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CORRIG

ES DES EXERCICES

D'ELECTROMAGN

ETISME

Christian Carimalo

Calculs directs de champs electrostatiques crees par des distributions continues de chargesI. Distribution lineique 1 ) Tout plan contenantOzest unP. Donc en tout point en dehors de la spire,E'0; de plus, en chacun des points deOz, intersection d'une innite deP,E0. Le plan xOyest aussi unP. En chacun de ses points en dehors de la spire,Ez0. Pour cette distribution, on a invariance par rotation autour deOz:EEp;zq,EzEzp;zq. 2 )ÝÑEpMpzqq ÝÑezaz20rz2a2s3{2. 3 )ÝÑEÝÑez140qz

2pzqoupzq 1siz¡0etpzq 1siz 0;q2aest la

charge totale de la spire. Comme attendu, a tres grande distance la spire est vue comme une charge ponctuelleqsituee au pointOet le champ devient celui de cette charge.

II. Deux spires circulairesC1etC2...1

) Le planxOzest unP:Eypx;0;zq 0. 2 ) Le planzOyest unPet le planxOyest unP:Expx;zq Expx;zq,Expx;zq Expx;zq,Ezpx;zq Ezpx;zq,Ezpx;zq Ezpx;zq. Par suite,Ezest une fonction paire dexet une fonction paire dez, tandis queExest une fonction impaire dexet une fonction impaire dez. D'ouEzpx;zq a1c1z2c3x2; Expx;zq c12xz 3 )BExBzBEzBx, d'ouc122c3. 4 )E1zp0;zq R20zarR2 pzaq2s3{2,E2zp0;zq R20zarR2 pzaq2s3{2; E zE1zE2z, d'oua1 Ra

0rR2a2s3{2. Il faut eectuer soit un developpement deEz

au second ordre suivantz{a, soit, plus simplement, une double derivation deEzpar rapport az, pour obtenirc13aR403R22a2rR2a2s7{2. On voit qu'au voisinage deO,Ezp0;zqne depend dezqu'au 4eme ordre suivantz{asiaRc3 2

III. Distributions surfaciques

Disque -1

) Voir I. 1). 2 )ÝÑEEpzqÝÑezavecEpzq z20

1|z|1?z

2a2 . Lorsqueztend vers zero par valeursChristian Carimalo3Calculs directs de champs positives,Epzqtend versEp0q 20. Lorsqueztend vers zero par valeurs negatives,Epzq tend versEp0q 20. La discontinuite du champ enz0estEp0q Ep0q 0. 3 ) Prenantzpositif etz"a, le champ devientEpzq Q401z

2ouQa2est la charge

totale du disque. Ici encore, a tres grande distance, la distribution de charge totale non nulle est vue comme une charge ponctuelle. 4 ) Lorsqueatend vers l'inni, le choix de l'origine des coordonnees devient arbitraire. En utilisant l'expression precedente deEpzq, on trouve, pour tout point de l'espace :Epzq 20 siz¡0, etEpzq 20siz 0.

Sphere -1

) Etant donne un pointMen dehors de la distribution, tout plan conte- nantOMest unP. Le champ enMest donc porte par l'intersection de tous ces plans, c'est-a-dire parÝÑOM: il est radial au sens des coordonnees spheriques denies par rap- port a un triedreO;x;y;z. Le choix des axes du triedre est arbitraire car la distribution est invariante sous une rotation quelconque autour deO. Il s'ensuit que la composante ra- diale du champ ne doit dependre que derOM:ÝÑEEprqÝÑer, avecÝÑercosÝÑez sin cos'ÝÑexsin'ÝÑey 2 )ÝÑE40¼ sphereÝÑ PMPM 3d.

Pour l'integration, on peut choisir

ÝÑOzsuivantÝÑOM, cela ne fait aucune dierence. Posons hOM,ÝÑOPRÝÑer; on a alorsÝÑPMhÝÑezRÝÑer,PM2h2R22Rhcos, dR2sindd'. D'ou

EÝÑez40R22»

1

1duhRurR2h22Rhus3{2avecucos

Or,I»

1

1duhRurR2h22Rhus3{2 BBh»

1

1durR2h22Rhus1{2et

1

1durR2h22Rhus1{2 1Rh

aR

2h22Rhu1

11Rh rRh |Rh|s.

Pourh R, on aI BBh2R

0, tandis que pourh¡R,I BBh2h

2h

2. Ainsi,

ÝÑEÝÑ0pour tout point interieur a la sphere etÝÑEQ40ÝÑ OMOM

3pour tout point exterieur

a la sphere, ouQ4R2est la charge totale de la sphere. Dans ce dernier cas, la sphere appara^t comme une charge ponctuelleQenO. Au passage a travers la sphere, le champ subit une discontinuite egale aÝÑErOMÑR0sÝÑErOMÑR0s

0ÝÑeravecÝÑerÝÑOM{R.

=================================================Christian Carimalo4Calculs directs de champs IV.Champ du planxOycharge en entier avec la densite: ÝÑE1 20ÝÑezpourz¡0; 20ÝÑezpourz 0 Champ en un point de l'axez1zd'un disque de centreOet de rayonRcharge avec la densite

E220ÝÑezz|z|z?z

2R2 On obtient la distribution proposee en superposant les deux distributions ci-dessus. On trouve le champ total en un point de l'axez1z:

ÝÑE20z?z

2R2ÝÑez

Il ne presente aucune discontinuite enz0.Christian Carimalo5Calculs directs de champs Symetries et utilisation du theoreme de Gauss pour des calculs de champs electrostatiquesI. Distribution lineique. Une ligne innie... 1 ) Invariance par rotation autour dez1z; invariance par translation parallele az1z. Tout plan contenantz1zest unP; tout plan perpendiculaire az1zest unP. Le systeme de coordonnees cylindriques;';zconstruit autour dez1zest le plus approprie pour etudier le champ. 2 ) Au sens de ces coordonnees cylindriques, le champ est radial :ÝÑEEÝÑeet du fait des invariances,Ene depend que de('etzne sont pas des variables sensibles). 3 ) 4) Les equipotentielles sont des cylindres d'axez1zet donc denies parconstante. L'amplitude du champ reste constante sur une equipotentielle. On constitue une surface de Gauss en prenant un morceau d'equipotentielle de rayon, que l'on ferme par deux disques d'axez1zet de m^eme rayon. Le champ etant radial, son ux a travers les deux disques est nul, tandis que son ux a travers le morceau d'equipotentielle est2hEpq. D'apres le theoreme de Gauss applique a cette surface fermee, ce ux est aussi egal a h

0. On en deduit

E pq 20pour tout0.

II. Distributions surfaciques1

) Plan inni uniformement charge... On fait le choix d'utiliser un systeme de coordonnees cartesiennes ou le plan charge est pris comme planxOy. Du fait de l'extension innie de la distribution, la position de l'origine Opeut ^etre choisie arbitrairement : on a une invariance par translation parallele au plan charge. Cela signie que les variablesxetyne sont pas des variables sensibles. Tout plan contenantz1z(et donc perpendiculaire au plan charge) est unP. En un point donne en dehors des charges, etant a l'intersection de tous cesP, le champ est donc oriente suivant z

1z,ÝÑEÝÑezEz, ou, du fait de ladite invariance, on doit avoirEzEpzq. Le planxOy

est lui-m^eme unP. On en deduitEpzq Epzq. Les surfaces equipotentielles sont des plans paralleles au plan charge, donc denies parzconstante. On voit que sur une equipotentielle, l'amplitude du champ reste constante. Une surface de Gauss utilisant ces symetries est astucieusement constituee comme suit : un morceau de surface cylindrique de rayonaet d'axez1z, fermee a ses extr^emites par deux disques d'axez1zet de rayona, l'un a la cotez¡0, l'autre a la cotez. Compte tenu de son orientation, le ux du champ a travers la surface cylindrique est nul, tandis que son ux total a travers les deux disques est a

2rEpzq Epzqs 2Epzqa2. D'apres le theoreme de Gauss, le

ux du champ a travers ladite surface de Gauss est a2

0. D'ouEpzq 20 Epzqpour toutz¡0.

=================================================Christian Carimalo6Symetries et Theoreme de Gauss 2 ) Sphere uniformement chargee... SoitOle centre de la sphere,Rson rayon. Le centreOest privilegie et est chois naturellement comme origine d'un systeme de coordonnees. La densite de charges sur la sphere etant uniforme, cette distribution possede la symetrie spherique. Etant donne un pointM, tout plan contenantOMest unPet le champ doit donc ^etre porte parÝÑOM. Choisissant

le reperage de l'espace au moyen de coordonnees spheriques construit autour deO, on aÝÑEpMq ÝÑerErpr;;'q. Comme une rotation quelconque de la sphere autour de son centre

laisse la distribution invariante vis-a-vis deM, les coordonneeset'ne sont pas des variables sensibles (ce qui signie que le choix des axes est arbitraire). Par consequent,ErEprq. Les equipotentielles sont des spheres de centreO. Ce sont des surfaces de Gauss. Sur chacune d'elles, le champ garde une amplitude constante et le ux du champ a travers celle de rayon rvaut ainsi4r2Eprq. D'un autre c^ote, le theoreme de Gauss indique que ce ux est aussi egal a :0sir RetQ

0sir¡R, ouQ4R2est la charge totale de la sphere chargee.

On a donc :Eprq 0 pourr R; Eprq Q40r2R2

0r2pourr¡R

Comme pour toute distribution supercielle de charges, le champ subit une discontinuite au passage a travers cette distribution :EpR0qEpR0q

0. Par ailleurs, pour un point

a l'exterieur de la sphere chargee, celle-ci lui appara^t comme une charge ponctuelleQenO.

III. Distribution volumique a symetrie spheriqueLa symetrie est la m^eme que celle de l'exercice precedent et la demarche pour calculer le

champ est aussi la m^eme. On trouve4r2Eprq 43

R3sir¥R, ou

est la densite volumique de charges. D'ou ouQ43 R3est la charge totale de la boule. Ici, le champ est continu pourrR (distribution volumique). Pour un point a l'exterieur de la boule, celle-ci lui appara^t comme une charge ponctuelleQenO.

IV. Distribution volumique a symetrie cylindriqueLa symetrie est la m^eme que celle de l'exercice I et la demarche pour calculer le champ est

aussi la m^eme. On trouveErEprq(ici,rest la distance du point considere a l'axez1z) avecEprq 1r 0» rm ou20R33arepresente la charge contenue dans une portion du cylindre charge ayant

pour hauteur l'unite de longueur, c'est-a-dire, une grandeur representant une densite lineiqueChristian Carimalo7Symetries et Theoreme de Gauss

de la distribution de charges. On voit alors que pour un point exterieur a la distribution, cette derniere appara^t comme un l inni charge avec la densite lineique constante. V. Distribution volumique a symetrie planeÝÑ EÝÑexEpxq;Epxq Epxq; comme il s'agit d'une distributionvolumique,Epxqest une fonction continue dexet doncEp0q 0. On prend comme surface de Gauss une portion de cylindre d'axex1x, de rayona, de hauteurx¥0, fermee par deux disque d'axex1x, de rayona, l'un a l'abscissex, l'autre a l'abscissex0. Le ux du champ a travers cette surface, d'une part est egal aa2Epxq, et d'autre part egal aa21 0» xm

0dupuqouxmx

ou Aa3120est la charge par unite de surface parallele au planzOy, grandeur qui s'apparente a une densite surfacique. Pour un point exterieur a la distribution, celle-ci appara^t comme un planzOyuniformement charge avec la densite. VI. Divergence du champ electrostatiqueUne distribution de charges remplit une boule..... 2 )4prdrq2Eprdrq4r2Eprq 4dr2E1

04r2drprq, d'ouprq 0r

2ddr rr2Es soitprq 0. 3 )ÝÑEpMq 030R 3r

2ÝÑer,prq 4r2Eprq 43

R30constante.

4 )Qtot0. 5 )ÝÑEÝÑ0pourr¥R. VII.Retrouver les expressionsdes champs crees en tout point par les distributions etudiees aux exercices III, IV et V, en utilisant le theoreme de Gauss sous sa forme locale. 1 ) Exercice III. 2ddr rr2Es

0, d'our2Eprq r330constante, doncEprq

r30constanter

2. Le second terme correspondrait au champ d'une charge ponctuelle enO.

Pourr¥R,1r

2ddr rr2Es 0, doncEprq Kr

2ou la constanteKdoit ^etre ajustee pour queChristian Carimalo8Symetries et Theoreme de Gauss

Eprqsoit continu enrR. On obtientKR330.

2 ) Exercice IV. ddr rrEs 0ra

0, d'ourE03a0r3K1,K1etant une constante, soit

Eprq 03ar2K1r

. Le dernier terme ne doit pas exister car la distribution ne comporte aucune distribution laire sur l'axez1zqui donnerait une telle contribution. On doit donc poserK10et par suiteEprq 03a0r2.

Pourr¥R,1r

ddr rrEs 0, soitEprq K2r . La constanteK2est ajustee de telle sorte a assurer la continuite deEprqpourrR(distribution volumique), soitK20R33a0. 3 ) Exercice V. A 0 x 2a24 , d'ouEpxq A 0 x33 a24 x en tenant compte du fait queEp0q 0.

Pourx¥a{2, on adEdx

0, d'ouEpxq K1. La constanteK1est telle queEpa{20q

Epa{20q, soitK1 Aa3120.

VIII.

1Soit le champÝÑ

EpMq Ar2R

3ÝÑercosr

ÝÑesin'rsinÝÑe'

1

) On verie facilement queÝÑrotÝÑEÝÑ0. Ce champ derive donc d'un potentiel. Il pourrait

^etre un champ electrostatique. Dans ce cas, la constanteAdevrait s'exprimer en Volt. 2 )pMq 0divÝÑE0A4rR 31r

2sincos21r

2sin2cos'

3 )Q40AR(par application du theoreme de Gauss).

IX.Deux charges ponctuellesqetq...1

)ÝÑEq40ÝÑ

ABrx2y2a2s3{2

2 ) En utilisant les coordonnees polairesax

2y2et'(xcos';ysin'), le

ux du champ a travers le planxOyoriente suivantÝÑezest q40p2aqp2q» 8

0dr2a2s3{2 q

0. Ce resultat etait previsible pour la raison

suivante. A tres grande distance, le champ cree par les deux charges s'identie a celui d'un

dip^ole dont on sait qu'il varie comme1{r3. Constituons une surface fermee comprenantChristian Carimalo9Symetries et Theoreme de Gauss

le planxOyet la demi-sphere de centreOet de rayon inni orientee vers lesznegatifs. L'element de surface sur une demi sphere de rayonrest9r2. Le ux du champ a travers cette demi-sphere sera donc9r2{r31{ret tend donc vers zero quandrtend vers l'inni.

Ainsi, le

ux du champ a travers ladite surface revient au ux du champ a travers le plan xOyoriente suivantÝÑez. La surface fermee entourant la chargeq, le ux cherche est donc, d'apres le theoreme de Gauss, egal aq{0. 3 ) D'apres le theoreme de Gauss, le ux en question est1

0pqqq 0. Cela ne signie

nullement que le champ est nul sur cette sphere car il n'y est pas porte par la normale et ne garde pas un module constant en tous ses points. On peut seulement dire du champ qu'il presente une propriete de parite particuliere qui fait que ce ux est nul. X.Une charge ponctuelleq¡0se trouve enO...Utilisons le theoreme de Gauss. Le ux doit rester constant dans la region0 r 2Rcar alors seule la chargeqest entouree. Les courbes (a) et (d) doivent donc ^etre rejetees. La distribution volumique se trouve exclusivement dans la region2R r 3R. Dans cette region, a mesure queraugmente,etant constant, le ux ne peut que cro^tre si¡0(plus de charges positives incluses) ou decro^tre si 0(plus de charges negatives incluses), et en tout cas ne peut pas rester constant. La courbe (b) est donc a rejeter. Seule la courbe (c) est ainsi la plus probable et revele queest negatif. Comme le ux est nul pourr¥3R, la charge totale de la distribution volumique estq.Christian Carimalo10Symetries et Theoreme de Gauss

Theoreme de superposition

X.1)VpMq 140»

CpPqd`pPqPM

. 2)VpO;zq a20?z 2a2. 3 npzqdz VpO;zq N20» hR hRdz?z

2a2N20»

1 1du?R

2h22Rhu

0hsih¡R.

b)

ÝÑEÝÑ0pourh R,ÝÑEÝÑezNR

0h2pourh¡R.

b) Les cercles decrivent une sphere de centrep0;0;hqet de rayonR. La distribution obtenue

est une distribution supercielle de charges sur cette sphere, avec la densiteN{R.Christian Carimalo11Theoreme de superposition-E

Les conducteurs en electrostatique

I. In uence electrostatique

La regionx 0est remplie...1

) A l'equilibre, le champ cree para l'interieur du conducteur est oppose au champ inducteurÝÑEE0ÝÑexpourx 0. On peut des lors prevoir que la densite surfacique induite est uniforme (independance vis-a-vis des coordonneesyetz). En outre, on sait qu'une telle distribution surfacique uniforme cree en dehors de la surface le champÝÑex{p20qpourx 0 etÝÑex{p20qpourx 0. On a donc{p20q E0. 2 ) La densiteetant uniforme, le planx0est manifestement unP. 3 ) On a donc, pourx¡0,Eypxq Eypxq 0,Ezpxq Ezpxq 0etExpxq Expxq E0. Pourx¡0le champ electrostatiquetotalest doncÝÑEtot 2E0ÝÑex. En appliquant le theoreme de Gauss comme au paragraphe 5.2 du cours, on trouve2E0{0.

Au lieu d'^etre plonge...1

) 2) : voirx5.3 du cours;Qtot qh2¼ dd'rh22s3{2 q, comme prevu... 3 )ÝÑF q240ÝÑ ex4h2.

Une sphere conductrice...1

140
QR qh , et ce potentiel doit ^etre nul; d'ouQ Rh q. 2 ) On a|Q| qcar les lignes de champ ne vont pas toutes de la charge vers le conducteur : certaines partent de la charge en allant vers l'inni ou le potentiel est aussi nul.

II. Condensateur plan1

) Nous pouvons supposer iciV0¡0. Les eets de bord sont completement ignores.

Le champ, suppose uniforme, est donne par

ÝÑEV0`

ÝÑex(dans le sens des potentiels

decroissants). En vertu du theoreme de Coulomb, il est aussi donne par

0ÝÑexouest

la densite supercielle de charges sur l'armaturep1q. En appliquant le theoreme de Gauss a la surface fermee, en tenant compte de l'orientation du champ entre les conducteurs et du fait que le champ est nul a l'interieur des conducteurs, on obtient le resultat0S1p2q. La densite supercielle de charges sur l'armaturep2qest donc egale a(ce que l'on retrouve

aussi en appliquant le theoreme de Coulomb au voisinage de cette armature).Christian Carimalo12Les conducteurs en elec

1

V0- ssS

S x l0(1) (2)E

E=0 E=0Figure 1

2 )Qetant la charge totale dep1q,QSV0{p0`q, d'ou la capacite du condensateur

CQ{V00S{`.

3 ) Considerees separement, les armaturesp1qetp2qproduisent les champsE1etE2tels quexE 1E

2EE1E2 0

20 200
0 x ` 20 20

0¡`

20 200
La force s'exercant sur l'armaturep2q(pourx`0) estÝÑF1{2 pSqE1ÝÑex, soit F

1{2 S220, attractive comme il se doit.

4 )Ep12 ¸Q iVi12 CV20. On peut aussi calculer cette energie potentielle a partir de la formuleEp02 espaceÝÑE2dv: l'integrale est ici limitee a l'espace inter-conducteurs, ce qui donneEp02

E2pS`q 02

V 20`

2pS`q 12

CV20. La forceF1{2s'obtient aussi par la

formuleF1{2 BEpB` Q . EcrivantEpQ22CQ2`20S, il vientF1{2 Q220S S220.

Par in

uence totale de l'armature chargeep1qappara^t la densite supercielle de charge sur la face de la lame en regard de cette armature. La lame etant isolee, il appara^tquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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