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Corrigéd?alauréat S A P M E P PartieC 1 Onvéri?e tout d’abordque : • n =50 et 50>30; • np =50×088 =44 et 44>5; • n(1?p)=50×012 =6 et6>5 Onsait qu’alors l’intervalle de?uctuation asymptotique au seuil de95 est égale à: If = · 088? 196× p 088×(1?088) p 50; 088+ 196× 088×(1?088) p 50 ¸d
Asie 18 juin 2013 - APMEP
Onadmet que pour tout entier n >1 la matrice An peut s’écriresous laforme : An = µ ?n ?n ?n ?n ¶ Démontrer par récurrencequepour tout entier naturel n >1 on a: ?n =2 n?1 + 1 2n+1 et ?n =2 n?1 ? 1 2n+1 2 a Démontrer que pour tout entier naturel nle point En est situé sur ladroited’équation y =x
S ASIE juin 2013
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsPartie A
On considère la suite ( un) définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n : un+1=1+3un 3+un. On admet que tout les termes de cette suite sont définies et strictement positifs.1 . Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
un> 1.2 .a. Etablir que, pour tout entier naturel n, on a : un+1-un=(1-un)(1+un)
3+un b. Déterminer le sens de variation de la suite ( un).En déduire que la suite (
un) converge.Partie B
On considère la suite (
un) définie par : u0= 2 et pour tout entier naturel n : un+1=1+0,5un0,5+unon admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1 . On considère l'algorithme suivant :
Entrée Soit un entier naturel non nul n Initialisation Affecter à u la valeur 2 Traitement POUR i allant de 1 à n et sortie Affecter à u la valeur1+0,5u
0,5+u Afficher u
FIN POUR
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.2 . Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
Conjecturer le comportement de la suite (
un) à l'infini.3 . On considère la suite (
vn) définie, pour tout entier naturel n par : vn=un-1 un+1 a. Démontrer que la suite ( vn) est géométrique de raison -1S ASIE juin 2013
b. Calculer v0 puis écrire vn en fonction de n.4 .a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
vn ≠1. b. Montrer que, pour tout entier naturel a, on a : un=1+vn1-vn ;
c. Déterminer la limite de la suite ( un).S ASIE juin 2013
CORRECTION
Partie A
u0= 2 et pour tout entier naturel n un+1=1+3un 3+un1 . On veut démontrer ,en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier
naturel n on a : un- 1 > 0 . Initialisation : u0= 2 et 2 - 1 = 1 > 0La propriété est vérifiée pour n = 0.
. Hérédité :Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose
que : un- 1 > 0 et on doit démontrer que : un+1- 1 > 0.Or un+1-1=1+3un
3+un -1=1+3un-3-un 3+un =-2+2un 3+un =2×un-13+un On a :
un- 1 > 0 ( hypothèse de récurrence) et 3 + un> 0 ( tous les termes de la suite sont strictement positifs) donc un+1- 1 > 0. . Conclusion : Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que tout entier naturel n : un- 1 > 0.2 .a. un+1-un=1+3un
3+un-un=1+3un-3un-un2
3+un=1-un2
3+un=(1-un)(1+un)
3+un b. Pour tout entier naturel n : 1 + un> 0 et 3 + un> 0 et 1 -un < 0 donc un+1- un< 0.La suite ( un) est strictement décroissante.
( un) est décroissante et minorée par 1. ( un) est donc une suite convergente.Partie B
1 . En utilisant la calculatrice, on complète le tableau.
2 . On remarque que ( un) n'est pas une suite monotone.
Conjecture : La suite ( un) converge vers 1.3 .a. Pour tout entier naturel n, un+ 1 > 0 donc non nul
vn+1=un+1-1 un+1+1S ASIE juin 2013
un+1-1=1+0,5un0,5+un
-1=1+0,5un-0,5-un0,5+un
=0,5-0,5un0,5+un
=-0,5(un-1)0,5+un un+1+1=1+0,5un
0,5+un+1=1+0,5un+0,5+un
0,5+un=1,5+1,5un
0,5+un=1,5(un+1)
0,5+un
donc vn+1=-0,5(un-1)1,5(un+1)=-1
3vn ( vn) est une suite géométrique de raison q = -1 3. b. v0= 2-1 2+1=13 pour tout entier naturel n
vn=v0×(-13)n donc
vn=13×(-1
3)n4 .a. Pour tout entier naturel n on a :
vn-1=un-1 un+1-1=un-1-un-1 un+1=-2 un+1 ≠0 b. Pour tout entier naturel n : vn=un-1 un+1 (un+1)vn=un-1 unvn+vn=un-1 vn+1=un-unvn=un(1-vn) et un=1+vn1-vn c. -1 <
-13< 1 donc limn→+∞(-1
3)n = 0 donc limn→+∞vn= 0Conséquence :
limn→+∞un= 1+0quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] asie juin 2014 maths corrigé
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