[PDF] Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Asie 19 juin 2014?

Exercice 14 points

Commun à tous les candidats

Question1 - c.

On peut éliminer rapidement les réponsesa.etd.car les vecteurs directeurs des droites propo- sées ne sont pas colinéaires au vecteur u.

La représentation paramétrique donnée enc.est une droite qui contient le point A pour la valeur

t=-1.

Question2 - c.

?x=1+t y= -3-t z=2-2t

2x+y-z+5=0

qui donne-2

3comme valeur àtet qui conduit au point E.

Question3 - d.

On appelle

-→n(2; 1;-1)un vecteur normal au planP.

On montre successivement que-→n.--→AB=0 et-→n.--→AC=0 ce qui prouve que les plansPet (ABC)

sont parallèles. Or A??Pdonc les plans sont strictement parallèles.

Question4 - a.

On utilise l"expression du produit scalaire :

AB.--→AC=AB×AC×cos?BAC??12=?

8×?21×cos?BAC

donc cos ?BAC≈0,9258 ce qui correspond à 22,2°.

Exercice 26 points

Commun à tous les candidats

On noteXla variable aléatoire donnant le taux d"hématocrite d"un adulte choisi au hasard dans

la population française; cette variable suit la loi normalede moyenneμ=45,5 et d"écart typeσ.

PartieA

On noteZla variable aléatoireZ=X-μ

σ=X-45,5σ.

1. a.D"après le cours, la variable aléatoireZ=X-μ

σsuit la loi normale centrée réduite,

d"espérance 0 et d"écart type 1. b.D"après le cours, si la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espéranceμ,

P(X?μ)=0,5.

Cela résulte de la symétrie de la courbe de Gauss autour de la droite d"équationx=μ.

2.En prenantσ=3,8,μ-2σ=45,5-2×3,8=37,9 etμ+2σ=45,5+2×3,8=53,1.

Or on sait que si la variable aléatoireXsuit la loi normale de paramètresμetσ: P(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95 doncP(37,9?X?53,1)≈0,95.

PartieB

On définit les évènements :

M:"l"individu est porteur de la maladie V»;

S:"l"individu a plus de 50 ans»;

H:"l"individu a un taux d"hématocrite supérieur àα».

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. a.On sait que 90% des porteurs de la maladie V ont plus de 50 ans doncPM(S)=0,9.

b.La probabilité qu"un individu ayant plus de 50 ans soit porteur de la maladie V est P

S(M)=P(M∩S)

P(S). On sait que 30% de la population a plus de 50 ans, doncP(S)=0,3.

On déduit :PS(M)=P(M∩S)

P(S)=0,0090,3=0,03.

2. a.P(H)=P(X>α)=1-P(X?α)=1-0,995=0,005

b.L"individu choisi au hasard a un taux d"hématocrite inférieur ou égal àα(évènement

H); la probabilité qu"il soit porteur de la maladie V estPH(M). P

H(M)=P(M∩

H) P(H) Onsait que 60% desindividus ayantun taux d"hématocrite supérieur àαsont porteurs de la maladie V, doncPH(M)=0,6. On en déduit queP(H∩M)=P(H)×PH(M)=

0,05×0,6=0,003.

D"après la formule des probabilités totales,P(M)=P(M∩H)+P(M∩

H) donc

P(M∩

H)=P(M)-P(M∩H)=0,01-0,003=0,007.

P

H(M)=P(M∩

H)

P(H)=0,0070,995≈0,007.

La probabilité qu"un individu soir porteur de la maladie sachant qu"il a un taux d"hé- matocrite inférieur ou égale àαest de 0,007.

PartieC

1.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquencepde la maladie V

dans un échantillon de taillenest :I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? p=P(M)=0,01 etn=1000 donc : I=?

0,01-1,96?

0,01×0,99?1000; 0,01+1,96?

0,01×0,99?1000?

≈[0,003; 0,017]

2.Dans un échantillon aléatoire de 1000 personnes possédant le gène, on a trouvé 14 per-

sonnes porteuses de la maladie V doncf=14

1000=0,014.

l"échantillon étudié peut être considéré comme "normal»; on peut conclure que le gène

ne semble pas avoir d"influence sur la maladie.

Exercice 35 points

Commun à tous les candidats

Soitgla fonction définie sur[-1; 1]parg(x)=1

2a(eax+e-ax)oùaest un réel strictement

positif. On définit sur[0 ;+∞[la fonctionfparf(x)=(x-1)e2x-1-x.

1.Lafonctionfestdérivablesur[0;+∞[comme somme, produitetcomposée defonctions

dérivables :f?(x)=1×e2x+(x-1)×2e2x-1=(2x-1)e2x-1 f ?(0)=-e0-1=-2 lim x→+∞(2x-1)= +∞ lim x→+∞ex=+∞=?limx→+∞e2x= +∞? par produit=?limx→+∞(2x-1)e2x=+∞ =?limx→+∞f?(x)=+∞

3.• Pour toutx, e2x>0 donc la fonctionf??est strictement positive sur]0;+∞[, et donc

la fonctionf?est strictement croissante sur[0;+∞[.

Asie219 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• La fonctionf?est continue[0;+∞[. •f?(0)=-2<0 • lim x→+∞f?(x)=+∞ tionf?(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle[0;+∞[; on appellex0cette solution. On aurait pu également établir le tableau de variations de lafonction f?.

4. a.D"après la question précédente :

•f?(x)<0 sur[0;x0[doncfest strictement décroissante sur[0;x0]; •f?(x)>0 sur]x0;+∞[doncfest strictement croissante sur[x0;+∞[. f(0)=-1×e0-1=-2<0 fest décroissante sur[0;x0]? =?f(x)<0 pour toutx?[0;x0]=?f(x0)<0 b.f(2)=1×e4-1-2=e4-3≈51,6>0 • La fonctionfest strictement croissante sur[x0;+∞[. • La fonctionfest continue sur[x0;+∞[. •f(x0)<0 •f(2)=e4-3>0 donc, d"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l"équationf(x)=0 admet une solution unique dans l"intervalle[x0; 2]. f(2)>0 etfest strictement croissante sur[2;+∞[doncl"équationf(x)=0 n"a pas de solution dans l"intervalle[2;+∞[. Commef(x)<0 sur[0;x0], l"équationf(x)=0 n"a pas de solution dans[0;x0]. On peut donc dire que l"équationf(x)=0 admet une unique solution dans l"intervalle [0;+∞[et que cette solution appartient à l"intervalle[x0; 2]; on l"appellea. En utilisant la calculatrice, on trouvea≈1,20.

Pour déterminer une valeur approchée de x

0à la calculatrice, on peut programmer la

fonction f et utiliser le tableau de valeurs, ou utiliser lesolveursi la calculatrice en possède un. 1

0?eax+e-ax?dx.

La fonctionx?-→eαxoùα?=0 a pour primitivex?-→eαx

αdonc la fonctionx?-→eax+

e -axa pour primitive la fonctionx?-→eax a+e-ax-asoitx?-→1a(eax-e-ax). L=? 1

0?eax+e-ax?dx=?1

a?eax-e-ax??10=?1a?ea-e-a?? -?1a?e0-e0?? 1 a(ea-e-a)=11,2?e1,2-e-1,2?≈2,52

Exercice 45 points

Candidatsn"ayantpas choisi la spécialité mathématique PourndeN?, on notefnla fonction définie pour tout réelxde l"intervalle[0 ; 1]par f n(x)=1 1+xn.

Pour toutndeN?, on définit le nombreInparIn=?

1 0 fn(x)dx=? 1 01

1+xndx.

1.Pour toutndeN?et toutxde[0; 1], 1+xn>0 doncfn(x)>0.

DoncIn=?

1 0 fn(x)dxest égale à l"aire du domaine délimité par la courbe représentant la fonctionfn, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=0 etx=1. D"après le graphique, cette aire tend à se rapprocher de 1 quandntend vers+∞.

Asie319 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.I1=?

1

011+xdx=?

ln(1+x)? 1

0=ln2-ln1=ln2

3. a.Pour toutndeN?et toutxde[0; 1]:

0?xn?1??1?1+xn?2??1

1?11+xn?12donc11+xn?1.

b.Pour toutxde[0; 1],1

1+xn?1 donc, d"après la positivité de l"intégration :

1 01

1+xndx??

1 0

1dx??In??x?10??In?1

4.Pour toutndeNet pour toutx,(xn)2?0 donc 1-(xn)2?1 ce qui équivaut à

1-xn)(1+xn)?1 et comme 1+xn>0 pourx?[0; 1]: 1-xn?1

1+xn. 5. 1

0?1-xn?dx=?

x-xn+1 n+1? 1 0=?

1-1n+1?

-0=nn+1

6.On a vu que, pour toutndeNet tout réelxde[0; 1], 1-xn?1

1+xn. D"après la positivité

de l"intégration, on peut en déduire que 1 0 (1-xn)dx?? 1 01

1+xndxc"est-à-dire

n n+1?In. On a vu aussi que pour toutn,In?1. Donc, pour toutn,n n+1?In?1.

On sait que lim

n→+∞1 n+1=0 donc limn→+∞1-1n+1=1 ce qui équivaut à limn→+∞nn+1=1 lim n→+∞n n+1=1, limn→+∞1=1 et, pour toutndeN,nn+1?In?1; donc, d"après le théorème des gendarmes, la suite (In) est convergente et a pour limite 1.

7. a.On fait tourner l"algorithme proposé avecn=2 etp=5 :

kxI 000,2

10,20,392

20,40,565

30,60,712

40,80,834

La valeur deIarrondie au centième qui sera affichée est 0,83. b.Il faut reconnaitre dans l"algorithme proposé la méthode des rectangles permettant de calculer des valeurs approchées d"aire sous une courbe; plus précisément, comme la fonctionfnest décroissante sur[0; 1], on obtient la somme de rectangles majorant l"intégraleIncherchée.

Asie419 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

00,20,40,60,81,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,000,20,40,60,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8

xy f2

Exercice 45 points

Candidatsayantchoisi la spécialité mathématique

PartieA

1.Onsuppose qu"ilexiste unnombrefinidenombrespremiers notésp1,p2,...,pn.Onconsi-

dère le nombreEproduit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :

E=p1×p2×···×pn+1.

Le nombre 2 est premier donc il est dans la liste {p1,p2, ...,pn} donc le produit de ces nombres premiers est supérieur ou égal à 2 et doncEest supérieur ou égal à 2.

Soitiun entier de l"intervalle[1;n].

Le reste de la division deEparpiest 1; doncEn"est pas divisible parpi. Commepiest un nombre premier, et queEn"est pas divisible parpi, alorsEetpisont premiers entre eux. DoncEest premier avec chacun des nombresp1,p2, ...,pn.

2.Tout nombresupérieur à1 admetau moins un diviseur premier,doncEadmet un diviseur

premier. Ce diviseur premier ne peut être nip1, nip2, ni ..., nipn; donc il existe un autre nombre premier qui n"est nip1, nip2, ni ..., nipn, ce qui contredit l"hypothèse faite au départ. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

PartieB

Pour tout entier naturelk?2, on poseMk=2k-1. On dit queMkest lek-ième nombre de

Mersenne.

1. a.On calculeMkpour quelques valeurs dek:

k2345678910

Mk371531631272555111023

b.Pourk=2 premier,M2=3 est premier. Pourk=3 premier,M3=7 est premier. Pour k=5 premier,M5=31 est premier. Pourk=7 premier,M7=127 est premier. D"après ce tableau, on peut conjecturer que sikest premier, alorsMkest premier.

2.Soientpetqdeux entiers naturels non nuls.

a.1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q-1est la somme desqpremiers termes de la suite géo- métrique de premier terme 1 et de raison 2

P; cette somme est égale à :

Asie519 juin 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

premier terme×1-raisonnombre de termes1-raison=1×1-(2p)q1-2p=(2p)q-12p-1 b.Le nombre 1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q-1est entier et, d"après la question précé- dente,?1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q-1?×(2p-1)=2pq-1 donc2pq-1 est divisible par 2 p-1. c.Soitkun nombre non premier; alors il existe deux entiers strictement plus grands que

1 tels quek=pq.

M k=2k-1=2pq-1 est divisible par 2p-1 qui est strictement plus grand que 1 : donc M kn"est pas premier.

3. a.M11=211-1=2047=23×89 doncM11n"est pas premier.

b.La conjecture de la question1.b.est donc fausse : 11 et premier etM11ne l"est pas.

PartieC

Soit (un) la suite définie surNpar :?u0=4

u n+1=u2n-2 pour tout entier natureln

1.D"après le test de Lucas-Lehmer,M5est premier si et seulement siu3≡0 moduloM5.

M Doncu3est divisible parM5donc le test de Lucas-Lehmer est vérifié pourk=5.

2.L"algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de MersenneMnest premier, en uti-

lisant le test de Lucas-Lehmer :

Variables:u,M,netisont des entiers naturels

Initialisation:uprend la valeur 4

Traitement:Demander un entiern?3

Mprend la valeur2n-1

Pouriallant de 1 àn-2faire

uprend la valeuru2-2

Fin Pour

SiMdiviseualors afficher "Mest premier»

sinon afficher "Mn"est pas premier»

Asie619 juin 2014

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