUIVALENCES ET DISPENSES DE DIPLÔMES POUR L
page 7) dont l'exercice est subordonné à la détention d'un diplôme faisant l'objet d'équivalence pour l'accès à un concours de la fonction publique ...
Corrigé du TD no 10
(c) En faisant le quotient des deux équivalents précédents il vient : tan x ?0 x. (d) La dérivée en 0 de la fonction x ?? (1 + x)? est égale à ?
ficall.pdf
Exercice 118. Montrer que la relation R définie sur R par : xRy ?? xey = yex est une relation d'équivalence. Préciser pour x fixé dans R
Développements limités équivalents et calculs de limites
Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2. Calculer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction dérivée ? au voisinage de 0.
Exo7 - Exercices de mathématiques
Tous les exercices 88 127.04 Intégration à l'aide d'une fonction auxiliaire ... Déterminer la classe d'équivalence de chaque z ? C. Indication ?.
Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison —
13 janv. 2018 Exercice : 3. Déterminer un équivalent simple des fonctions suivantes au voisinage de 0. 1. f(x) = xex x2 + 1 ln(1 + x). 2. g ...
![Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison — Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison —](https://pdfprof.com/Listes/20/2820-20cours13.pdf.pdf.jpg)
Analyse Asymptotique 1 :
Les Relations de comparaison
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
13 janvier 2018
James Stirling (1692 - 1770), Ecossais `a l"origine de la formule :n!≂?ne? n⎷2πn1 Relations de comparaison : cas des fonctions
Soient 2 fonctionsf, g:I?→Ret un pointa?
I.Nous supposerons ici quefetgsont deux fonctions qui ne s"annulent pas sur un voisinage deapriv´e dea.
Il s"agit ici de comparer les 2 fonctions au voisinage dea.Pour cela, formons leur rapport
f(x) g(x)et regardons ce qui se passe lorsquex→a.3 cas int´eressants se pr´esentent alors :
Cas 1 :f(x)/g(x) est born´e au voisinage deaOn dira quefest domin´e parg:f=O(g) Cas 2 :f(x)/g(x) tend vers 0 lorsque x tend versaOn dira quefest n´egligeable devantg:f=o(g) Cas 3 :f(x)/g(x) tend vers 1 lorsque x tend versaOn dira quefetgsont ´equivalentes :f≂g 1 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/1.1 La relation : "Est un grand O de ..."
Soita?
Ietfetgdeux fonctions d´efinies sur l"intervalleI?Rne s"annulant pas sur un voisinage deapriv´e dea.
D´efinition 1 :"Est un grand O de ..."
On dira que la fonctionfestun grand Ode la fonctiongau voisinage du pointassi f(x) g(x)est born´e au voisinage deapriv´e deaNotation :f(x) =O(g(x)) au voisinage dex0.
Par abus de langage, on noteraO(g) toute fonction ´etant un grand O degau voisinage dea. Lorsquef(x) =O(g(x)), on pourra dans un calcul remplacerf(x) parO(g(x)) mais pasO(g(x)) parf(x).Remarque1.
1. Lorsquef=O(g), on dit aussi que "fest domin´ee parg. Mais cette terminologie prˆete `a confusion...
2. La notationf=O(g) ne veut rien dire si l"on ne pr´ecise pas au voisinage de quel point on se trouve.
3. Ecriref=O(1) au voisinage deasignifie que f est born´ee au voisinage dea.
Exemple 1.Sif(x) = 3x5-x4+ 2xalors :?f=O(x) au voisinage de 0 f=O(x5) au voisinage de +∞.1.2 "Est n´egligeable devant ..."
Soita?
Ietfetgdeux fonctions d´efinies sur l"intervalleI?Rne s"annulant pas sur un voisinage deapriv´e dea.
D´efinition 2 :La relation : "Est n´egligeable devant ..." On dira que la fonctionfestn´egligeabledevant la fonctiongau voisinage du pointassi f(x) g(x)---→x→a0Notation :f(x) =o(g(x)) ou parfoisf(x)<< g(x)
Par abus de langage, on noterao(g) toute fonction n´egligeable devantgau voisinage dea.Lorsquef(x) =o(g(x)), on
pourra dans un calcul remplacerf(x) paro(g(x)) mais paso(g(x)) parf(x).Remarque2.
1. La notationf(x) =o(g(x)) ne veut rien dire si l"on ne pr´ecise pas au voisinage de quel point onse trouve.
2.f(x) =o(g(x)) signifie en gros quef(x) estbeaucoup plus petit en valeur absoluequeg(x) au voisinage dea.
3. Ecriref(x) =o(1) au voisinage deasignifie quef(x)---→x→a0
Exemple 2.Soit (p, q)?N2. On a :xp=o(xq) au voisinage de 0??p > q Exemple 3.Sif(x) = 3x5-x4+x2alors :?f=o(x) au voisinage de 0 f=o(x6) au voisinage de +∞ Proposition 1 :Lien entre les relations de comparaison Si au voisinage d"un pointaon af(x) =o(g(x)) alorsf(x) =O(g(x)).Preuve 1 :Pas de difficult´e.
Th´eor`eme 2 :Comparaison des fonctions usuellesSoientα, β, γ >0 trois r´eels.
1. Comparaison ln et puissance :
en +∞: (lnx)γ=o(xα)
en 0+:|lnx|γ=o(1
xα)2. Comparaison puissance et exponentielle :en +∞:xα=o(eβx)
en +∞:xα=o(ax), lorsquea >1
en-∞:eβx=o(1xα), lorsqueα?N
Par transitivit´e, on en d´eduit que :en +∞: lnβx=o(eαx) 2 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 2 :Voir le cours sur les fonctions usuelles. Exemple 4.D´eterminer la limite en +∞def(x) =x3.ln2x e5x. Le th´eor`eme pr´ec´edent dit en gros la chose suivante : "Aux bornes de leur intervalle de d´efinition, les exponentielles l"emportent sur les fonctions puissance et les fonctions puissance l"emporte sur le logarithme." Proposition 3 :Op´erations sur les relations de comparaisons1)f=o(g),g=o(h)?f=o(h) cad (transitivit´e) idem avecO
2)f1=o(g),f2=o(g)?f1+f2=o(g) cado(g) +o(g) =o(g) idem avecO
3)f1=o(g1),f2=o(g2)?f1f2=o(g1g2) cado(g1)o(g2) =o(g1g2) idem avecO
4)f=o(g)?hf=o(hg) cadho(g) =o(hg) idem avecO
5)f=o(λg) (λ?R?)?f=o(g) cado(λg) =o(g) idem avecO
Preuve 3 :Ces d´emonstrations ne posent aucune difficult´e. Exemple 5.(?) En 0, on suppose quef(x) =x+o(x) et queg(x) =x2+o(x2). Que dire quef(x) +g(x)?Calculs d"une somme avec des "petits o"
1. On commencera par ´eliminer tous les "o" jusqu"`a ce qu"il ne restequ"uno(u(x)).
2. Puis, on ´eliminera tous les termes qui sont eux-mˆemes deso(u(x).
Exemple 6.
1. D´eterminer une fonctionftelle quexlnx=o(f(x)) au voisinage de +∞.
2. D´eterminer une fonctionftelle quelnx
x=o(f(x)) au voisinage de 0.Exercice : 1
Ordonner les fonctions suivantes selon la relation "est n´egligeable devant" au voisinage de +∞.
x2ex,x+x2,x2
lnx,x3lnx,exxlnx,x+ ln⎷x,x2x+ lnx,x2ln2x1.3 La relation : "Est ´equivalent `a ..."
1.3.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es
Soita?
Ietfetgdeux fonctions d´efinies sur l"intervalleI?Rne s"annulant pas sur un voisinage deapriv´e dea.
D´efinition 3 :"Est ´equivalent `a ..."
On dira quefetgsont´equivalentesau voisinage du pointassi : f(x) g(x)---→x→a1Notation :f(x)≂ag(x) ouf(x)≂x→ag(x) ou encoref(x)≂g(x) s"il n"y a pas d"ambigu¨ıt´e.
Proposition 4 :Caract´erisation de l"´equivalence de deux fonctionsOn a au voisinage d"un pointa:
f(x)≂g(x)??f(x) =g(x) +o(g(x))Cela sera particuli`eremet utile lorsqu"on souhaitera remplacer une expression par un ´equivalent dans une ´egalit´e.
3 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/Preuve 4 :Quasi-imm´ediat!
Remarque3.La notationf(x)≂g(x) ne veut rien dire si l"on ne pr´ecise pas au voisinage de quel point on se trouve.
Remarque4.
1.Contrairement `a l"intuition, il n"y a aucune implication entref(x)≂ag(x) etf(x)-g(x)---→x→a0.
Ces deux propri´et´es d´efinissent des notions de proximit´e diff´erentes. 2.Ne JAMAIS ´ecrire quef(x)≂a0 puisque la fonction nulle ne v´erifie pas les conditions d"application de lad´efinition.
Proposition 5 :La relation≂est une relation d"´equivalence surF(I,R).Elle est en particulier sym´etrique, c"est `a dire : sifest ´equivalente `ag,gest alors ´equivalente `af.
On dira donc quefetgsont ´equivalentes.
Preuve 5 :On d´emontre facilement que≂est r´eflexive, sym´etrique et transitive.Exemple 7.
1. Si P est une fonction polynomiale non nulle :
P est ´equivalente `a son monˆome de plus haut degr´e au voisinage de +∞ P est ´equivalente `a son monˆome de plus bas degr´e au voisinage de02. Au voisinage de +∞: chx≂ex
2et shx≂ex2
Remarque5.En fait, une fonction donn´ee admet une infinit´e d"´equivalents auvoisinage d"un pointa. Seulement l"int´erˆet
d"un ´equivalent est de remplacer une fonction par une autre fonction plus simple. On choisira donctoujoursl"´equivalent le
plus simple.Par exemple, au voisinage de +∞on a :???x
2+x≂x2
x2+x≂x2+ 2x+ 1
x2+x≂x2-x-3. Seul le premier ´equivalent a un int´erˆet!!
On retiendra de cet exemple qu"il ne faut jamais donner un ´equivalent sous la forme d"une somme!!!
Exercice : 2
Prouver que si?x?R, on aP(x)ex+Q(x)e-x= 0 avecPetQdes fonctions polynˆomiales, alorsP=Q= 0. .Ne pas confondre la notation≂avec la notation?utilis´ee parfois en physique.1. cosx≂1 au voisinage de 0 est un ´equivalent
2. cosx?1-x2
2au voisinage de 0 est un d´eveloppement limit´e cach´e (Notation jamais utilis´ee en Math!!)
Proposition 6 :Lien entre les relations de comparaisonOn se place au voisinage d"un pointa.
1. Sif(x)≂g(x) alorsf(x) =O(g(x)).
2. Si?f(x)≂g(x)
f(x) =o(α(x))alorsg(x) =o(α(x)). 3. Si ?f(x)≂g(x)α(x) =o(f(x))alorsα(x) =o(g(x)).
Preuve 6 :Pas de difficult´e.
4 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/1.3.2 Comment obtenir des ´equivalents?
Th´eor`eme 7 :Les ´equivalents de r´ef´erences Les limites usuelles en 0, nous donnent les ´equivalents suivants au voisinage de 0 :sinx≂x
arcsinx≂x
shx≂xtanx≂x
arctanx≂x
thx≂x1-cosx≂x2
21-chx≂ -x2
2ln(1 +x)≂x
[ex-1]≂x
(1 +x)α-1≂αx
Exemple 8.(?) D´eterminer `a l"aide d"un changement de variables, un ´equivalent de arccosxau voisinage de 1-.
Th´eor`eme 8 :Les ´equivalents de r´ef´erences - G´en´eralisation Plus g´en´eralement, au voisinage dealorsque f(x)---→x→a0 , on a :sinf(x)≂f(x)
arcsinf(x)≂f(x)
shf(x)≂f(x)
tanf(x)≂f(x)
arctanf(x)≂f(x)
21-chf(x)≂ -f(x)2
2ln(1 +f(x))≂f(x)
?ef(x)-1?≂f(x)
[(1 +f(x))α-1]≂αf(x)
Preuve 8 :Ces r´esultats proviennent directement des limites vues dans le cours sur les fonctions usuelles.
Proposition 9 :Calculs avec des ´equivalents
1. Sif(x)---→x→aletl?= 0 alorsf≂al
2. Sif1≂ag1etf2≂ag2alors?f1f2≂ag1g2
f1/f2≂ag1/g2
3. Soitα?R.
Sif≂agetfetgsont positives alorsfα≂agα(αest ici ind´ependant dex!).Preuve 9 :Pas de difficult´es!
Exercice : 3
D´eterminer un ´equivalent simple des fonctions suivantes au voisinage de 0.1.f(x) =xex
x2+ 1ln(1 +x)2.g(x) =⎷1 + 2x-1
arcsin(cosx-1) .On ne peut pas tout faire avec des ´equivalents :1. Soient les fonctions :f(x) =x2+x g(x) =-x2h(x) =x2+1
x.Au voisinage de +∞on a???f(x)≂x2
g(x)≂ -x2 h(x)≂x2, et pourtant???f(x) +g(x)≂x h(x) +g(x)≂1 xef(x)?≂ex2alors queeh(x)≂ex2.2. Soit
?f(x) = (1 +x)1 x g(x) = (1-x)1 x. Montrer qu"au voisinage de 0 :?f(x)?≂11 x g(x)?≂11 x. .Cons´equences!!1. Le symbole≂ne se manipule pas comme le signe = notamment lorsqu"on a une somme.
5 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/2. On peut prendre sans r´efl´echirdes produits, quotients, puissances d"´equivalents, mais il faut prendre certaines pr´ecautions
(voir ci-dessous!) dans la recherche d"un ´equivalent d"une somme, d"une exponentielle ou d"un logarithme.
3. Dans le cas o`uαest une fonction dex, il faudra ´ecrire :fα=eαlnf.
4. La forme 1
∞est une forme ind´etermin´ee! Th´eor`eme 10 :Cas du logarithme et de l"exponentielle1.Si?f≂ag
g(x)---→x→al?R+\{1}Alors lnf≂alng
Sif(x)---→x→a1 Alors lnf(x) = ln(1 + (f(x)-1))≂af(x)-12.Si?f≂ag
f(x)-g(x)---→x→a0Alorsef≂aeg(Rarement utilis´e en pratique)Preuve 10 :Pas de difficult´e.
Exemple 9.D´eterminer un ´equivalent des fonctions suivantes au voisinage de+∞et de 0 :1.f(x) = ln(x2+ cosx) 2.f(x) = ln((x+ sinx)2+ 1)
Remarque6.
A l"exception des fonctions puissances (sans pr´ecaution) et logarithmes (avec pr´ecautions), on veillera `a :
"Ne JAMAIS ´ecrireu(x)≂α(x) doncf(u(x))≂f(α(x))" M´ethode : Recherche d"un ´equivalent d"une somme :f=g+h1. On commencera par v´erifier si la somme est factorisable.
2. Si ce n"est pas le cas, on recherchera un ´equivalent simple des fonctionsgeth:?g≂a
h≂b. On remplacera ´ecrira alorsf=a+o(a) +b+o(b) et on comparera les ordres de grandeur deaetb.3. Lorsquea+b= 0, la m´ethode pr´ec´edente ne marche pas. On pourra alors :
soit tenter de transformer la fonction (factorisation, quantit´econjugu´ee...). soit recourir aux d´eveloppements limit´es (voir un cours ult´erieur).Exemple 10.
1.f(x) =x2+x.ln1/xauV(+∞).
2.f(x) = 2x+ ln(1 +x) auV(0).3.f(x) = sinx-cos?
x2+π24auV(0).4.f(x) = sinx-xauV(0).
Exemple 11.
1. Prouver qu"au voisinage de 0 on a :
1. (sinx)shx-1≂xlnx2.sin3x
ln(1 +x2)+⎷x≂⎷x2. Montrer qu"au voisinage de +∞on a :
1.x2+ (x-1)lnx≂x22.xx1
x-x≂ln2x3.⎷1 +x2-⎷2 +x+x2≂-12 4. ln3(x+ 1)-ln3x≂3ln2x
x5. sh⎷x2+x-sh⎷x2-x≂exsh12 6 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/1.3.3 Applications des ´equivalents
Proposition 11 :Un ´equivalent donne une id´ee de l"allure de la courbe au voisinage d"un point
Soient deux fonctionsf, g:I?→Reta= 0 ou± ∞ ? I. Si au voisinage du pointa,f≂galors,CfetCgont la mˆeme allure.Exemple 12.Donner l"allure deCfau voisinage de 0 et de l"∞sachant que???f(x)≂xau voisinage de +∞
f(x)≂? |x|au voisinage de 0 f(x)≂ -x2au voisinage de- ∞.Remarque7.Si l"on souhaite obtenir l"allure deCfau voisinage dea?R, on recherchera un ´equivalent def(x)-f(a) au
V(a). Proposition 12 :Un ´equivalent donne localement le signe de la fonctionSoient deux fonctionsf, g:I?→Ret un pointa?
I. Si au voisinage du pointa,f≂galors, il existe un voisinageVdeasur lequelfetgont mˆeme signe.Exemple 13.Etude d"extremumEtudier l"existence d"extremum locaux de la fonctionfd´efinie parf(x) =x3-3x.
Remarque8.Etude de points d"inflexion :
On peut utiliser un ´equivalent def??(x) au voisinage dex0pour montrer queM(x0, f(x0)) est un point d"inflexion de la
courbeCf. Th´eor`eme Fondamental 13 :Un ´equivalent donne la limite!Soient deux fonctionsf, g:I?→Ret un pointa?
I. Si ?f≂ag Preuve 13 :Pas de difficult´e en consid´erant la fonctionhd´efinie parh(x) =f(x)g(x).Remarque9.Pour d´eterminer la limite d"une fonction, on pourra ainsi rechercher un ´equivalent simple de la fonction.
Pour cela, nous pourrons utiliser les r´esultats qui suivent ...Exercice : 4
Etudier les limites suivantes :
1.f(x) = lne2x+ 1
ex+ 1en +∞2.g(x) =sin(sin3x2)sin3(sin2x)en 0 3.h(x) =1x(x-lnx)xen 0+4.k(x) =?ln(1 +x)
lnx? xlnxen +∞5.l(x) = (1 + lnx)tan(π2x)en 1 6.m(x) = ln(lnx+1x) en +∞
Remarque10.Lorsqu"on cherche un ´equivalent au voisinage dea?R?, on pourra se ramener en 0 en posantt=x-a.
Exercice : 5
Prouver que :
1. lim
x→0+xln(xsh1 x) = 1 4. lim x→1+x x-xln(1 +⎷x2-1)= 0 7. limx→0(cosx)1 shxsinx=e-122. lim
x→alog xa-logax shx-sha=-2alnacha5. limx→1e x2+x-e2xcosπx2=-2e2π8. limx→+∞? lnxln(x+ 1)? xlnx=e-13. lim
x→0(1-ex)sinx x2+x3=-1 6. limx→a?2-xa? tanπx2a=e2π9. limx→0+(ln(1 +x))ln(1+x2)= 1
7 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/2 Relations de comparaison : cas des suites
L"objectif de cette partie est l"´etude du comportement d"une suite en +∞par comparaison `a des suites plus simples.
2.1 La relation O : "est un grand O de ..."
D´efinition 4 :
Soient deux suites (un) et (αn) telle queαnne s"annule pas `a partir d"un certain rang. On dit que la suite (un) estun grand Ode la suite (αn) et l"on noteun=O(αn) lorsque : unαn) est born´ee
Remarque11.un=O(αn) se lit de la fa¸con suivante :unest un grand "O" deαn. Pour prouver queun=O(αn), on pourra par exemple, ´etudier la limite deunαn. Si cette limite existe et est finie, alors on aura bienun=O(αn). Remarque12.Ecrire queun=O(1) est ´equivalent `a dire que (un) est born´ee. .O(αn) d´esigne une suite qui est une grand O de (αn).Elle est abusive dans le sens o`u deux suites O de (αn) seront not´ees de la mˆeme fa¸con.
.Lorsqueun=O(αn), on dit parfois que "(un) estdomin´eepar (αn)". cas.Exemple 14.Montrer que :
1. 2 n(n+ 1)=O(1n2) 2.2n=O(n)3.n2+ sinn=O(n2)2.2 La relation o : "est n´egligeable devant ..."
D´efinition 5 :
Soient deux suites (un) et (αn) telle queαnne s"annule pas `a partir d"un certain rang. On dit que la suite (un) estn´egligeabledevant la suite (αn) et l"on noteun=o(αn) lorsque : u nαn?→0
.un=o(αn) se lit de la fa¸con suivante :unest un petit "o" deαn. .o(αn) d´esigne une suite n´egligeable devant (αn).Elle est abusive dans le sens o`u deux suites n´egligeables devant (αn) seront not´ees de la mˆeme fa¸con.
Remarque13.
1. Ecrire que :un=o(1) est ´equivalent `a dire que (un) converge vers 0.
2. Siαn→l?Ralors toute suite n´egligeable devant (αn) converge vers 0 :o(αn)→0.
8 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/Proposition 14 :Calculs aveco
.Dans les ´egalit´es suivantes, le signe "=" signifie " ... est un ..." ou " ... peut s"´ecrire comme un ...".
1. Une combinaison lin´eaire de deux suites n´egligeables devant (αn)
est n´egligeable devant (αn) :λ.o(αn) +μ.o(αn) =o(αn)2. Une suite n´egligeable devant (αn)
est domin´ee par (αn) :o(αn) =O(αn) maisO(αn)?=o(αn)3. Le produit d"une suite (βn) par une suite n´egligeable devant (αn)
est n´egligeable devant (βn.αn) :βn.o(αn) =o(βn.αn)4. La notationoest transitive :si?an=o(bn)
b n=o(cn)alorsan=o(cn) Preuve 14 :Pas de difficult´e particuli`ere ... .Attention!! On ´evitera d"´ecrire des ´egalit´es du type :un=1n+1n2+o(1n).En effet, dans cette expression le terme 1/n2est uno(1/n) et n"apporte donc aucune information int´eressante.
On ´ecrira donc simplementun=1
n+o(1n).Exemple 15.
1. Siun=n+ 1
n2+ 1d´emontrer queun=1n+o(1n).2. Siun=1
n+o(1n) etvn=1n2+o(1n2), que peut-on dire deun+vn?Exercice : 6
Soitl?R.
Que dire d"une suite (un) `a termes non nuls v´erifiantun=l+o(un)? Th´eor`eme 15 :Comparaisons de r´ef´erence1. Si 0< α < βalorsnα=o(nβ) et1
nβ=o(1nα)2. Si 0< αet 0< βalors (lnn)β=o(nα)
3. Si 0< αet 0< βalorsnβ=o(eαn) et par transitivit´e : (lnn)β=o(eαn)
4. Si 1< aet 0< βalorsnβ=o(an)
5. Si 1< aalorsan=o(n!)
6.n! =o(nn)
Preuve 15 :
1. Les 4 premiers r´esultats proviennent des comparaisons entrefonctions de r´ef´erence.
2. Pour prouver quean=o(n!), on pourra montrer queun=an
n!→0 en ´etudiant la limite deun+1un3. Pour prouver quen! =o(nn), on pourra montrer queun=n!
nn→0 en majorant|un|par1n. Remarque14.Bien retenir ces r´esultats car ils sont tr`es utilis´es en pratique!! 9 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/Exemple 16.Classer les suites, dont les termes g´en´eraux sont les suivants, par ordre de n´egligeabilit´e.
1. (a)
1 n(b)1n2(c)lnnn(d)lnnn2(e)1n.lnn2. (a)n(b)n2(c)nlnn(d)⎷
nlnn(e)n2 lnn2.3 La relation≂: "est ´equivalent `a ..."
D´efinition 6 :Suites ´equivalentes
Soient deux suites (un) et (αn) telle queαnne s"annule pas `a partir d"un certain rang. On dit que deux suites (un) et (αn) sont ´equivalentes (Notation :un≂vn) lorsque : u nαn-----→n→+∞1
Remarque15.Nous avons l"´equivalence :un≂αn??un-αn=o(αn) Proposition 16 :La relation "≂" est une relation d"´equivalence sur l"ensemble des suites.Preuve 16 :On d´emontre facilement que la relation≂est r´eflexive, sym´etrique et transitive.
.un≂αnn"implique pas que :un-αn→0. .un-αn→0 n"implique pas que :un≂αn. Pour montrer queun≂αn, on peut utiliser l"une des 3 m´ethodes suivantes : - soit on montre que : unαn→1,
- soit on montre que :un=αn(1 +εn) avecεn→0, - soit on montre que :un=αn+o(αn). Ainsi, on a de fa¸con imm´ediate :n+ lnn≂netn2+n+1 n≂n2 Exemple 17.Trouver un ´equivalent de la suite (un) v´erifiant :un+o(un) =n+o(n). Remarque16.Equivalent d"une suite convergente : Siun→l?R?alorsun≂l .En revanche, siun→0 il ne faudra SURTOUT pas ´ecrireun≂0!!Exemple 18.
- Si P est une fonction polynomiale alors P(n) est ´equivalent au terme de plus haut degr´e- Si F est une fonction rationnelle alors F(n) est ´equivalent au rapport des termes de plus haut degr´e
Proposition 17 :
1. Siun≂αnalorsun=O(αn) etαn=O(un).
2. Si?un≂vn
u n=o(αn)alorsvn=o(αn).Preuve 17 :Pas de difficult´e.
Th´eor`eme Fondamental 18 :Un ´equivalent permet d"obtenir la limite d"une suiteSi?un≂vn
v n?→l?R, alorsun?→l.
10 Cours MPSI-2017/2018 Les relations de comparaison http://pascal.delahaye1.free.fr/Preuve 18 :On aun=vn(1 +εn) avecεn→0.
Th´eor`eme 19 :Un ´equivalent simple permet d"obtenir le signe d"une suiteSi deux suites sont ´equivalentes :un≂vnalors elles sont de mˆeme signe `a partir d"un certain rang.
Preuve 19 :Dans le cas o`uvn?= 0, on a :unvn= 1 +o(1). Par cons´equent,unvn≥0 `a partir d"un certain rang.
Remarque17.Lorsqu"une suite (un) admet pour limite 0 ou l"∞, un ´equivalent deundonne la "vitesse" `a laquelleuntend
vers cette limite.Ainsi :
1. siun≂1
netvn≂1n2, comme1n2=o(1n), alorsvn=o(un) et donc (vn) tend plus rapidement vers 0 que (un).2. siun≂n2etvn≂en, commen2=o(en), alorsun=o(vn) et donc (vn) tend plus rapidement vers +∞que (un).
2.4 Recherche pratique d"´equivalents
Pour rechercher la limite d"une suite (un), il est tr`es utile de commencer par en rechercher un ´equivalent!!
2.4.1 Les ´equivalents usuels
Nous admettrons pour l"instant les ´equivalents classiques suivants:Th´eor`eme 20 :Equivalents usuels
Soit (un) une suite telle que
un?→0 .Alors :
1. sinun≂un
2. tanun≂un
3. shun≂un
4. thun≂un5. arcsinun≂un
6. arctanun≂un
7. [1-cosun]≂u2n/2
8. [1-chun]≂ -u2n/29. ln(1 +un)≂un
10. [eun-1]≂un
11. [(1 +un)α-1]≂αun
lorsqueα?R? Exemple 19.Donner des ´equivalents des suites suivantes :1.un=?
1-sin1n
n2-12.vn=en2e-n+1-e3.wn= ln(cos1n)quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] U ports en commun pour les trajets quotidiens entre son domicile et l établissement
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