[PDF] notes de cours de PHYS 111 On cherche le champ magné

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Champmagn´etiq uecr´e´epardescourants

Orstedamontr´elag´e n´e rationd'unchampmagn´et iquepar uncourant,Jean-BaptisteBiotetF´eli xSavart

ont,vers1820,´ etabliempiri que mentlaloiquigouvernec etteg´en´eration.

1Loi deBiote tSavart

Consid`ereunconducteurfiliform e=longu eurdimensiontransversale

Figure5.1:E l´ementdefilconducteur

dlparcouruparuncourant Ietprodu isantunchampmagn´etique

B(M)aupoint

M. Soitunfilcon ducteu rd´ec rivantunecourbe(C).Cefil estparc ouruparu ncourantd' intensit´eI.On consid`ereenunpointPuneportion ´el´ementairedefi l dlorient´ee.Sionnote~r=

PMlevect eurposition

d'unpointMrelativement`aP,le champmagn ´etique´el´e mentairecr´e´eenMestalorsdon n´epar

dB(M)= 0

4⇡

I dl^~r r 3 0

4⇡

I dl^~u r r 2 (5.1) o`uµ 0 estlaper m´eabil it´emagn´etiqueduvide. 61

62Chapitre5-Champmagn´etique cr´e ´e pardescourants

0 0 0 c 2 =1( `a voirdansle coursd'´elect romagn´etisme).ValeurdansleS.I.:µ 0 =4⇡10 7 S.I.

Propri´et´es:

-Lech ampproduitest ?aupl and´efinipar dlet~r. -Sensd´etermi n´eparlar`egledutire-bouchon. -Intensit´e/1/r 2 avecrdistancedel'´el´ement defilju squ'aupointconsid´er´e.

Pourobtenir lechamptotalproduite nunpoin tM,i lfautfai relasommed etousleschamp s´el´e mentaires

produitspartousles´el´emen tsdefi l: B(M)= Z P2(C) dB(M)= Z P2(C) 0

4⇡

I dl^~u r r 2 (5.2)

2G´ en´eralisation`aunedensit´edecourant

Supposonsquel'onaita↵aire`aune densit ´edecourant d´efinieenchaquepointdel'e space.P arexemplesi

onve utregarderdepl uspr`escequisepass esioncon sid`ereunfil commen'´etantpasin finime ntfin.

Lecou rantIpeutˆetrerem plac´eparsonexpre ssionenfonctiondeladensit´ edecour ant.SiIestprodu it

paruned ensit´e jtraversantunesurface dSetque j, dSet dlonttousl estroislam ˆemedire ction(cequies t toujoursvraisic'estnou squichois issonsl asurfacedS).Ona alors: I dl=jdS dl= jdSdl= jdV(5.3)

o`udVdevientunpetit´el´eme ntdev olume(centr´eenu npointP)qu icontientl adensit´edecourantqui

vaprod uireunchampmagn´etique´el´ ement aire.Lechampmagn´ etiquetotalenMestalorslas ommedetous

leschamps magn´etiques´el´e mentairescr´e´espartousles´el´e mentsdevolumedVcontenusdansunvolumeV

d´elimitantlazonecontenantlesdens it´es decourant: B(M)= Z P2V dB(M)= Z P2V 0

4⇡

dV j(P)^~u r r 2 0

4⇡

Z P2V j(P)^~u r r 2 dV(5.4) avectoujours~r= PM.

3Pr opri´et´esdesym´etrie

Unpl andesym´e triepou rlescourants=pland'antisym´etr iepourlec hampmagn´eti que Unpl and'antisym ´etriepourlescourants=plandesym´etriepourlech ampmagn´etiq ue

4Sp irescirculairesetbob ines

4.1Champ magn´etiquecr ´e´eparunespirecirculairesursonaxe

Unex empleclassiqueetimport antestceluidelaspirecirc ulairep arcourueparuncourantI.Oncherchele champmagn´etiqu eproduitsurl'axedelaspire.

4-S pir escirculairesetbobines 63

Figure5.2:Spirecirc ulaireparcourue paruncourantI.

Oncons id`ered'abordun´el´ementdefil

dlenunpoi ntPdelasp ire.C et´el´ementproduit unchamp

´el´ementaire

dBenunp ointMdel'axe .Lar`egledutire-b ouc honpermetdetrouve rladir ectionetlesensde cechamp (voirfigure5.2)

L'´etudedespropri´et´es desym´et riedusyst`emepermetdetrouverladir ectiond uchampsurl'axe.Ene↵et,

sil'onc onsid`ered eux´el´ementsdefil dl 1 et dl 2 situ´esdefa¸consym´etri quepar rapport`al'axee ndeuxpoints P 1 etP 2 ,le schampspr oduits dB 1 et dB 2 serontsym´etriq uesparrapport`al'axe.Leursomme(vectorielle )sera doncsurl'ax eetd´epen dradel'angle↵(figure5.3). Figure5.3:Spirecirc ulaireparcourue paruncourantI.

Lech amp

dBcr´e´eparun´el´emen tdefil dls'´ecrit: dB= 0

4⇡

I dl^ PM PM 3 (5.5)

Lespropr i´et´esdesym´etrienousindiquentqu eseule comptelaprojectionselonl'axe( Oz),puis quelescom-

posantesperpendicul aires`acetaxes'annulentdeux`adeuxenconsid´erantd eux´el ´ements dl 1 et dl 2 sym´etriques. Onpeut donc´ecrirequ el'´el´e mentdechampprojet´esu rl'axeest: dB z 0

4⇡

Ik dl^ PMk PM 3 sin↵(5.6)

(Nousavonsp risicilanorme duproduitve ctorielcara vecles conventionsde lafigure 5.3,la proje ctionest

64Chapitre5-Champmagn´etique cr´e ´e pardescourants

positive).Lafigure5.4montrelaprojecti onduve cteur dBsurl'axezetperm etdecomprendrelad´e pendan ce ensin↵.

Figure5.4:D´etail delaprojectionduchamp

dBsurl'axez. Comme dlet PMsontperpen diculaires,lanormedeleurproduitvectorielpeuts'´ec rirek dl^

PMk=dlPM

etlapr ojecti ondel'´el´ementdechampdevien t dB z 0

4⇡

IdlPM PM 3 sin↵(5.7) Pourobtenir lechampcomplet,ilfau tsommer surtousles´e l´ementsdefildl: B(M)= Z dl2spire 0

4⇡

IdlPM PM 3 sin↵(5.8)

etcomme touslestermes decettee xpressions ontconstantsquelques oitlepoi ntPetl'´ el´ementdefildl,on

a: B(M)= 0 I

4⇡

R dl2spire dlPM PM 3 sin↵(5.9)

Puisque

R dl2spire dl=2⇡R,etquel'undesPMs'´elimine, B(M)= 0 I

4⇡

2⇡R

PM 2 sin↵= 0 I 2R R 2 PM 2 sin↵(5.10) Enfin,onpeut´ecri ree nfonctionde↵,puisquesin↵= R PM ,et enr´e introd uisantladirectionetlesensdu vecteur

B,qu isontselonl 'axedoncsel onlevecteur~u

z B(M)= 0 I 2R sin 3 ↵~u z (5.11) Onpeut r´e´ecrirece tteexpressionenfonctiondez,en remarq uantquesin↵= R (z 2 +R 2 1/2 1 (1+ z 2 R 2 1/2 B(M)= 0 I 2R 1+ z 2 R 2 3 2 ~u z (5.12)

4.2Champ magn´etiquecr ´e´eparunebobinedelongeurfinie

4-S pir escirculairesetbobines 65

Figure5.5:s ol´eno¨ıdedelongueurfinie

Figure5.6:Sc h´emaetconventionspourlecalcul duchampg´e n´er´eparunsol´eno¨ ıdesursonax e.

66Chapitre5-Champmagn´etique cr´e ´e pardescourants

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