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6

Th´eor`emed'Amp`ereetapplication s

1Th´ eor`emed'Amp`ere

Equivalentduth´eor`emedeGauss pourl'´ electrostatique.Permetdecalcu lerdes champssimple menten

utilisantlasym´etriedesc ourants .Maisilfautqueled´egr´edesym´ etriesoit´ elev´e(onverradanslesap plications) .

1.1Fil infiniparcourupa runcourant,circulationduchamp magn´etique

Soitunfilin finiparc ouruparu ncourantI.

Calculduchampmagn´e tiquec r´e´eparcec ourant

Lech ampmagn´etiquec r´e´eparcecourantenunpointMsitu´e`aunedistance rdufilp eutsec alculerdela

fa¸consuivante. SoitPunpoint dufil(voirfigur e6.1,con sid´eronslesegment´el´ementaire dzencep oint. Figure6.1:Sch ´emaetconventionspourlecalculdu champg´e n´er´eparunfilinfini. Lech ampmagn´etique ´el´ementairecr´e´epar dzest: dB(M)= 0

4⇡

I dl^ PM PM 3

Commecechampe storthogon al`a

dzet PMsimultan´ement,ilestdirig´eperpendiculairem entaupl ande lafigur e.Lar`egledutire- bouc honnousdonnesonsen s,comme indiqu´esurcettemˆemefigurepar. 67

68Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications

Lepr oduitvectoriel

dz^

PMpeuts'´ecri redanslabase(~u

r ,~u ,~u z )com me: dz^ PM= dz^( PO+

OM)=dz~u

z ^(z~u z +r~u r )=dzr~u z ^r~u r o`ul'onn'a laiss´eque leprodui tvectorieldonnantunr´ esultatnon nuleto `ul'onposeOP=zetOM=r.

Puisque~u

z ^r~u r =~u etPM= p z 2 +r 2 ,le champ´ el´ementairep euts'´ecrire dB(M)= 0

4⇡

Idzr p z 2 +r 2 3 ~u (6.1)

Pourobtenir lechampmagn´etiquetot alenM,nou sdevonsint ´egrercetteexpr essionpourtousles´el´ement s

decouran tdz,ce quine semblepast rivial. Apr`esplusieursess ais,onse rendcomptequec'estbeau coupplus simpleenfaisantunch angement devariablepourint ´egrers url'angle↵: z=rtan↵)dz=r(1+tan 2 ↵)d↵=r d↵ cos 2 PM= p z 2 +r 2 r cos↵

Etlorsq u'onremplacedansl'´eq.6.1,onob tie nt:

dB(M)= 0 I

4⇡r

cos↵d↵~u (6.2)

Enpren antcommevariablel'angle ↵,var iantde⇡/2`a⇡/2pou rzallantde1`a+1,onp eut int´egrer

lescontri butionsdetousles´el´ementsdufilinfin i,etonob tientlan ormeduchamp enM: B(M)= 0 I

4⇡r

Z 2 2 cos↵d↵= 0 I

4⇡r

h sin( 2 )sin( 2 i Cequi donnefinalem ent,puisquel etermeentrecrochetsest´egal `a sin( 2 )sin( 2 =1(1)=2, B(M)= 0 I

2⇡r

(6.3)

Circulationduchamplelongd'unec ourbefe rm´ee

Consid´eronsmaintenantunecourbefer m´ee(C)en tourantlefil(figure6.2).

Laci rculationde

Bsurcecont ourfaiti ntervenirlepet itd´eplace ment´el´ementaire dl.Celui-cipeuts'´ecrire enunpoi ntMdonn´esur(C),def a¸contr` esg´en´erale: dl=dr~u r +rd✓~u +dz~u z

Laci rculation´el´ementaireestalors:

B· dl= 0 I

2⇡r

~u

·(dr~u

r +rd✓~u +dz~u z

1-T h´eo r`emed'Amp`ere69

Figure6.2:Sch´emaet conventionspourle calcul delacirculationduchampsurunecourbe ferm´eeautour d'unfil

infini.

Cequid onne,puisq ueseulrestelet ermeen~u

·~u

B· dl= 0 I

2⇡

d✓ Etdoncl acirculati ontotale surlecontourferm´eestdonn´ee, enint´egrantsu rl'angle✓: C= I C B· dl= I C 0 I

2⇡

d✓= 0 I

2⇡

I C d✓ Surlecontou rferm´ e,l'angle✓variede0`a2⇡(onfaitu ntourcomple t).Ona donc C= I C B· dl= 0 I

2⇡

Z

2⇡

0 d✓= 0 I

2⇡

2⇡=µ

0 I Expressionremarquablecarellen ed´ependpasdelaformeducontour, dumomen tqu'ilentoure lefil. Si parcontr elecontourestcomp l`etem ent`al'ext´erie urdufil(fi gure6.3)

Figure6.3:Sch´ema etconventionspourlec alculd elacirculationduchampsurunecourbefe rm´eesitu´ee `al'ex t´erieur

d'unfilinfini.

70Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications

Lecal culestpresquele mˆemeque ci-dessus,except´equ el'angle ✓va,lorsd el'int´egr ation,pas serde0pour

revenir`a0enayantpass´ eparunm axim um.Laci rculations'acr italors: C= I C B· dl= 0 I

2⇡

Z 0 0 d✓= 0 I

2⇡

·0=0

Laci rculationestdoncnulledanscecas.

Quelquesremarquesetconclu sions:

-Lecon tour(C)estorient´e,se lonlar`egledu tire-b ouchonparrapportause nsducou rantI.Ceciinflue surlesigne del'in t´egrale.

-Danslecas´e lectros tatiqu e,lacirculationduchamp´electrostatiquesuruncontourf erm´e esttoujours

nulle.

-Silecon tourenlacelecouran t,c'est`adirequel ecourantItraverselasurfaceorient´ee s'appu yantsurle

contourferm´e,alors lacirculationduchampest ´egale`aC=µ 0 I. -Silecou rantnet raversepascette surface ,lacirculationduchampestnu lle.

1.2G´en´e ralisation,th´eor`emed'Amp`ere

Onmontr e(maisilfautdesou tilsmath´emati quesqu ivontunpe uaudel`ade cecours)queler´ esultat

pr´ec´edentseg´en´eralise`atousles courants ,passeulementceuxcirculantsurunfilr ectil igneinfini.

Pourcefair e,oncons id`ereuncontourferm ´eq uelconque(C)et unesur face(S)s' appuyantsurcecontour.A

partcettec ontrainte,(S)pe utˆetrequelc onque.Onsuppose´ egalementlapr´esencedeplusieurs circui tsfiliformes

quitrave rsentoupaslasurface(S)et quisont parcouruspar descourant s,g´en´erantdoncunchamp magn´eti que

(figure6.4).

Figure6.4:Sch´ema etconventionspourlec alculd elacirculationduchampsurunecourbeferm ´eeorient´ee .Un

ensembledecircuitsfiliforme ssontp arcouruspardescourantse ttraversentounonunesurfa ces'appuyant surlecont our.

Lecon tourestorient´eet donclanorm ale`alasurfaceentoutpoin testori ent´eeave clar` egledutire-bouchon .

Uncou rantquitraverset outesurfac e(S)s' appuyantsurlecontourestditenlac´eparlecon tour.

2-E xemp lesetapplications71

Th´eor`emed'Amp`ere

Danslevid e,laci rculationduchampm agn´etiq uesuruncontourferm´eetorient´ eest´e gale`alasomme

alg´ebriquedescourantsenlac´esparl econtourmul tipli´eeparµ 0 laperm ´eabilit´emagn´etiqueduvide: C= I (C) B· dl=µ 0 X I enlac´e (6.4) Attention,lasommeestalg´ebriq ue,donc lesensdecirc ulationd'u ncourantinfluesurlesignedesacontri-

bution.SiIsortdanslem ˆemesensq uelan ormale,sacontribut ionestpositiv e,sinonell eestn´ egative.

1.3Utilis ationduth´eor`emed'Amp`ere

Commeleth´eor` emedeG auss,celuid'Amp`eres'utilise princ ipalementlorsquel essym´etriesdu probl`eme

sontsusantes.Onveutcalcule rlech ampenunpointMdel'es pace.Ilfauttrouveruncontourf erm´e qui

entourecertainscourant settelquelacirculation duchampmagn´etiquesoi tsimpl e`acalcul er,c'est` adire

-surlatotal it´eouu nepartieducontour, B// dletlanor mek

Bkestconstant e

-ou/etsurune partieducon tour B? dldonclacir culation seranullesurcettepartiel`a.

2Exe mplesetapplications

2.1Sol´ eno¨ıdeinfini

Sym´etriesdusyst`eme

Soitunsol´e no¨ıde infinid'axe(Oz)con stitu´edespiresjointives.O nconsid `ereque,bienquele filsoitenroul´e

enh´el ice,untourcorrespond`aunes pire,c equiestap proximativementvraisil'onc onsid`e redesspir esjointives

etundi am`etre defiln´egligeabledevantleray ondusol´ eno¨ı de.

Lera yondusol´eno¨ı deestRetlenom bredes piresparunit´ed elongueu rseranot´en.On cherc helechamp

enunpoi ntMquelconquedel'espace.Onseplac e´evi demmentdansunsyst`emedec oordonn´ eescyl indriques.

Sym´etriesdescourants:

-planconten antunespire.C'estunplan desym´et rie.Lechampestdoncpe rpendiculaire`ac eplan.V rai quelquesoitlapositiondec eplansurl 'axe(Oz). -planconten antl'axe(Oz).C'es tunpland'anti-sym ´etri edescourant s.Ilcontientdonclechamp.Ceciest vraiquelq uesoitl'orientationduplan. Leve cteurchampmagn´etiquees tdoncselonladi rection~u z .Et sanorme estind ´ependantede lacoordonn´ ee

z.Ene↵et,quelqu esoitlapositionzdupoint M,ce lui-civoitunsol´en¨ıdeinfi ni(invarian cepartr anslationle

longde(Oz)).Enconcl usion,k

B(M)kned´ep endquedelacordonn´eer:

B= B(r).

Choixducontour

Onchois itdonccommecontourunr ectangle(ABCD)don tlalongueu rAB=L,dan sunpland'an ti-

sym´etrie(plancontenantl'axe(Oz)).Cerec tangleaur adeuxcot´esparall`eles` a(Oz),res pectivement(AB)et

(DC),auxr ayonsr 1 etr 2 etdeux cot´esperpen diculaires,(BC)et(DA).

72Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications

Figure6.5:Choixde scontourspourl'a pplicati onduth´eor`emed'Amp` eredanslecasd 'unsol´eno¨ıdeinfini.

Calculdelacircu lation

Laci rculationduchampsed´ecomposeenq uatrepar ties,correspon dant`a chaquecot´edurectangle: C= Z cot´e(AB)r=r2 B(r 2 )·~u z

·(dz)~u

z Z cot´e(BC)

B(r)·~u

z

·(dr)~u

r Z cot´e(CD)r=r1 B(r 1 )·~u z

·(dz)~u

z Z cot´e(DA)

B(r)·~u

z

·(dr)~u

r

Certainesdecesint´egralesson tnull es,celles surlescot´esperpendiculaires `a(Oz)(on voitdans cesint´egr ales

destermes~u z

·~u

r quisontnu ls).Ilres te,enutilisant~u z

·~u

z =1: C= I (C) B· dl= Z cot´e(AB)r=r2 B(r 2 )·(dz)+ Z cot´e(CD)r=r1 B(r 1 )·dz=B(r 1 )LB(r 2 )L=L[B(r 1 )B(r 2

Utilisationduth´eor`emed'Amp `ere

Leth `eor`emed'Amp`eres'´ecritdans cecas:

C= I (C) B· dl=L[B(r 1 )B(r 2 0 X I enlac´e (6.5) Donctoutd´e penddelap ositionducontouretdufaitq u'ily aitounond escourantsenlac´es. -Silecon tourset rouvecompl`eteme nt`al' int´erieurdusol ´eno¨ıde,c'est`adirer 2 R,onad met tra quelecham pestnu lpartout.Ene↵et,pourtout morceaudldespir eproduisantunch ampdB,onp eut trouverunmorceaudl 0 d'uneautrespirep roduisantunc hampdB,c arlesol´ eno¨ıd eestinfini(mieux argumenter...).

2-E xemp lesetapplications73

-Silec ontourse trouve`achevalsur quelq uesspiresdusol´e no¨ıd e,nou spouvonsd´e terminerle

nombredecourantsen lac´es .Chaquespireconduitu ncourantIetily anspiresparunit´edelon gueur. Doncpourunc ontour-rect anglede longueurL,le nombred ecourantsenlac´es estnL.De plus,l echamp enr 1 ,qu iest`al'i nt´erieur dusol´ eno¨ıde,estconstantet´egal`aB 0 .Lec hamp enr 2 ,quiest`al'ext´erieur, estnul.On a,enutilisant l'´equ ation 6.5 L[B 0

0]=µ

0 (nL)I(6.7) etdonc B 0 0 nI(6.8) Conclusion:lechamp`al'int´ eri eurdus ol´eno¨ıdein finiest constantet´egal`aB 0 0 nIo`unestladensit ´e

lin´eiquedespiresetIlecour antlestraversant. Cechampes tdirig´eselonl'axedusol´eno¨ıde. Lechampe stnul

`al'ext ´erieur.

74Chapitre6-Th´eor`emed'Amp `ere eta pplications

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