[PDF] The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules

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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L"É.N.S.TADAOODA

Annales scientifiques de l"É.N.S. 4

esérie, tome 2, no1 (1969), p. 63-135

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1969, tous droits réservés.

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Ann. scient. EC. Norm. Sup.,

4 6 serie t 2 1969
p 63
a i35. THE FIRST DE RHA M

COHOMOLOGY

GROU P AN D

DIEUDONN

E

MODULES

0 BY TADA O

ODA.TABLE OF CONTENTS.

Pag e

INTRODUCTIO

N 63

SECTION

1 The

Cartier

duality theorem................................. 66

SECTION

2. Some auxiliary results in characteristic p

78SECTION 3. - Dieudonne modules........................................... 80

SECTIO

N 4.

Picard

schemes and

Dieudonn

e modules 102

SECTIO

N 5 De Rham cohomology and

Dieudonn

e modules................ 11

7INTRODUCTION.

The purpos e of thi s pape r is t o stud y th e firs t De Rha m cohomology grou p H^R(X of a prope r smoot h schem e over a perfec t fiel d k of charac -teristic p. It was shown by

Grothendiec

k [15 tha t if k is th e fiel d of complex numbers the n H^X is canonicall y isomorphi c to I- T (X.iass

Thespectral sequence

E^^=ir/(x,^/,)^n,;H(X

(c/*

Section

5) is degenerat e when X is

Kahler

giving an exact sequenc e

O-.HO(X

i2x/,) ^HAn(X -^H 1 (X t\) ->o.Moreover, the theory of harmonic forms gives a splitting of this exact sequence This paper i s a modificatio n of th e author' s

Doctoral

Dissertation

submitted toHarvard University in June, 1967. The author was supported by the Peter Brooks

Saltonstair43

Memorial

Scholarship

fro m 196
4 to 1967.
^4 T. ODA.

However,

if p z o, this spectral sequenc e does not degenerat e in general The firs t non-degenerac y comes in as d?i For example E^' 0

H°(X

t2x//0rf= o and

E^^H^X

0x)rf=

o may be smaller tha n E^' 0 and E; 1 1 in general (c/*

Mumfor

d [28]). Thus instea d of we get an exact sequenc e o-.lP(X ^x/^o-^H^X)-^^ e\)^o^H"(X ^x/^=o. But d^ may not be zero. Here we may ask whether HDR(X is small enough or, more precisely, whether H^X) is closely related to the

Picard

variet y

Picx/ys:,re

d ot X. Thequotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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