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Lesmécanism esdel'orageetdelafoudre
Lescumu lo-nimbussontdesnuagespouvantdonnerlieuàde smanifest ationsorageuse s.Cesnuagesontuneexten sionverticaledel'ordrede10km danslesrégionstempérées,mai squip eutatteindrejusqu'à 15
kmdansl esrégionstr opicales.A labasedecesnuages, defortscourantsascendantstranspor ten tdel' air chaudethumide enaltit ude,quienrencontran tdel'ai rplusfroid,secondense,alim entantains ilesnu agesenhumi dité.Uncumulo-nimbuspeutconte ni rjusqu'à300000tonnesd'eau.Al'in térieurdunuage,l esc ou-
rantsascendants chargésengouttelettesd'eaure ncontrentdescour antsdes cendantschargésdecristaux
deglaced eplusoumoin sgrande dimension.Lesgou tte lettesd'eaue tdeglacesecharge ntparfrottement, labased unuagesechar geantains inégativem enttand isquesonsommetsechar gepositivement .Lorsquel'accumulationdechargesdevientimportant e,des phénomènesélectr iquestelsquelafoudrep euventse
produire. L'objetdeceproblè meestd ecompre ndrequelquesaspectsph ysiquesd esnuages d'orage.Lapremièrepartieestdédiée auxondeslum ineusesetsonorespro duites parlafoudre.D ansladeuxièmepartie,onétu-
diedansque llescondit ionsl'atmosphèredevient instableetpropiceàlaformati ond'unnuage.Latroisième
partieestuneétu dededocum entsettrai tedelaformationde lafoudr e.Laquatrièmeparties'attacheà
modéliserlesystèmeterre-atm osphère commeuncondensateur.Lesu jetsetermineparuneétudesimplifiée
delafor mationd 'ozonedansl'atmosphère.Constantesphysiques
Céléritédelalumièredansl evidec!3.10
8 m.s !1Permittivitédiélectriqueduvide!
0 !9.10 !12 F.m !1 0 =4".10 !7 H.m !1Rappelsd'analysevector ielle
rot( rot( E))= grad(div( E))"! EPrécisionssurl'énoncé
Danstoutle problème," exprim er"signifiedonnerl'express ionlittéraleet"calculer"signifiedon nerla
valeurnumérique. Touteslespartiesp euventêt retraitéesdefaçonindé pendante.1L' éclairetletonnerre
Danscettep artie,nousétudion slaprésencesimultan éedutonne rreetdel'éclairassociés àl'orage .
Lacon tractionpuisladilatationdesm assesd'airsurc hau!ésu rletrajet del'éc laircréentunphénomè ne
sonore,appelé"tonn erre".Onassimile ralespropriétésélectromagnétique sdel'ai ràcellesduvide,onnotera
E,le champél ectriqueet
B,le champmagn étique.
1.1L'éclai r
1)Aqu eltyped'ondep eutêtreassoc iél'éclair?Donner l'intervalle delongueursd'on dedanslevidedu
spectrevisible.2)Donnerleséquation sdeMaxwell vérifiéesparleschamps
EetB,en l'absen cedechargeetdecourant,
dansunmil ieuassi milableauvide.Page1sur8
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3)Démontrerl'équationdepropagati onduchamp
E.Par analogie,d onnerl'équationde propagationdu champ B.4)Exprimerlacéléritédecet yped'on deenfonctiondesconstantesph ysique s.Donne rsavaleur.
1.2Letonne rre
5)Aqu eltyped'ondep eut-onassocie rletonnerre?
6)Définiruneondeplanep rogressive.
7)Onassim ilelocalementletonnerr eàuneondeplaneprogressive,onnote p(x,t)lasurp ressionpar
rapportàlapressi onatm osphéri queetv son ,la céléri tédusondansl'air.Donnerl'éq uationde propagationàun edimensi onvérifiéeparp(x,t).
8)D'aprèslafigure1,expli quers iletonnerrees tun eondelongitudinaleouuneondetransv ersale.
9)Onrappe llequeledomainedesfréq uencesaudi blespar l'hommes'étendd e20Hzà20kHzetqu e
lacélé ritédusondansl'airvautv son =340m.s !1àla tempér aturede20
C.Qu ellessontleslongueurs
d'ondecorrespondan tàcesfréquences?10)Indiquersilesa"rmationssuivantessont vraiesoufaussesenjustifiantv osréponses.
#a"rmation1:Uneondese prop agetou joursdan sunmilie umatéri el. #a"rmation2:Uneondesonor epe ut sepropage rdanslevid e. Figure1:répartiti onlo cale desparticulesaupassagedutonnerre1.3Déter minersadistanceàl'orage
Lorsd'un orage,lafoudretom beà3,4kmd'unpromeneur .L'éclairetletonnerresontémiss imulta- némentaumomentoùlafou dre tombe.11)Auboutd ecombiend etemps lepromeneurverra-t- ill'éc lair?Auboutdecomb iendet empsentendra-
t-illetonner re?12)Justifierlatechniquequic onsiste àcompterlessecondesentreéclai rettonnerr eetàlesdiviserpar3
pourobteni rladistance,enkm,àl aque llelafoudreesttombée.2Inst abilitédel'atmosphère
Ons'in téressedanscettepartieauxpropriétés thermodyn amiquesdel'atmosp hèreetauxcondition s
dedéve loppementd'unnuage.Danstoutecettepartie, onseplacedansle référentiel terrestre supposé
galiléen.Onorientel'axede szsel onlaverticaleascendant e.Données:
#Pressionatmosphériqueauni veaudusol:P 0 =1010hPa #Valeurduchampdepe santeur terrestre:g!10N.kg !1 #Massemolairede l'air:M air !30g.mol !1 #Coe"cientisentropiqu e:$=1,4 #Températuredel'atmosphèreauniveaud usol:T 0 =300K #Viscositédynamiquedel'ai r:% air !2.10 !5 Pa.s #Constantedesgazparfaits:R!10J.K !1 .mol !1Page2sur8
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Aideauxcalculs pourlapa rtie2
0,4/1,4!0,31/9!0,11
10!3,212040/1,205!9990
2.1Profildet empératureaus ei nd'unecolonned'air
Danslabasse atmosphè re(troposphèr e)oùsedéveloppentlesorages,l 'airpeutêtreassimiléàungaz
parfait.Onsupposeque l'ascen siond'uneparcelled' airdevolume mésoscopiqueVdepuislasurfaced elaTerreàlapression P
0 etàlat emp érature T 0 ,ju squ'àunealtitudezàla pressi onP(z),pe utêtreassimi léeàun edétente adiabatiqueetmécaniquemen tréversible.Lechampdepesan teure stsupposéuniformeet
noté g="g e z ,l' axedeszétantorientése lonlaverticaleascend ante.Onnote&(z)etP(z)lamasse volumiqueetlapressiondel' airàl'al titude z,M air lamasse molairedel'aire t$= Cp Cv lerappor tsupposé constantentrelescapac itésthermiques massiquesà pressionconstanteetàvolu meconstantdel'air.13)Donnerlarelations calaired elastatiquedesfluid esreliantlavariationde press iondPetlavar iation
d'altitudedzenfonct ionde&(z)etg.14)Montrerquelamassevolu mique&(z)del'air àunealtitudezpeuts'écrire souslaforme:
&(z)= M air P(z) RT(z) (1)15)EnoncerlaloideLaplaceen foncti ondelat empérat ureT,de lapre ssionPetde $.Préciserses
hypothèsesd'application.16)Endédu irelarelationsuivante:
dP P $"1 dT T (2)17)Encombi nantleséquationsobtenues précédem ment,montrerqu'onobtient l'équationdi!érentielle
suivante: dT dz =""avec"= $"1 M air g R (3)Calculer"etpréc isersonunité.
18)Onappel leT
0 latemp ératuredel'airàl'altitudez=0m.ExprimerT(z)enfonct iondeT 0 ,"etz.2.2Instabili tédel'atmosphèreetformatio ndes nuages
Lesnuages ,etenparticulier lesnu agesd'orage (cumulo-nimbus),sedéveloppentlor squel'atmos phère
estinstabl e.Afindedétermineràquelle conditi onl'atmos phèreeststableounon,ons'intéress eaum ou-
vementd'uneparcelle d'airdevolumemés oscopiqueVdemassevolumiq ue& p .On appell e& e lamasse volumiquedel'airenvironnant .19)Cetteparcelled' airdevolumemésoscopiqueV estsoumisàsonp oidsetà larésultantedes forces
pressantes.Exprimercesforcesenc onsidérantquelapressionned épendqued ez,lesreprésen tersur votre
copie.20)Endédu irequelarésultantedes forcesmass iquess 'exerçantsurunvolumeVd'airhum ides'écri t:
a z ="g" 1 p dP dz (4)21)Montrer,enutilisantlar elationd elastatiquedesfluidespourl 'airent ourantlaparcelle,que la
résultantedesforcesmassiquesp eutsemet tresouslaforme: a z =g e p p (5) Enmété orologie,cetterésultantes'appell elaflottabilitéde laparcelle.Page3sur8
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e p S dzFigure2:Représen tati onde sforcess'exerçantsuruneparcelledevolum emésoscopiq ueVd'airhumide
22)Enconsi dérantl'évolutionmécaniquement réversible,montrerquelaflottab ilitéa
z peutégalement s'écrire: a z =g T p "T e T e (6) oùT p etT e représententrespectivementlestempér aturesàl'altitudezdelapar cellee tdesonair environnant.23)Enutil isantlerésultatdelaquesti on18),don nerlesexpressi onsdeT
p (z)etT e (z)enfonct ionde l'altitudez,de latemp érature ausolT 0 etdesgr adientsver ticauxdetempérature" p et" e pourl'air humideconstituantlap arcelleetpourl'airconstituantson envir onnement.24)Endédu irefinalementquelaflottab ilitédelaparcellepeutsem ettresousl aforme:
a z =g e p T e .z(7)25)Ecrirel'équationdi!érentiellevérifiéeparz(t),car actérisantlemouvementverticaldela parcell ed'air.
26)Aqu elleconditionsur"
e p lemouve mentdelaparcellesera-t-il oscill atoireet doncstable?Exprimer danscecasl apulsat ion' 0 desoscill ationsenfonctiondeg," e p etT e2.3Stabilit éd'unnuage
Oncher cheàcomprendredanscett epar tiepourquoilesgouttelettesdela partieinfé rieured'unnuagenetombe ntpas.Onsupposeradan scettepart iequel 'airestimmobiledansleréfér entielgali léenterrestre
etques amassevolum iquer esteconstante. Onconsidèrelachuted'unegou tteletted'eaude rayonret demasse volumique& eau =10 3 kg.m !3 supposéeconstante,située initialementàunealtitudeH=500 m au-dessusdelasurfacedelaT erreav ecune vitesseinitialev 0 nulle.Onsupposerapar ailleu rsquela résultantedesforcesdefrotteme ntsexerc éesparl'airsurlagou ttesui tlaloideStokes: f="6"% air r v, où% air correspondàlaviscositédynam iqu edel'ai ret vàla vites sedelagouttelette.Onnégl igeral a pousséed'Archimèdes 'exerçantsurlagouttelette.27)ExprimerlapuissancePdesf orcesde frottementexercéesparl'air .
28)Enappli quantlethéorèmedel'énergie mécaniq ue,établirl'équationdi!érentiellevérifiéeparlavitesse.
Endédu irequelagoutteletteatte intunevit esseli mite v lim 2r 2 9% air eau g29)Pourunegoutt eletteder ayonr=0,01mm,cal culerv
lim .En supposan tquecettevitesselimi teest atteintetrèsrapidement ,évaluerladur éedechuted'unegouttelettederay onr=0,01mmdepuislabase dunuageà H=500 mjusqu'ausol.30)Unegoutte lettedecerayonatteint-elleré elleme ntlesol ?Justifierqu elenuageconservesonhumidité.
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2.4Vitess edechutedelapluie
Danscette partie,onchercheà déterminerlavites sed echuted'unegouttedeplu ied epuislabasedu nuage.Onpourrac onsidér erlesfluidesinc ompressiblespourlesquestionss uivantes.31)Ensupp osantàprésentquelesgoutt esd 'eauontunrayonr=1mm,cal culer,enutilisantl'expre ssion
delaqu estion 28),la valeurl imitedevitesse dechute.Cettevaleur paraît- elleplausible? Onconsi dèrelemélangeair+pluiecomme unmili eucontinudemasse volumique& pluie =1,205kg.m !3 tombantverticalem entavecunevitesseverticaleU="U(z)
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