[PDF] 11. Tests dhypothèses (partie 1/2)

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11. Tests d'hypotheses (partie 1/2)

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v1)

MTH2302D: tests d'hypotheses1/30

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Plan

1. Introduction

2. Hypotheses et erreurs

3. Tests d'hypotheses sur un seul echantillon

MTH2302D: tests d'hypotheses2/30

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1. Introduction

2. Hypotheses et erreurs

3. Tests d'hypotheses sur un seul echantillon

MTH2302D: tests d'hypotheses3/30

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Tests d'hypotheses : Introduction

Il s'agit d'une methode statistique permettant de verier, entre autres, la valeur d'un parametre, la forme d'une distribution, etc. Pour cela, les hypotheses decrivant la situation doivent ^etre formulees et un test statistique est ensuite execute.Exemple 1 On etudie la vitesse de combustion du carburant d'une fusee. Le cahier des charges exige que la vitesse moyenne de combustion soit de40cm/s. Supposons que l'ecart-type de cette vitesse soit d'environ = 2cm/s. L'experimentateur veut verier si eectivement la moyenne est de

40cm/s, a partir d'un echantillon de taillen= 25dont la vitesse

moyenne de combustion estx= 41:25cm/s.MTH2302D: tests d'hypotheses4/30

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1. Introduction

2. Hypotheses et erreurs

3. Tests d'hypotheses sur un seul echantillon

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Denitions

Unehypothese statistiqueHest une armation concernant

1.La valeur d'un parametre (moyenne, variance, proportion, etc.)

2.L'egalite des parametres de deux distributions (deux

moyennes, deux variances, etc.)

3.La forme d'une distribution.Remarques :

I Dans les deux premiers cas, on a unehypothese parametrique. I Dans le troisieme cas, on a unehypothese non parametrique.MTH2302D: tests d'hypotheses6/30

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Hypotheses

On suppose que l'on cherche a verier la valeur d'un parametre inconnude la distribution d'une populationX. Pour cela, on compare deux hypotheses portant sur la valeur de.Denition

On distingue deux types d'hypothese :

1.L'hypothese nulle:H0:=0.

2.L'hypothese alternative(oucontre hypothese)H1, qui peut

prendre l'une des formes suivantes : I

H1:6=0(bilaterale).

I

H1: < 0(unilaterale a gauche).

I H1: > 0(unilaterale a droite).MTH2302D: tests d'hypotheses7/30

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Hypotheses (suite)

Nous considerons d'abord le cas ouH1est bilaterale (6=0).

Remarque :L'hypothese nulle peut provenir :

I D'experiences anterieures. Dans ce cas, on cherche a savoir si les conditions ont change. I D'une theorie ou d'un modele du probleme. Dans ce cas, on cherche a determiner si le modele est valide. I De considerations exterieures, comme des specications techniques. Dans ce cas on cherche a savoir si l'objet ou le processus est conforme.

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Erreurs

Denition

1.L'erreur de premiere espece(detype I) est

=P(rejeterH0jH0est vraie):

2.L'erreur de deuxieme espece(detype II) est

=P(accepterH0jH0est fausse):X

XXXXXXXXXXdecisionrealiteH

0est vraieH

0est fausseaccepterH01erreur de type II ()rejeterH0erreur de type I ()1(puissance)MTH2302D: tests d'hypotheses9/30

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Erreurs (suite)

X

XXXXXXXXXXdecisionrealiteH

0est vraieH

0est fausseaccepterH01erreur de type II ()rejeterH0erreur de type I ()1(puissance)Denition

I On appelleleseuil critiqueou leseuil de signicationdu test. I Lapuissancedu test est la probabilite de rejeterH0siH0est eectivement fausse, c'est-a-dire1.MTH2302D: tests d'hypotheses10/30

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Execution du test : les etapes detaillees

1.FormulerH0etH1.

2.Choisir.

3.Considerer un echantillon de taillen.

4.Executer le test : par exemple verier si la statistiquejZ0jest

plus grande quez=2.

5.Conclure en acceptant ou en rejetantH0:

I

RejeterH0: conclusion forte.

INe pas rejeterH0: conclusion faible.

6.Facultatif : calculeret le risque de deuxieme espece.

7.Facultatif : siest trop eleve, indiquer un nouveauet/ou

un nouveaunet recommencer.MTH2302D: tests d'hypotheses11/30

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Remarques

I

En general, on veut queetsoient petits.

I

La probabilitede l'erreur de premiere espece est

habituellement xee a l'avance. I La probabilitede l'erreur de deuxieme espece depend de I

La valeur reelle du parametre.

ILa taillende l'echantillon.

I

Pouretnxes,()est une fonction du parametre.

Le graphe de cette fonction est appelecourbe caracteristique du test. I Idee :On choisitH0etde facon a minimiser le risque d'erreur de type I (la plus grave), et(la proba. d'erreur de type II) est une consequence de ce choix. Souvent < . I Si on veut diminuer, il faut augmenteret/oun.MTH2302D: tests d'hypotheses12/30

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Exemple 2 : illustration du concept (cas 1)

On juge une personne et on formule les hypotheses suivantes : H

0: personne innocente

H

1: personne coupableX

XXXXXXXXXXdecisionrealitepersonne innocentepersonne coupable innocenter la personne1err. type II ()condamner la personneerr. type I ()1(puissance)I

P(condamner un innocent) =.

I

P(liberer un coupable) =.

Ne pas condamner un innocent est prioritaire par rapport a ne pas liberer un coupable.

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Exemple 2 : illustration du concept (cas 2)

On juge une personne et on formule les hypotheses suivantes : H

0: personne coupable

H

1: personne innocenteX

XXXXXXXXXXdecisionrealitepersonne coupablepersonne innocente condamner la personne1err. type II ()innocenter la personneerr. type I ()1(puissance)I

P(liberer un coupable) =.

I

P(condamner un innocent) =.

Ne pas liberer un coupable est prioritaire par rapport a ne pas condamner un innocent.

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Region critique

Le principe general d'un test d'hypothese repose sur la consideration d'une statistique et d'uneregion critique. Une region critique est une region ou il est peu probable que la statistique prenne des valeurs lorsque l'hypothese nulle est vraie. Le test consiste alors a : I RejeterH0si la valeur calculee de cette statistique est dans la region critique :Conclusion forte. I Ne pas rejeter ('accepter)H0si la valeur calculee est en dehors de la region critique :Conclusion faible.MTH2302D: tests d'hypotheses15/30

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1. Introduction

2. Hypotheses et erreurs

3. Tests d'hypotheses sur un seul echantillon

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TH bilateral sur la moyenne : cas ou2est connue

Les trois etapes principales pour le test sont :

1.Formulation des hypotheses :

H 0:=0 H

1:6=0.

2.Calcul de la statistique pertinente avec les valeurs de

l'echantillon : Z 0=X0= pn . SiH0est vraie, alorsZ0N(0;1)(ngrand).

3.Acceptation ou rejet deH0:

I

On calculez=2tel que(z=2) = 1=2.

I

On rejetteH0sijZ0j> z=2ou on accepteH0si

jZ0j z=2(voir illustration).MTH2302D: tests d'hypotheses17/30

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TH bilateral sur la moyenne : cas ou2est inconnue

a la place deZ0, on utilise la statistique T

0=X0S=

pn et I

On rejetteH0sijT0j> t=2;n1.

I On accepteH0sijT0j t=2;n1.MTH2302D: tests d'hypotheses18/30

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TH sur la moyenne : tests unilateraux

Les formulations pour l'hypothese alternativeH1sont :

1.H0:=0(ou0) et 2.H0:=0(ou0)

H

1: < 0H1: > 0

(unilateral a gauche). (unilateral a droite).

Les statistiques du test sont les m^emes :Z0=X0=

pn (2connue) ouT0=X0S= pn (2inconnue).

Les criteres de rejet changent :

Z

0 z

ouT0 t;n1 (unilateral a gauche). (unilateral a droite).

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Erreur de deuxieme espece

Considerons les hypotheses

H 0:=0 H

1:6=0.

SiH0est fausse alors=1=0+ avec6= 0. Si2est

connue, on peut montrer que z =2 pn z=2 pn Exemple 3 :Prouver cette formule en commencant par montrer queZ0Npn ;1

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Erreur de deuxieme espece si2est connue (suite)

I

Cas bilateral :H1:6=0(6= 0) :

z =2 pn z=2 pn I

Cas unilateral gauche :H1: < 0(<0) :

z pn I

Cas unilateral droite :H1: > 0(>0) :

z pn Exemple 4 :Illustrer le cas unilateral a droite.MTH2302D: tests d'hypotheses21/30

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Determination densi2est connue

I

Cas bilateral :H1:6=0(6= 0) :

n'(z=2+z) 2 I

Cas unilateral gauche ou droite : (<0ou>0) :

n=(z+z) 2 Exemple 5 :Prouver le cas unilateral.MTH2302D: tests d'hypotheses22/30

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Determination graphique de(ou den)

On determine graphiquementen fonction ded=jj=pour

etndonnes, avec des courbes comme ci-dessous (unilateral droite, = 5%).Siest inconnue, prendreSou une autre approximation.MTH2302D: tests d'hypotheses23/30

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Exemple 6

On etudie la vitesse de combustion du carburant d'une fusee. Le cahier des charges exige que la vitesse moyenne de combustion soit de40cm/s. On sait que l'ecart-type de cette vitesse est d'environ= 2cm/s. On se preoccupe de la probabilited'accepterH0:= 40cm/s alors que la vitesse moyenne de combustion est en realite = 41cm/s.

1.Calculer la probabilitesi= 0:05etn= 25.

2.Si on veut que le test detecte avec probabilite0:80un ecart

de1cm/s entre0= 40cm/s et la vitesse de combustion moyenne reelle, quelle taille d'echantillon faut-il utiliser?

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Niveau critique observe (P-value)Denition

Leniveau critique observe(ouP-value)PVest la valeur minimale detelle queH0est toujours rejetee.I Avantage : Une fois que laP-value est connue, le decideur peut determiner la decision du rejet ou non-rejet en utilisant n'importe quel seuil. I

Si > PV,H0est rejetee.

I

Inconvenient : calcul pas toujours facile.

I

Lors d'un test, les logiciels donnentPV.

I Habituellement, siPVest grande,H0est acceptee.MTH2302D: tests d'hypotheses25/30

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Calcul de laP-value lors du testH0:=0

SoitZ0la statistique employee pour un TH etz0(out0) sa valeur calculee a partir d'un echantillon. I

Si2est connue :

cas unilateral gauche (H1: < 0)PV= (z0) cas unilateral droite (H1: > 0)PV= 1(z0) cas bilateral (H1:6=0)PV= 2(1(jz0j)) I

Si2est inconnue :

cas unilateralPV=P(T >jt0j)avecTTn1 cas bilateralPV= 2P(T >jt0j)avecTTn1 Exemple 7: illustration de laP-value.MTH2302D: tests d'hypotheses26/30

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Relation avec les intervalles de conance

Soit[L;U]un intervalle de conance pour un parametre, de niveau de conance100(1)%.

Alors le test d'hypotheses au seuil critiquepour

H 0:=0 H 1:6=0 mene au rejet deH0si et seulement si062[L;U].MTH2302D: tests d'hypotheses27/30

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Tests d'hypotheses avec un echantillon : autres cas Le fo rmulaire sur le s itedu cours r esumeles tests d'hyp otheses pour dierentes situations. Les courbes caracteristiques pourcorrespondantes sont normalement donnees dans les livres. LaP-value pour les dierents cas peut ^etre calculee avec

STATISTICA ou R.

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Exemple 8

Un fabricant de boissons gazeuses s'interesse a l'uniformite du remplissage des canettes par une machine. SoitXle volume de remplissage d'une canette. On suppose queX suit une loi normale. Si la variance du volume de remplissage excede 15 mLquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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