FORMULAIRE : NOMBRES COMPLEXES
Forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe : iyxz. +. = ? x R
Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
La preuve des propriétés énoncées ci-dessus est laissée au lecteur. 4.2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe. Proposition et Définition 4.2 On
Formulaire sur les complexes
22 janv. 2014 La forme algébrique d'un nombre com- plexe z est de la forme : ... La forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe z (z = 0) ...
Nombres complexes
calculer les racines carrées d'un nombre complexe présenté sous forme algébrique ou exponentielle ;. - résoudre les équations polynomiales de degré 2.
I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE
COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE. Maths – T nale. STI. 1. I-. FORME EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE. Définition 1 : soit ? un nombre réel.
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Forme exponentielle. 11. Retrouver le module et l'argument. 12. Produits et quotients. 13. Retrouver les formules de trigonométrie.
Compléments sur les nombres complexes - Exponentielle complexe
Forme exponentielle d'un nombre complexe. Formules d'Euler et de Moivre. Ecriture exponentielle. Notation. Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout
NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)
Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :.
Compléments sur les complexes
on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ;. 2. on développe la puissance grâce à la formule
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Forme exponentielle d'un nombre complexe. 1) Définition. Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin . Remarque :.
[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;
[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE
FORME EXPONENTIELLE D'UN NOMBRE COMPLEXE Définition 1 : soit ? un nombre réel On pose : cos sin Théorème 1 (admis) : soit et deux nombres réels Alors :
[PDF] Les nombres complexes : Forme exponentielle 1 Notation
La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
[PDF] Lexponentielle complexe
(2) sin(a + b) = sin(a) cos(b) ? sin(b) cos(a) Démonstration : Ces formules découlent de la multiplicativité de l'exponentielle et nous laissons la
[PDF] C3 : Nombres complexes : formes exponentielles et trigonométriques
Tout nombre complexe de module non nul r et d'argument ? s'écrit z = rei? Cette écriture est la forme exponentielle de z Exercice 12 On donne z1 =1+ i et
[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Définition : Tout nombre complexe non nul de module et d'argument s'écrit sous sa forme exponentielle = Méthode : Passer de la forme
[PDF] Forme exponentielle dun nombre complexe
En effet en posant f(?) = cos?+isin? on montre à partir des propriétés trigonométriques que : Pour tout ? ? R et tout ?? ? R f(?)f (??) = f(?+??)
[PDF] Nombres complexes
Il existe un couple de réels (? ?) ? R?+ × R tel que z = ?ei? = ?( cos? + i sin?) Cette écriture est appelée forme exponentielle ou trigonométrique de z
[PDF] Nombres complexes : forme exponentielle et géométrie
Passer de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme trigonométrique ou exponentielle et inversement Effectuer des calculs sur des nombres
[PDF] 1 Généralités 2 Écriture exponentielle
Écriture exponentielle 1 Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
Comment trouver la forme exponentielle d'un nombre complexe ?
Forme exponentielle des nombres complexes
ei?=cos?+isin?. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.Comment calculer une forme exponentielle ?
Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z. Ecrire z sous forme trigonométrique.Quelle est la forme exponentielle de 1 i ?
b. Donnons les formes exponentielle et trigonométrique 1 - i: Le module de 1 - i est: 1 - i = 12 + 12 => 1 - i = 2. = 2 2 2 - i 2 2 .- - Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel. - Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur.
Nombres complexes
1 Généralités
1. Écriture algébrique :z=x+iyavecxetyréels. On dit quezest l"affixe du
pointMde coordonnées (x,y). L"écriture algébrique de l"inverse1z, estx-iyx2+y2(on a multiplié par le conjugué).2. Conjugué :
z=x-iy. Propriétés.3. Module :|z|2=x2+y2. Propriétés, lien avec le conjugué :z
z=|z|2. Le module d"un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules. Inégalité triangulaire,|z+z?|?|z|+|z?|. Cas d"égalité, caractérisation de cercles et de disques à l"aide du module.2 Écriture exponentielle
1. Groupe des nombres complexes de module 1 notéU. On poseeiθ= cosθ+
isinθ. On montre queU={eiθ|θ?R}. Formules d"Euler :cosθ=eiθ+ e-iθ2et sinθ=eiθ-e-iθ2i.2. Arguments d"un nombre complexenon nul
Soitz?C?, etMle point d"affixez. On appelle argument deznoté arg(z) toute mesure de l"angle orienté (-→u ,--→OM). On a alorsz=reiθ(écriture exponentielle) avecr=|z|etθ= arg(z).Remarques :
• le nombre complexe 0 n"admet pas d"arguments • un nombre complexe non nul admet une infinité d"arguments qui diffèrent d"un multiple de 2π. On appelle argument principal l"unique argument de ]-π,π]. •Attention, siz=reiθavecr <0, alorsrn"est pas le module c"est-r et argz=θ+πmod 2π.3. Propriétés algébriques de "exponentielleiθ» :eiθeiθ?=ei(θ+θ?)eteiθeiθ?= ei(θ-θ?).
Formule de Moivre : (eiθ)n=einθdonc
(cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ. On en déduit les propriétés multiplicatives de l"argument : arg(zz?) = arg(z) + arg(z?) et argzz?= argz-argz?. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-202024. Quelques utilisations de l"écriture exponentielle :
• C"est une écriture adaptée aux problèmes conduisant à des produits ou des quotients de complexes. Par exemple, donner l"écriture algébrique de (1 +i⎷3)2014.
• Elle permet de retrouver les formules d"addition de cosinus et sinus en prenant les parties réelles et imaginaires de e i(a+b)= eiaeib. Attention,les formules usuelles de trigonométrie sont à connaître et doivent se redémontrer très rapidement à partir des formules d"addition de cos et de sin. On pourra se reporter au brevet de trigonométrie..3 Quelques applications "algébriques»
1.Technique de l"angle moitié: 1 + eiθ= eiθ/2(e-iθ/2+ eiθ/2) = eiθ/22cos(θ/2).
2. Polynômes de Tchebychev : écriture de cosnxcomme un polynôme en cosx.
Par exemple,
(?)cos(3x) = 4cos3x-3cosx.3. Linéarisation d"expressions trigonométriques (on transforme un produit en une
somme). C"est utile par exemple pour calculer des intégrales ou des dérivées n-ièmes.4. Sommes trigonométriques :
(?)simplification de?nk=0cos(kx) (attention au casx≡0 mod 2π).4 Résolutions d"équations algébriques
1. Racinesn-ièmes d"un nombre complexe :
On dit quer?Cest une racinen-ième d"un nombre complexeasirn=a. (a) Les racinesn-ièmes de l"unité (du nombre 1) sont donc lesnsolutions complexes1de l"équationzn= 1 :
(?)Un={ei2kπn|k??0,n-1?}. Exemples :U2={±1},U3={1,j,j2},U4={±1,±i}. Cas des racines cubiques de l"unité : connaître sans hésiter les relations j= ei2π3, j3= 1,j=j2et 1 +j+j2= 0. La somme des racinesn-ièmes de l"unité est nulle (pourn?2), interpré- tation en terme de centre de gravité. Remarque : les points ayant pour affixe les racinesn-ièmes de l"unité forment un polygone régulier de centre 0.1. Pour cette démonstration de cours, on ne demandera pas à l"étudiant de montrer que ces
solutions fournissent biennracines distinctes. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20203 (b) Plus généralement, les racinesn-ièmes d"un nombre complexea=reiθ sont lesnsolutions de l"équationzn=a: r1neiθnei2kπn, k??0,n-1?. En particulier un nombre complexe, admet toujours une racinecarrée (il y en a deux qui sont opposées). (?)Déterminer les racines cubiques de 1+i. Représenter graphiquement.2. Équations du second degré : écriture algébrique des racinescarrées.
Relation coefficients racines : on retiendra que
(X-u)(X-v) =X2-(u+v)????SX+uv????
P=X2-SX+P.
Ainsi en lisant les coefficients d"un polynôme, on lit la somme et leproduit de ses racines.5 Géométrie
1. Deux outils de type "dictionnaire» (correspondance entreles langages algé-
brique et géométrique) (a) On a (attention l"ordre des lettres est inversé) ?z D-zC zB-aA? ?=CDABet(?)arg?zD-zCzB-zA?
= (-→AB,--→CD) (b) On a i. -→uet-→vsont colinéaires ssi?zv zu?Rouzu= 0?. ii. -→uet-→vsont orthogonaux ssi?zv zu?iRouzu= 0?. (?)Caractériser l"ensemble des pointsMd"affixeztel quezz-2i+⎷3?R.2. Notion de centre de gravité d"un polygoneA1...An: c"est l"unique pointG
tel que--→GA1+--→
GA2+···+--→
GAn=-→0.
Gest un point d"équilibre ou point moyen, son affixe est la moyenne des affixes des sommets.Cas du milieuId"un segment [AB],zI=zA+zB
2et du centreGd"un triangle
ABC,zG=zA+zB+zC
3.3. Écriture complexe des similitudes directes.
Une similitude est une transformation qui conserve les rapports des distances. Elle est ditedirectelorsque qu"elle conserve en plus l"orientation des angles.Exemples :
• translation de vecteur -→u:f(z) =z+aoùaest l"affixe de-→u ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-20204 • rotation de centre Ω(ω) et d"angleθ:f(z)-ω= eiθ(z-ω) • homothétie de centre Ω et de rapportk >0 :f(z)-ω=k(z-ω) Application : ABC est équilatéral direct ssic-a= eiπ3(b-a).
Classification des similitudes directes : toute similitude directefest de la forme f(z) =az+baveca,b?Ceta?= 0. • Sia?= 1,fest une translation • Sinon,fadmet un point fixeωet est de la forme f(z)-ω=keiθ(z-ω) oùk=|a|etθ= arg(a). C"est alors la composée de l"homothétie de centre Ω et de rapportkavec la rotation de de centre Ω et d"angleθ. Remarque : la symétrie orthogonale par rapport à l"axe des abscisses est codée parz?→ z. Ce n"est pas une similitude directe, elle renverse l"orientation des angles.6 Exponentielle complexe
Siz=x+iy, on pose
ez= exeiy. Module, argument, propriété de morphisme, équation e z=a.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] somme exponentielle complexe
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