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http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 1 / 16CPGE - Sciences Industrielles de l"IngénieurATSThéorie des mécanismes -

HyperstatismeCoursCI4-B >TRANSMETTREv2.0℗Lycée Jules Ferry - 82 Bd de la République - 06400 CANNES

Théorie des mécanismesCompétences visées :

CompétenceIntitulé

C2-13Déterminer le degré de mobilité et d"hyperstatisme. http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 2 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Théorie des mécanismes - Hyperstatisme

Version 2.0 du 16/11/20

Table des matières

1 Rappels sur les liaisons équivalentes 3

1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Liaisons en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Liaisons en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Hyperstatisme4

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Détermination du degré d"hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1 Inconnues cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2 Nombre cyclomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.3 Nombre d"équations cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.4 Mobilités dans le mécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3 Calcul du degré d"hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4 Conséquences de l"hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Exemples d"application 12

3.1 Exemple 1 : système bielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Exemple 2 : pompe à pistons radiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3 Exemple 3 : butée réglable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 3 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗1 Rappels sur les liaisons équivalentes

1.1 Problématique

De nombreuses liaisons mécaniques sont, technologiquement, réalisées par association en série ou

en parallèle de liaisons élémentaires.

L"étude cinématique se simplifiera en déterminant si une liaison équivalente peut être extraite de

ces associations.

La théorie des mécanismes que nous allons ensuite aborder dans ce cours, s"intéressera quant aux

conséquences de telles associations sur le mécanisme, ainsi qu"au choix des liaisons retenues.

1.2 Liaisons en parallèle

Des liaisons sont en parallèle si elles relient les mêmes classes d"équivalence :01L

1=0(1)L

1=0(2)L

1=0(3)Figure1 - Graphe de liaisons en parallèle

Ces situations existent lorsque :

il est nécessaire de répartir les efforts entre plusieurs liaisons,

la place disponible n"est pas suffisante pour grouper l"ensemble des surfaces de contact nécessaires,

la technologie impose le choix de certaines solutions.

L"ensemble se comporte comme une seule liaison, avec ses degrés de liberté spécifiques. Ces degrés

de liberté sont alors imposés à chacune des liaisons élémentaires, qui se comportent alors de façon

identique.

Ceci impose deux conséquences :

Une liaison équivalente a toujoursmoins de degrés de libertéque chacune des liaisons en parallèle : il ne subsisteque les ddl communs. Chaque torseur cinématique associé aux liaisons élémentaires est identique.V1=0 (eq)=V1=0 (1)=V1=0 (2)=V1=0 (3)1.3 Liaisons en série

Pour les mêmes raisons que pour les liaisons en parallèle, on peut être amené à réaliser une liaison

par association en série de liaisons élémentaires. http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 4 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗3210L 3=2L 2=1L

1=0Figure2 - Graphe de liaisons en série

Toutefois, à la différence des liaisons en parallèle, ce choixconserve l"ensemble des degrés de libertéde chacune des liaisons élémentaires. La détermination du torseur cinématique équivalent s"obtient alors en sommant au même point de réduction chacun des torseurs élémentaires :V3=0 (eq)=V3=2+V2=1+V1=01.4 Exemples

On trouvera des exemples de détermination de telles liaisons équivalentes dans le cours sur les

liaisons mécaniques.

2 Hyperstatisme

2.1 Introduction

2.1.1 Définition

Un mécanisme sera dithyperstatiquesi des degrés de liberté ont été supprimés plusieurs fois.

Cette surabondance de suppression de degrés de libertés a plusieurs conséquences : du point de vue de la résolution analytique, trop d"inconnues existent par rapport au nombre

d"équations, rendant ainsi impossible la détermination des inconnues par les méthodes classiques.

du point de vue des contraintes d"assemblage, le mécanisme sera plus délicat à réaliser car sup-

primer plusieurs fois un degré de liberté va imposer des contraintes géométriques entre les pièces

(parallélisme, distance, coaxialité, ...) .

du point de vue de la rigidité du mécanisme, cette surabondance va rendre le système rigide, ce

qui est une qualité souvent recherchée (les machine-outils sont par exemple très hyperstatiques,

car on recherche le moins de déformation possible de la structure) .

du point de vue de la fiabilité du mécanisme, un système hyperstatique sera plus tolérant aux

dégradations des liaisons, car une autre liaison continuera à supprimer les degrés de liberté

nécessaires au fonctionnement du mécanisme. Par opposition au mécanisme hyperstatique, un mécanisme dans lequel on ne supprime que le

nombre de degrés de liberté strictement nécessaire au fonctionnement du système sera ditisostatique.

2.1.2 Exemple

Pour réaliser une liaison pivot, qui supprime 5 degrés de liberté, on peut choisir d"associer en

parallèle une liaison rotule et une liaisons linéaire annulaire : http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 5 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Figure3 - Exemple 1Chacune des liaisons contribue à la suppression du nombre juste nécessaire de degrés de libertés : la rotule supprime 3 translations; la linéaire annulaire supprime 2 rotations. Le positionnement de l"ensemble se fait de manière "naturelle", sans contrainte de montage,quelles que soient les positionsdes centres de liaison

A et B.

La liaison est isostatique.

On peut également choisir de réaliser cette liaison pivot par association en parallèle d"une liaison

pivot glissant et d"une rotule :Figure4 - Exemple 2La liaison pivot glissant supprime 2 translations (TX et TZ) et 2 rotations (RX et RY). La liaison rotule supprime la translation TY néces- saire pour réaliser la liaison pivot, maissupprime également2 translations TX et TY de façonre- dondanteavec la liaison pivot. Cette liaison est alorshyperstatique de degré 2. Cet hyperstatisme va générer 2 contraintes de mon- tage, liées aux degrés de libertés redondants : il s"agit du positionnement en X et Y du centre B de la rotule par rapport à l"axe du pivot glissant.

2.2 Détermination du degré d"hyperstatisme

Déterminer le degrés d"hyperstatisme d"un mécanisme (ou son isostatisme) nécessite d"introduire

un certain nombre de paramètres caractéristiques du mécanisme.

2.2.1 Inconnues cinématiques

Définition

Chacune des liaisons présentes dans le mécanisme est associée à un torseur cinématique dans lequel

les composantes non nulles, inconnues, sont les degrés de liberté de la liaison. Le nombre de degré de liberté dans une liaison est appelénombre d"inconnues cinématiques de la liaison. On noterancile nombre d"inconnues cinématiques de la liaison i. Le nombre total d"inconnues cinématiques vaut alors : http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 6 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗N c=lX i=1n cioùldésigne le nombre de liaisons dans le mécanisme.

Déterminer le nombre d"inconnues cinématiques revient à compter lenombre total de composantes

non nullesdans les torseurs cinématiques des liaisons.

Exemple : système bielle-manivelleFigure5 - Moteur de modélismeFigure6 - Schéma cinématique du mo-

teurLe mécanisme comporte :

2 liaisons pivotL1etL2:nc1=nc2= 1;

2 liaisons pivot glissantL3etL4:nc3=nc4= 2

Le nombre total d"inconnues cinématiques vaut alors : N c= 1 + 1 + 2 + 2 = 6 http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 7 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗2.2.2 Nombre cyclomatique Rappels sur les chaînes de solide : ouverte, fermée, complexe Notonsple nombre de classes d"équivalence etlson nombre de liaisons. Sil=p1: la chaîne de solides estouverte, etil n"y a a pas de "cycle".012L 1=0L

2=1Figure7 - Chaîne ouverte : aucun cycle

Sil=p: la chaîne de solides estfermée, etil y a 1 cycle.0 3 21L
1=0L 3=0L 2=1L

3=2Figure8 - Chaîne fermée simple : un cycle

Sil > p: la chaîne de solides est ditecomplexe, etil y a plus d"1 cycle.3 2401
L 4=2L 3=2L 3=0L 1=0L 2=1L

4=1Figure9 - Chaîne fermée complexe : plus d"un cycle

Nombre cyclomatique

On appelle nombre cyclomatique(ou) le nombre de chaînes de solides fermées indépendantes dans le mécanisme : =lp+ 1 http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 8 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Exemple : système bielle-manivelle

Figure10 - Schéma cinématique du mo-

teur230 1 Il y al= 4liaisons etp= 4classes d"équivalence.

Donc le nombre cyclomatique vaut :

=lp+ 1 = 1: 1 chaîne fermée.

2.2.3 Nombre d"équations cinématiques

Il est possible d"écrire une relation defermeture cinématiquepour chaque chaîne fermée. Or une

fermeture cinématique génère 6 équations (3 équations pour les vecteurs rotation, 3 équations pour les

vecteurs vitesse).

Sachant qu"il y achaînes fermées, le nombre total d"équations cinématiquesEca pour expression :

E c= 6= 6(lp+ 1)2.2.4 Mobilités dans le mécanisme

Définition

Lesmobilitésdans un mécanisme sont les mouvements possibles entre deux classes d"équivalence.

Certains mouvement contribuent à la loi entrée/sortie pour laquelle a été conçu le système, d"autres

ne sont pas fonctionnels.

Il existe donc deux types de mobilités :

les mobilités utilesmu, qui sont les mouvementsindépendantscontribuant à la loi entrée/sortie

du mécanisme; les mobilités internesmi, qui sont des mouvements autres que les mobilités utiles pouvant sub- sister même si les mobilités utiles sont bloquées. Le degré de mobilitémd"un mécanisme est la somme des mobilités utiles et internes : m=mu+mi http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 9 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Exemple 1 : pompe à plateau oscillant

Figure11 - Schéma cinématique du mo-

teurDans le schéma d"une pompe à piston radiaux ci-contre, il existe une mobilité utile : la rotation de l"arbre (2) qui entraîne la translation alternative du piston (3). Mais il existe également une mobilité interne : la rotation sur lui-même du piston (3).

Dans ce mécanisme,m=mu+mi= 1 + 1 = 2.

Conséquence sur les équations cinématiques

Lorsqu"une mobilité est présente, elle correspond à un mouvement possible dans le mécanisme qui

va s"ajouter aux mouvements possibles des liaisons individuelles. Lenombre total d"équations de mouvementsest alors égal àEc+m. Exemple : système bielle-manivelleFigure12 - Schéma cinématique du mo- teurLa seule mobilité utile est la rotation de l"arbre (1) qui entraîne la translation du piston (3) :mu= 1.

Il n"y a pas de mobilités internes :mi= 0

Le degré de mobilité du mécanisme est donc égal à m=mi+mu= 1. http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 10 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗2.3 Calcul du degré d"hyperstatisme

Définition

Le degré d"hyperstatismehcorrespond au nombre d"équations de fermetures cinématiques surabon-

dantes par rapport au nombre d"inconnues cinématiques : h=Ec+mNcsih >0: le mécanisme esthyperstatique sih= 0: le mécanisme estisostatique sih >0: le mécanisme esthypostatique. Ce cas correspond à un mécanisme mal conçu dans

lequel il existe plus de mobilités que nécessaire. Ce système ne peut pas être fonctionnel)Degré d"hyperstatisme

N c: inconnues cinématiques (nombre de ddl conservés dans les liaisons) =lp+ 1: nombre cyclomatique (nombre de chaînes fermées) E c= 6: nombre d"équations cinématiques m=mu+mi: nombre de mobilités (utiles et internes) h=Ec+mNcExemple : système bielle-manivelle

Figure13 - Schéma cinéma-

tique du moteurLes paramètres du mécanisme sontNc= 6;m= 1;Ec= 6= 6.

On déduith=Ec+mNc= 1

Le mécanisme esthyperstatique de degré 1.

La contrainte géométrique associée est le parallélisme dans le plan lié à (2) entre les axes des pivotsL2etL3. Pour rendre le système isostatique, il faudrait par exemple remplacer la liaison pivotL3par une liaison sphérique. http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 11 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗2.4 Conséquences de l"hyperstatisme

Inconvénients

Lorsqu"un mécanisme est hyperstatique, cela va nécessairement engendrer descontraintes de mon-

tage, liées à la nature des degrés d"hyperstatisme. Ces contraintes peuvent être satisfaites de plusieurs

façons différentes : contraintes géométriques lors de la fabrication des pièces, présence de jeu dans les liaisons, pièces flexibles autorisant la déformation, Reconception du mécanisme en vue de modifier les liaisons afin de rendre ce mécanisme isosta- tique. Un système hyperstatique est doncdifficile à réaliser.

Inversement, un système isostatique ne présenteraaucune contrainte d"assemblage, quels que soient

les tolérances de forme et de dimension appliquées sur ses pièces.

Avantages

Les degrés de liberté d"un système isostatique ne sont pas redondants. Or, l"usure d"une liaison va

engendrer des libertés de mouvement supplémentaires (par exemple, un jeu dans un guidage en rotation

pivot glissantva induire un rotulage; ce rotulage va transformer la liaisonpivot glissanten liaison linéaire annulaire. En conséquence, le mécanismene sera plus en mesure de remplir sa fonction.

Inversement, un système hyperstatique seraplus robustevis-à-vis de la dégradation et de l"usure

d"une liaison, car les degrés de liberté redondants vont compenser cette usure.

De même, un degré de liberté étant supprimé plusieurs fois, un mécanisme hyperstatique seraplus

rigidequ"un mécanisme isostatique.

L"hyperstatisme sera donc une propriété recherchée lorsque la rigidité du mécanisme est une

contrainte fonctionnelle (cas des machine-outils par exemple, pour lesquelles une déformation du mé-

canisme se traduira par des défauts dimensionnels ou de forme sur les pièces usinées.)Avantages / Inconvénients

Mécanisme isostatique :

Avantage : facile à réaliser et à assembler (donc moins cher)

Inconvénients :

peu rigide peu robuste face aux défauts des liaisons

Mécanisme hyperstatique :

Avantages :

rigide robuste

Inconvénient : contraintes de réalisation

http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 12 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗3 Exemples d"application

3.1 Exemple 1 : système bielle-manivelle

Pour chacun des systèmes bielle-manivelle proposés ci-dessous, déterminer leur degré d"hypersta-

tisme et les éventuelles contraintes géométriques associées.Figure14 - Plusieurs conceptions de système bielle manivelle

Système 1 Système 2 Système 3Graphe des liaisons 012 3 L 0=1L 0=3L 1=2L

2=3Nombre cyclomatique :

l= 4;p= 4

Donc=lp+ 1 = 1

Nombre d"équations cinématiques :

E c= 6= 6 http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 13 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Système 1

Degré d"hyperstatismeSystème 1

Liaisons :

L

0=1:Pivot (axe(A;!z0))L1=2:Pivot (axe(B;!z0))

L

2=3:Pivot (axe(C;!z0))L0=3:Pivot glissant (axe(D;!y0))

Inconnues cinématiques :3 pivots + 1 pivot glissant :Nc= 31 + 2 = 5

Mobilités :

1 mobilité utile :mu= 1

0 mobilité interne :mi= 0

Doncm=mu+mi= 1

Degré d"hyperstatisme :h=m+EcNc= 1 + 65 = 2Système 2

Degré d"hyperstatismeSystème 2

Liaisons :

L

0=1:Pivot (axe(A;!z0))L1=2:Pivot (axe(B;!z0))

L

2=3:Sphérique (Centre C)L0=3:Pivot glissant (axe(D;!y0))

Inconnues cinématiques :2 pivots + 1 sphérique + 1 pivot glissant :Nc= 21 + 13 + 2 = 7

Mobilités :

1 mobilité utile :mu= 1

1 mobilité interne (rotation de 3 sur lui-même, axe(C;!z0)) :mi= 1

Doncm=mu+mi= 2

Degré d"hyperstatisme :h=m+EcNc= 2 + 67 = 1

http://tsi.ljf.free.fr/ATS/ Page 14 / 16CPGE ATS - S2I Théorie des mécanismes Cours ℗Système 3quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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