Chapitre 15 : Le champ magnétique
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Chapitre I- Le champ magnétique
Le produit vectoriel de deux vrais vecteurs. (respectivement pseudo-vecteurs) est un pseudo-vecteur (resp. vrai vecteur) tandis que celui d'un vrai vecteur par
CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE
8 mars 2009 Le champ magnétique terrestre d'un lieu est caractérisé par un vecteur champ magnétique ?. B ayant pour direction et sens ceux de l'axe SN ...
Chapitre 7 - Champ et potentiel-vecteur magnétostatiques
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Cours de Magnétostatique
Les trois façons de calculer le champ magnétique Plus précisément le vecteur vitesse (ou densité de courant) a la même orientation sur toute la.
LE CHAMP MAGNÉTIQUE
B = champ magnétique agissant sur la particule (vecteur) (T) (Tesla). Règle de la main droite #1 : 1) Placer les doigts de la main droite dans le sens de v.
Chapitre 4.1 – Le champ magnétique
Boussole et orientation du champ magnétique généré par un aimant En mathématique on définit le produit vectoriel entre deux vecteurs A.
Expérience n°6 – BOUSSOLE DES TANGENTES
Le vecteur champ magnétique est tangent aux lignes de champ en chaque point. Pour un champ magnétique créé par un courant électrique circulant dans un fil
Tracer un vecteur champ magnétique ou dessiner une aiguille
Considérons un aimant droit. On veut tracer une aiguille aimantée en C et le vecteur champ magnétique en A. ? Tracer les lignes de champ qui passent par A
Introduction à lElectromagnétisme
6.3.2 Champ magnétique créé par un ensemble de charges en mouvement . . . . . . . 84 Repérage d'un vecteur en coordonnées cylindriques.
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Du fait du produit vectoriel le champ magnétique est ce qu'on appelle un pseudo-vecteur (voir plus bas) Quelques ordres de grandeur :
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Le vecteur j est appelé vecteur densité volumique de courant électrique A travers une surface « finie » (S) on écrira (flux total du vecteur j à travers la
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Le vecteur champ magnétique ?? B (M) en un point M est défini en direction et en sens par la direction orientée pôle Sud - pôle Nord que prend une
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Dans le présent module nous verrons qu'une particule chargée en mouvement crée un champ magnétique On parlera donc ?d'électromagnétisme? Électrostatique
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Placée dans un champ magnétique la boussole tend à s'aligner sur le champ B Si on note Sb et Nb les pôles sud et nord de la boussole localement le vecteur
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Le champ magnétique est un vecteur : B Il possède donc certaines caractéristiques : ? Une direction : celle de l'axe de l'aiguille aimantée à l'équilibre
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Sous l'effet d'un champ magnétique extérieur le vecteur moment magnétique a tendance à s'orienter dans le sens du champ Applications : moteur à courant
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Le champ magnétique en un point est caractérisé par son vecteur champ magnétique B : o Direction : celle d'une aiguille magnétique placée en ce point
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Boussole et orientation du champ magnétique généré par un aimant En mathématique on définit le produit vectoriel entre deux vecteurs A
Qu'est-ce qu'un vecteur champ magnétique ?
Objectif : Un aimant ou une bobine parcourue par un courant crée un champ magnétique. Les propriétés magnétiques d'un point de l'espace peuvent être caractérisées par un vecteur, appelé « vecteur champ magnétique ».Comment calculer le vecteur champ magnétique ?
Le champ magnétique est défini par la relation F ? m = q v ? ? B ? qui fait intervenir un produit vectoriel.Quelles sont les caractéristiques du vecteur champ magnétique ?
Le champ magnétique est un vecteur : [overrightarrow{B}] Il poss? par conséquent certaines caractéristiques : Une direction : celle de l'aiguille aimantée à l'équilibre. Un sens : du pôle sud de l'aiguille vers son pôle nord. Une valeur : B qui est donnée en Tesla (T).- Le terme de champ magnétique désigne une région de l'espace soumise à l'action d'une force provenant d'un aimant. Il caractérise également l'influence d'une charge électrique en mouvement et exerce, réciproquement, son action sur les charges en mouvement.
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Chapitre 7
Champ et potentiel-vecteur
7.1 Introduction
lors qu'un tel champ puisse ^etre produit par un courant de charges dans un conducteur, mais ²Entre deux aimants; on se rappellera qu'unp^ole Nordet unp^ole Suds'attirent et que deux²Entre deux courants.2
1 153de cet aimant
3(¯gure 7.1).
Figure 7.1
enfonce avec sa main droite un tire-bouchon ou une vis avec un tournevis (¯gure 7.2).Figure 7.2
F=q¡!v^¡!B
(7.1) 3 diculaire au champ prend un mouvement circulaire uniforme avec un rayon proportionnel µa la compense exactement la force de Lorentz. On a alorsE=¡¡!v^¡!B(7.2)
potentielV+¡V¡, ici positive, ditetension de Hall. La mesure de cette tension permet notam- 5. On I e SS EFigure 7.3
connue ¡!|(M). Il s'agira principalement de courants circulant dans des conducteurs, mais les7.2 Loi de Biot et Savart
4 courant passant µa traversdSest simplement6 dI=J(P)dS(7.3) dI¡!d`=¡!J(P)dSd`=¡!J(P)d¿
(7.4) oµu : ¡!d`est de longueurd`et a m^eme orientation que¡!J(P); d l d SFigure 7.4
D'aprµes laloi de Biot et Savart, le circuit entier produit en un pointMquelconque le champB(M) =¹0
4¼Z
V¡!
J(P)^¡!PM
PM3d¿
(7.5) M P d ld B JFigure 7.5
7 60= 4¼10¡7S:I:(7.6)
de courant est (¯gure 7.5) d¡!B(P;M) =¹0
4¼¡!
J(P)^¡!PM
PM3d¿(7.7)
Si l'une des deux dimensions transversales du circuit est trµes petite devant toutes les autres lon-
8. Envisageons
que le produit J s(P) =² J(P) (7.8) Jd L d l d S d SFigure 7.6
J d¿=¡!J
s(P)dLd`=¡!J s(P)d§ (7.9) en un pointMs'exprime naturellement commeB(M) =¹0
4¼Z
J s(P)^¡!PM PM3d§
(7.10)J(P)d¿=I¡!d`(P)
(7.11) 8On dit aussinappe de courant.
pointMpar un tel circuit prend la formeB(M) =¹0
4¼Z
CI¡!d`(P)^¡!PM
PM 3 (7.12) PM d BFigure 7.7
l'examen des dimensions des grandeurs²0et¹0. On sait d'une part que les produitsQEetQvB sont homogµenes µa une force10. On a donc, du point de vue dimensionnel
[E] = [vB] (7.13) et comme [E] = [Q0L2];[B] = [¹0I
L ];[I] = [Q T ] (7.14) il vient 1 1 p0¹0= 3 108m=s =c(7.16)
oµucest la vitesse de la lumiµere dans le vide... 10Pour le dernier, voir la force de Lorentz.
La loi de Biot et Savart fait intervenir le produit vectoriel des deux vecteurs polaires¡!Jet¡!PM
+1. U0x(M0) =Ux(M); U0y(M0) =¡Uy(M); U0z(M0) =Uz(M) (7.17)
et de m^eme pour les composantes de¡!V. Comme
W x=UyVz¡UzVy; Wy=UzVx¡Uxvz; Wz=UxVy¡UyVx(7.18) on obtient W0x(M0) =¡Wx(M); W0y(M0) =Wy(M); W0z(M0) =¡Wz(M) (7.19)
voit que¡!B(M0)¸
¡!B(M)¸
¡!B(M0)¸
¡!B(M)¸
(7.20) M¡!B(M)¸
= 0 (7.21)Autrement dit,
est perpendiculaire µa ce plan.J! ¡¡!J=)¡!B! ¡¡!B(7.22)
·¡!B(M00)¸
¡!B(M)¸
¡!B(M0)¸
¡!B(M)¸
(7.23) M¡!B(M)¸
= 0 (7.24) Comme premier exemple d'application de la loi de Biot et Savart, nous considµererons un ¯l Il est manifeste que, quel que soit le pointMoµu l'on veut calculer le champ, le plan contenant le ¯l et le pointMest unP+. Le champ enMest donc orthoradial. Il est tout aussi manifesteque l'on dispose ici d'une invariance par rotation autour du ¯l et d'une invariance par translation
alors le plan contenant le ¯l et le pointMcomme planxOzet pour origineOla projection deMsur le ¯l (¯gure 7.8). La composante du champ s'identi¯e alors µa celle parallµelement µaOy. Avec
¡!d`=dz¡!ezet¡!ez^¡!PM=¡!ey½, la formule de Biot et Savart donne iciz'z IOP M razBFigure 7.8
B(M) =¹0I½
4¼¡!eyZ
+1¡1dz
PM3(7.25)
Il vient
dz PM3=d®cos®
2L'angle®variant entre 0 et¼=2, on a donc
BÁ(½)´By(M) = 2¹0I
4¼½Z
¼=2
0 cos® d®=¹0I2¼½(7.26)
z0Oz), l'orientation du champ sur ces lignes est conforme µa la rµegle du tire-bouchon de Maxwell.
12: z I B z'Figure 7.9
La circulation de
¡!Ble long d'une ligne de champ vaut
Z 2¼ 0 BÁ(½)½dÁ=¹0I
(7.27)Le calcul de la divergence du champ
¡!Bsera fait dans le cas d'une distribution volumique de divM¡!B(M) =¹0
4¼Z
V div M0 @¡!J(P)^¡!PM PM 31A d¿(7.28) 11 div M0 @¡!J(P)^¡!PM PM 31
A =¡!PM PM PM
3(7.29)
Mais, d'une part,
part, on sait que le vecteur div¡!B= 0
(7.30) div¡!E=½
014, le fait que le
existe au moins un champ de vecteurs¡!Atel queB=¡!rot¡!A
(7.31)Ce nouveau champ de vecteurs
possible comme suit. Puisque PM PM3=¡¡!gradM1
PM (7.32) la relation 13 rotM¡!J(P) PM =1 PM PM¡!J(P)^¡!gradM1
PM =¡!J(P)^¡!PM PM3(7.33)
04¼¡!rotMZ
V¡!
J(P) PM d¿´¡!B(M) (7.34) Une expressionpossibledu potentiel vecteur est doncA(M) =¹0
4¼Z
V¡!
J(P) PM d¿ (7.35) |µa des nappes de courant :A(M) =¹0
4¼Z
J s(P) PM d§ (7.36) |ou µa des circuits ¯liformes :A(M) =¹0
4¼Z
CI¡!d`(P)
PM (7.37)Cependant, ces derniµeres expressions peuvent ^etre divergentes si l'on considµere des circuits d'ex-
de la relation champ - potentiel vecteur (7.31). ¡!Aest un potentiel vecteur possible, le vecteurA0=¡!A+¡!gradF(7.38)
oµuFest un champ scalaire arbitraire, convient aussi, puisque le rotationnel d'un gradient est On peut vouloir se limiter µa une certaine classe de potentiels vecteurs en leur imposant une contrainte. On dit alors que l'on fait unchoix de jauge. Dans lajauge de Coulomb, on impose la condition div¡!A= 0
(7.39)Insistons sur le fait que (7.39) ne constitue en aucun cas une loi fondamentale : le choix de jauge est
complµetement libre. On note que m^eme dans le cadre de la jauge de Coulomb, le potentiel vecteur premier par un gradient et lui imposant la m^eme jauge, on obtient divA0= div¡!A+div¡!gradF= ¢F= 0 (7.40)
A(M) =¹0
4¼Z
V¡!
J(P) PM d¿ divM¡!A(M) =¹0
4¼Z
V divM¡!J(P)
PM d¿(7.41) Mais divM¡!J(P)
PM´¡!J(P)¢¡!gradM1
PM (7.42) gradM1 PM =¡¡!gradP1 PM de sorte queJ(P)¢¡!gradP1
PM´divP¡!J(P)
PM ¡1 PM divP¡!J(P) (7.43) (div divM¡!A(M) =¹0
4¼Z
V divP¡!J(P)
PM d¿=¹04¼Z
S¡!
J(P)¢¡!dS
PM (7.44) tangent en chaque point et est donc perpendiculaire au¡!dScorrespondant. Par suite, le °ux au second membre est nul et l'on a bien divM¡!A(M) = 0 (7.45)
A(M) =¹0
4¼Z
V¡!
J(P) PM d¿ est lui aussi de nature polaire. Nous imposerons donc aux potentiels vecteurs admissibles d'^etre complµetement de nature polaire. le potentiel vecteur en un point quelconque duP+est contenu dans ce plan; si la distribution possµede unP¡, en chaque point de ce plan le potentiel vecteur lui est perpendiculaire. °ux de son rotationnel¡!Bµa travers une surface quelconque § s'appuyant sur le contour : ZC¡!A¢¡!d`=Z Z
§¡!B¢¡!d§ (7.46)
teur in¯ni.potentiel vecteur n'a qu'une seule composante parallµelement au ¯l, soitAz. Compte-tenu du fait
que seule la composanteBÁest non nulle, l'application de la relation champ-potentiel vecteur @A z = 0;@Az =¡BÁ=¡¹0I2¼½(7.47)
seconde relation conduit µa A z(½;z) =¡¹0I2¼ln½+f(z) (7.48)
oµuf(z) est une fonctionarbitrairedez. Or, cette fonction de la seule variablezpeut toujours comme la composante suivant l'axe deszdu gradient de cette fonctionF. On constate bien ici div¡!A´@Az
@z =f0(z) = 0 (7.49) par exemple,Az= 0 pour½=½0. D'oµu l'expression A z(½) =¡¹0I2¼lnµ½
(7.50) au ¯l. A z=¹0I4¼Z
L¡Ldz
PM =¹0I2¼Z
L 0dz p z2+½2=¹0I
2¼lnÃ
L+p L2+½2
(7.51) En faisant tendreLvers l'in¯ni, on trouve alors A z=¡¹0I2¼ln½+K(7.52)
oµuKest une constante, ici in¯nie. Cependant, le fait de rajouter une constante au potentielvecteur : ses lignes de champ, qui sont ici des droites parallµeles au ¯l, suivent peu ou prou les
Si l'on compare l'expression
A(M) =¹0
4¼Z
V¡!
J(P) PM d¿ du potentiel vecteur µa celleV(M) =1
4¼²0Z
V½(P)
PM d¿potentiel sont similaires, en mettant µa part le fait que la premiµere est plut^ot de nature vectorielle.
¢V+½
0= 0 courant¡!A+¹0¡!J= 0
(7.53) Pour terminer ici, notons que d'aprµes la relation champ-potentiel, le potentiel vecteur est ho- W/m. Cependant, du point de vue dimensionnel, on remarque aussi que le potentiel vecteur est ho-En incorporant les relations
rot¡!A=¡!B ;div¡!A= 0;¢¡!A=¡¹0¡!J rot¡!rot¡!A=¡!grad div¡!A¡¢¡!A rot¡!B=¹0¡!J (7.54) div¡!J=1
0div¡!rot¡!B= 0 (7.55)
et n'est donc pas en contradiction avec la loi de conservation de la charge, puisque dans le div¡!J=¡@½
@t 6= 0 ZC¡!B¢¡!d`=¹0X
kI k (7.56) par rapport au sens de parcours de la courbe. I I C1 2 3Figure 7.10
lignes de champ de¡!B. Ceci fait, on considµere la circulation du champ le long de la ligne de ZC(M)¡!B¢¡!d`´Z
C(M)B(P)d`(P) =¹0X
kI k(7.57)B=¹0
L X kI k(7.58) oµuLest la longueur totale de la ligne de champC(M). On se doute bien que, d'une fa»con le champ. En e®et, la circulation de¡!Ble long de la ligne de champ passant par un pointMµa ZC(M)¡!B¢¡!d`´Z
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