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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Chapitre 4.8 - Le champ magnétique généré par une boucle de courant

Champ d'une spire

Si l'on courbe notre ligne de courant en

cercle, on peut définir l'orientation du champ magnétique à l'aide de la règle de la main droite.

Si l'on étudie le champ magnétique dans

un plan perpendiculaire à la spire, on retrouve la situation de deux courants parallèles de sens contraire. Très souvent, c'est le champ magnétique au centre de la boucle qui va nous intéresser. Avec la règle de la main droite, il est évident d'en deviner le sens.

Champ magnétique au centre d'une bobine

Une bobine est un regroupement de spire que l'on peut approximer comme étant superposé les uns sur les autres. Le module du champ magnétique produit au centre d'une bobine parcourue par un courant I est défini à l'aide de l'équation suivante : R INB 2

0μ=

R B I I I I où B : Champ magnétique produit au centre de la bobine en tesla (T)

N : Le nombre de spire dans la bobine, 0>??N

I : Courant électrique en ampère (A)

R : Le rayon de la bobine en mètre (m)

0μ : Constante magnétique,227

0C/Ns104-×=πμ

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 2 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Preuve :

Considérons une spire dans le plan

xy parcourue par un courant I où l'on veut

évaluer le champ magnétique au centre

de celle-ci en un point P.

On réalise que chaque petit bout de fil

ld génère un petit élément de champ magnétique

Bvd au point P de la forme

suivante : ( )nr I r rIBˆsind 4 ˆd 4d20

20θπμ

πμllvv=×=

I I x y z schéma en perspective R P ld où °=90θ : Angle entre lvd et rˆ. Rr= : Distance constante entre tous les lvd et le point P. knv=ˆ : Direction de tous les champs magnétiques infinitésimaux Bvd .

Puisque le fil possède une longueur connue (

RCπ2=), on peut réaliser l'addition de tous

les champs magnétiques infinitésimaux Bvd : ∫=BBvvd ? ( )nr

IBˆsind

420θπμlv∫= (Remplacer Bvd )

? ( )kR IBvlv°=∫90sind420πμ (Remplacer r et θ) ? kRIBvlv∫=d420πμ (Factoriser les constantes) ? ( )kRRIBvvππμ2420= (Évaluer l'intégrale: Rπ2d=∫l) ? kRIBvv

20μ= (Simplifier)

? RIB2

0μ= ■ (Évaluer le module de B)

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 3

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation A : Poteau évité à l'aide d'un demi-cercle. Un électricien applique au sol un fil

électrique très long en ligne droite. Afin d'éviter un poteau qui représente un obstacle pour

la trajectoire rectiligne du fil, l'électricien contourne l'obstacle en courbant son fil sur un demi-cercle de 70 cm de rayon. Le centre de courbure du fil coïncide avec le centre du poteau. On désire évaluer le module du champ magnétique produit par le fil électrique au centre du poteau sachant qu'un courant de 2 A circule dans le fil. Voici une représentation graphique de la situation :

Poteau

I 70 cm

Demi-cercle

Nous pouvons découper notre long fil en trois parties : Fil semi-infini gauche (1) : ( ) ( )0sinsin4210=-=ααπμRIB car 21αα= . Demi-cercle (2) : R INB 2

0μ=

Fil semi-infini droit (3) : ( ) ( )0sinsin4210=-=ααπμRIB car 21αα=. Ainsi, le champ magnétique total sera produit uniquement par le demi-cercle : R INB 2

0μ= ? RIB221

0μ)

= (Il y a ½ spire de courant) ( )70,022104 21

7-×)

πB (Remplacer valeurs numériques)

? T1097,87-×=B (Module du champ magnétique) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 4

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Champ sur l'axe central d'une spire

Nous pouvons également évaluer le champ magnétique sur l'axe central d'une spire. En découpant la spire en petits éléments de fil fini, on réalise que l'ensemble des petits champs magnétiques produits forme un cône. L'addition vectorielle de tous ces champs magnétiques donne un champ magnétique résultant parallèle à l'axe central de la spire. Ainsi, le champ magnétique le long de l'axe central d'une spire est perpendiculaire à la spire et orienté selon le sens du courant. B1

× I1 I3 •

I4 I2

B4 B3

B2

P vue en

perspective

Axe central

Champ magnétique sur l'axe central d'une bobine Le module du champ magnétique B généré le long d'un axe passant par le central de la bobine et étant perpendiculaire au plan de la bobine dépend du courant I circulant dans la bobine, du nombre de spires N, du rayon R de la bobine et de la distance entre le point P où le champ magnétique est évalué et le centre de la bobine exprimée sous la forme d'un angle ( )αμ30sin2R INB= I R

α P

Bv I R P Bv où B : Champ magnétique produit sur l'axe centrale de la bobine en tesla (T)

N : Le nombre de spire dans la bobine, 0

>?ZN

I : Courant électrique en ampère (A)

R : Le rayon de la bobine en mètre (m)

α : Angle pour positionner le point P

0μ : Constante magnétique , 227

0C/Ns104-×=πμ

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 5 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Preuve : Évaluons le champ magnétique sur l'axe central d'une spire : d R I P vue en perspective d r

B1 α

R × I1

I

P vue en

perspective

B1 sinα

B1

× I1 I3 •

I4 I2

B4 B3

B2

P vue en

perspective

On réalise que :

1B, 2B,3B et 4B sont tous de même module. Le champ magnétique résultant est purement vers le haut. Nous avons la relation géométrique suivante :r

R=αsin .

On réalise que chaque petit bout de fil

ld génère un champ magnétique au point P de la forme suivante : ( )nr I r rIBˆsind 4 ˆd 4d20

20θπμ

πμllvv=×=

où °=90θ : Angle constant entre lvd et rˆ.

22dRr+= : Distance constante entre tous les lvd et le point P.

n ˆ : Direction particulière pour chacun des Bvd . Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 6

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Le champ magnétique selon l'axe y aura la forme

()αsinddBBy= que l'on peut réécrire à l'aide de la loi de Biot-Savart sous la forme ( ) ( )αθπμsinsind4d20r IB yl= où l'expression ()αsin correspond à la projection du champ magnétique sur l'axe y. Par symétrie, on réalise que l'addition de tous les B vd génère uniquement un champ magnétique dans la direction jv. Effectuons notre intégrale afin d'évaluer le module du champ magnétique sur l'axe de la bobine : d r

B1 α

R × I1

I

P vue en

perspective

B1 sinα

∫=BBvvd ? ∫=nBBˆdv (Décomposer module et orientation) ? ∫=jBBy vvd (Appliquer principe de superposition) ? ( ) ( )jr IBvlvαθπμsinsind420∫= (Remplacer yBd) ? ( ) ( )jr IBvlv∫°=απμsin90sind420 (Remplacer θ) ? ( )jrIBvlv∫=dsin420απμ (Factoriser les constants) ? ( )( )jRrIBvvπαπμ2sin420= (Évaluer l'intégrale: Rπ2d=∫l) ? ( )jrRIBvvαμsin220= (Simplifier) ? ( )( )( )jRRIBvvααμsinsin/220= (Remplacer rR/sin=α ?αsin/Rr=) ? ( )jRIBvvαμ30sin2= (Simplifier) ? ( )αμ30sin2RIB= ■ (Évaluer le module du champ B) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 7

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Exercices

Référence : Note Science Santé - Chapitre 6 - Question 13 On replie un fil droit infini par une demi-boucle de rayon R. Calculez le champ magnétique B au centre P de la demi-boucle. Référence : Note Science Santé - Chapitre 6 - Question 11 Un fil en forme de deux demi-cercles reliés, est parcouru par un courant I. Trouvez B au centre C des deux demi-cercles. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 8

Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Solutions

Référence :

Note Science Santé - Chapitre 6 - Question 13

Demi-boucle :

()kBBboucleboucledemi vv-=-2

1 ? kRIBboucledemi

vv) -221 0μ R IB boucle2

0μ=) ? kR

IB boucledemi vv 4

0μ-=-

Fil haut :

( ) ( )( )kRIBhautfil vv--=120 _sinsin4ααπμ ? ()( )( )kRIBhautfil vv--=0sin2sin40 _π ? kRIBhautfil vv

πμ4

0 _-=

Fil bas :

basfilhautfilBB__ vv=

Champ total :

basfilhautfilboucledemiBBBB__ vvvv++=- ? kRIkRIBvvv

πμμ24

00--= ? kRRIBvv +-=πμ21 410
Référence : Note Science Santé - Chapitre 6 - Question 11 ( )krIkRIBarc vvv 100
14221
( )krIkRIBarc vvv 200
24221

01=filBv et 02=filBv

? krrIBBBBBfilfilarcarc vvvvvv -=+++=210 2121
11 4μ ? krrIBvv 120
11 4μquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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