[PDF] MPSI-PCSI-PTSI Mouvement conservatif à une dimension 199 –

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PHYSIQUE

MPSI-PCSI-PTSI

SOMMAIRE

1. Oscillateurs harmoniques - 2. Propagation d'un signal - 3. Optique géométrique

4. Introduction au monde quantique - 5. Circuits dans l'ARQS - 6. Circuits linéaires

du premier ordre - 7. Oscillateurs amortis - 8. Filtrage linéaire - 9. Cinématique du point - 10. Loi de la quantité de mouvement - 11. Énergétique du point matériel

12. Mouvement de particules chargées - 13. Loi du moment cinétique - 14. Mou-

vement dans le champ d'une force centrale conservative - 15. Description macro- scopique de la matière - 16. Description microscopique de la matière - 17. Premier principe de la thermodynamique - 18. Second principe de la thermodynamique

19. Machines dithermes - 20. Statique des fluides - 21. Champ magnétique - 22. Forces

de Laplace - 23. Lois de l'induction - 24. Induction de Neumann - 25. Induction de Lorentz.

Les auteurs :

Frédéric Bruneau

est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor

Grignard à Cherbourg.

Marc Cavelier

est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à

Rennes.

Yann Lozier

est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.

Marc Strubel

est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer

à Mulhouse.

ISBN : 978-2-311-4�0225-4

www..fr

Des ouvrages pour faire la différence

des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s'entraîner et se mettre en situation d'épreuve : exercices guidés, exercices d'application et problèmes.

PHYSIQUEMPSI

PCSI PTSI

PHYSIQUE

MPSI PCSI PTSI

VUIBERT

Rappels de cours

Conseils de méthode

Exercices guidés

Exercices d'approfondissement

Problèmes de synthèse

Tous les corrigés détaillés

Tout le programme

MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMESF. Bruneau

M. Cavelier

Y. Lozier

M. Strubel

MÉTHODES

EXERCICES

PROBLÈMESPhysique MPSI-PCSI-PTSI-9782311402254.indd Toutes les pages24/07/15 11:51

Table des matières

Chapitre 1.Oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1. Tension exercée par un ressort; allongement5- 2. Équation de l'oscillateur harmo-

nique6- 3. Solutions de l'équation de l'oscillateur harmonique7- 4. Les fonctions sinus et cosinus en physique8- 5. Énergie mécanique de l'oscillateur harmonique10-

6. Portrait de phase11-Exercices12 -Corrigés17

Chapitre 2.Propagation d'un signal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1. Exemples de signaux - spectre27- 2. Onde progressive28- 3. Onde progressive

sinusoïdale30- 4. Interférences entre deux ondes de même fréquence31- 5. Bat- tements34- 6. Ondes stationnaires mécaniques34- 7. Diffraction à l'in�ni35-

8. Polarisation rectiligne de la lumière (PCSI)36-Exercices37 -Corrigés44

Chapitre 3.Optique géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

1. Lumière dans les milieux51- 2. Lumière et miroirs53- 3. Les lentilles minces

54-

Exercices56-Corrigés60

Chapitre 4.Introduction au monde quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

1. Aspect corpusculaire de la lumière : introduction du photon69- 2. La dualité onde-

corpuscule70- 3. Fonction d'ondes et probabilités71- 4. Relation d'indétermination de Heisenberg (PCSI, PTSI)71- 5. Quanti�cation de l'énergie d'une particule con�- née72-Exercices73 -Corrigés79 Chapitre 5.Circuits dans l'ARQS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

1. Généralités sur le courant électrique85- 2. Dipôles et courant86-Exercices90-

Corrigés94

Chapitre 6.Circuits linéaires du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

1. Mise en équation des circuits103- 2. Décharge en régime libre106- 3. Portrait de

phase107-Exercices109 -Corrigés112

Chapitre 7.Oscillateurs amortis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

1.Circuitoscillant121-2. Régime sinusoïdal forcé125-Exercices126-Corrigés130

Chapitre 8.Filtrage linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

1. Période et fréquence139- 2. Filtre RC série140- 3. Les différents �ltres142-

Exercices145-Corrigés149

Chapitre 9.Cinématique du point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

1. Description du mouvement159- 2. Repérages classiques160- 3. Vitesse d'un point

dans un référentiel162- 4. L'accélération d'un point163- 5. Choix du repérage164-

6. Mouvements fondamentaux164- 7. Mouvement des solides164-Exercices166-

Corrigés171

1

Table des matières

Chapitre 10.Loi de la quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

1. Éléments cinétiques179- 2. Les lois de Newton et leurs conséquences179- 3. Ré-

solution d'un problème de mécanique du point181- 4. Les forces usuelles181-

Exercices183-Corrigés190

Chapitre 11.Énergétique du point matériel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

1. Puissance et travail d'une force197- 2. Théorème de la puissance et de l'énergie

cinétique197- 3. Forces conservatives et énergie potentielle198- 4. Énergie mé- canique199- 5. Mouvement conservatif à une dimension199-Exercices201-

Corrigés205

Chapitre 12.Mouvement de particules chargées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

1. Force de Lorentz et champ électromagnétique213- 2. Mouvement d'une particule

chargée dans un champ électrique uniforme et indépendant du temps214- 3. Mouve- ment d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme et indépendant du temps215- 4. Produit vectoriel216-Exercices218 -Corrigés223 Chapitre 13.Loi du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

1. Moment cinétique229- 2. Moment d'une force230- 3. Loi du moment ciné-

tique pour un point matériel232- 4. Solide en rotation autour d'un axe �xe�233-

5. Approche énergétique pour un solide en rotation et un système déformable233-

Exercices235-Corrigés240

Chapitre 14.Mouvement dans le champ d'une force centrale conservative. . . .249

1. Force centrale conservative249- 2. Force centrale et conservation du moment ci-

nétique250- 3. Force centrale conservative et conservation de l'énergie251- 4. Cas particulier du mouvement dans un champ newtonien252-Exercices254-Corri- gés258 Chapitre 15.Description macroscopique de la matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

1. Systèmes et variables d'état265- 2. État physique et équation d'état267-Exer-

cices271 -Corrigés276 Chapitre 16.Description microscopique de la matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

1. Les trois échelles283- 2. Distribution des vitesses dans un gaz284- 3. Pression

cinétique286- 4. Température cinétique287- 5. Énergie interne287-Exercices289 -Corrigés294 Chapitre 17.Premier principe de la thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . .303

1. Transformation thermodynamique d'un système303- 2. Échange d'énergie méca-

nique avec l'extérieur304- 3. Échange d'énergie par transfert thermique avec l'ex- térieur305- 4. Premier principe de la thermodynamique306- 5. Enthalpie308-

Exercices310-Corrigés314

Chapitre 18.Second principe de la thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .321

1. Réversibilité-Irréversibilité321- 2. Deuxième principe322- 3. La fonction entro-

pie323- 4. Bilan entropique324-Exercices325 -Corrigés330 2 12

Chapitre

Mouvement

de particules chargées

1. Force de Lorentz et champ électromagnétiqueDénition 12.1. Force de Lorentz et champ électromagnétique

Soit, en un pointMà un instantt, une particule ponctuelle de chargeq, de massemet de vitesse�!vR(M, t)par rapport à un référentielR. On nommeforce de Lorentz�!FLla résultante des forces auxquelles elle est soumise du fait de sa charge. •La composante de�!FLindépendante de la vitesse est la force électrique�!FE qui dé�nit le champ électrique enMà l'instanttdansR ,�!ER(M,t)= �!FE q. •La composante de�!FLdépendante de la vitesse est la force magnétique�!FB qui dé�nit le champ magnétique enMà l'instanttdansR,�!BR(M,t)tel que �!vR(M,t)^!BR(M,t)= �!FB q .L'ensemble des champs�!ER(M,t)et�!BR(M,t)constitue le champ électromagné- tique dans le référentielR.

La force de Lorentz est donc donnée par :

�!FL=q

5�!ER(M,t)+�!vR(M,t)^!BR(M,t)

0 .Propriété 12.1. Champ électrique •Le champ électrique est produit par les charges et sa structure dépend de leur répartition spatiale. •En appliquant une différence de potentielUentre deux plaques planes parallèles et distantes ded, on obtient un champ électrique perpendiculaire 213

Physique MPSI-PCSI-PTSI

aux plans, dirigé dans le sens des potentiels décroissants et de normeE=U d. • Le champ électrique�!ER(M,t)s'exprime en V.m�1.

Propriété 12.2. Champ magnétique

•Le champ magnétique est produit par le mouvement des charges et sa struc- ture dépend de celle du mouvement. •Le champ magnétique�!BR(M,t)s'exprime en Tesla : T avec 1 T=1 kg.A�1.s�2.

Propriété 12.3. Une approximation utile

On peut toujours négliger le poids d'une particule chargée devant la force de

Lorentz.

Propriété 12.4. Puissance de la force de Lorentz Lapuissance de la force de Lorentz dans le référentielRest donnée par : Elle est donc égale à la puissance dansRde la force électrique. La puissance dans

Rde la force magnétique est nulle.

Conséquence 12.5.

•Seul un champ électrique peut modier l'énergie cinétique d'une particule chargée. •Un champ magnétique permet de courber la trajectoire d'une particule sans modier son énergie cinétique.

2.Mouvement d'une particule chargée dans un champ

électrique uniforme et indépendant du temps

Force électrique uniquement :�!FE=q�!E. On note�!v0la vitesse initiale.

Propriété 12.6. Nature du mouvement

L'application du principe fondamental de la dynamique (PFD) à la particule chargée en mouvement dansRgaliléen, permet de montrer que le mouvement est uniformément accéléré. 214

Chapitre 12 - Mouvement de particules chargées

Propriété 12.7. Types de trajectoires

L'intégration des équations du mouvement obtenues par application du PFD dansRpermet d'obtenir le type de la trajectoire en fonction des conditions ini- tiales : •Si la vitesse initiale�!v0de la particule est parallèle au champ électrique�!E, la trajectoire est rectiligne.

•Si la vitesse initiale�!v0de la particule n'est pas parallèle au champ électrique�!E, la trajectoire est une parabole d'axe colinéaire à�!E.

Dénition 12.2. Potentiel et énergie potentielle électrostatique La force électrique est conservative. Dans un champ électrique�!E, une particule de chargeqacquiert une énergie potentielle dé�nie par :

Ep=qV+cste

oùVest le potentiel électrostatique associé à�!Eau point où se trouve la particule.

Propriété 12.8. Potentiel électrostatique dans un champ uniforme particule de charge est :

Ep(x)=�qEx+cste.

Le potentiel électrostatique associé au champ uniforme�!E=E�!uxest donc :

V(x)=�Ex.

Dénition 12.3. Électron-volt

1 eV=1,6.10�19J correspond à l'énergie qu'acquiert un électron accéléré dans

une différence de potentiel de 1 V.

3.Mouvement d'une particule chargée dans un champ

magnétique uniforme et indépendant du temps Force magnétique uniquement :�!FB=q�!v^!B. On note�!v0la vitesse initiale. Propriété 12.9. Mouvement et pulsation cyclotron Le mouvement d'une particule chargée de chargeqet de massemdans un champ magnétique�!Buniforme et stationnaire est dans le cas où la vitesse initiale �!v0de la particule est orthogonale au champ magnétique�!B, un mouvement circu- 215

Physique MPSI-PCSI-PTSI

laire uniforme à la vitesse angulaire!=�qB m. La valeur absolue de!correspond

àla pulsation cyclotron!c=jqjB

m.

Propriété 12.10. Trajectoire

Lecercle suivi par la particule est telle que :

• il est inscrit dans la plan perpendiculaire à�!B;

• le sens de parcours dépend du signe deq;

• son rayon est donné parR=mv0

jqjB.

Méthode : étude du mouvement

•L'application du théorème de l'énergie cinétique permet de montrer que le mouvement est uniforme : la norme de la vitesse reste constante. la dynamique et on projette sur le repère des coordonnées polaires(�!ur,�!u�) dé�nies dans le plan du cercle. La projection suivant�!u�permet de montrer l'uniformité, la projection suivant�!urpermet d'obtenir l'expression de la vitesse angulaire!=�qB m.

4.Produit vectoriel

Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 1 �!A �!B �!C O k!Ck=k!Akk!Bksin�. La direction de�!Cest donnée par la règle du tournevis : untournevis tournant de�!Avers�!Bprogresse dans le sens de�!C. �!Cest perpendiculaire au plan(�!A,�!B).

Propriété 12.13.

Leproduit vectoriel est :

•nul si et seulement si l'un des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sont colinéaires;

• anticommutatif :�!A^!B=�!B^!A;

•distributif à gauche et à droite sur l'addition :�!A^ ��!B+�!C =�!A^!B+... 216

Chapitre 12 - Mouvement de particules chargées

�!A^!Cet ��!B+�!C ^!A=�!B^!A+�!C^!A; • pour tout réeln:(n�!A)^!B=�!A^(n�!B)=n(�!A^!B). Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 2

Dans la base cartésienne on a :�!ux^!uy=�!uzet�!uz^!ux=�!uyet�!uy^!uz=�!ux.

Ainsi pour un vecteur�!A=Ax�!ux+Ay�!uy+Az�!uzet un vecteur�!B=Bx�!ux+

By�!uy+Bz�!uzon obtient :

Š�!uz.

217

Exercices

Mouvement de particules chargées

On donne : masse de l'électron :m=9.10�31kg; charge élémentairee=1,6.10�19C; intensité de la pesanteurg=9,81 ms�1; masse du protonmp=1,67.10�27kg.

Dans tous les exercices le référentiel d'étude est le référentiel du laboratoire supposé

galiléen.

Exercices guidés

Exercice A(10 min.)

En chauffant par effet Joule un �lament de matériau réfractaire à suf�samment haute

température, une faible fraction de ses électrons peuvent acquérir l'énergie nécessaire

pour quitter le lament (effet thermoélectronique). Ainsi, pendant des décennies, la

source d'électrons habituellement utilisée était constituée par un lament de tungstène

porté à 2 500°C. On suppose qu'un électron quitte le lament avec une vitesse initiale nulle et qu'il

est accéléré vers une plaque portée au potentielVf=100 volts, le �lament étant au

potentiel nul. La distance entre le lament et les plaques estd=1 cm. On fera comme si le champ électrique entre le lament et la plaque était uniforme. Montrer qu'on peut négliger le poids devant la force électrique. Quelle est en joules puis en électron-volts,

l'énergie cinétiqueEc fde l'électron sur la plaque? Quelle est la durée du trajet entre le

lament et la plaque?

Exercice B(20 min.)

Un électron ayant une vitesse initiale�!v0faisant un angle�avec l'horizontale, pénètre

enOdans une région de l'espace délimité par deux plaques horizontales de longueur

L=5 cm, séparées d'une distanced=2 cm. Le champ électrique entre les plaque est�!E=E0�!uyavecE0=103V.m�1.

y x

OjI�

�!v0 L d Figure 12.1.Mouvement d'un électron dans un champ électrique 218

Chapitre 12 - Mouvement de particules chargées

1) Déterminer un encadrement de la norme de la vitesse initialev0pour que l'élec-

tron ne touche aucune des plaques.

2)Quelle vitesse initialev0doit-on donner pour que l'électron passe en sortie au

milieu des deux plaques?

Exercice C(15 min.)

1)On considère deux situations pour une particule chargée positivement se dépla-

çant dans le plan horizontalxOyà la vitesse�!v. Dans la situation 1, sa vitesse�!v1faisant un angle�=45°avec l'axeOx. Elle subit alors une force magnétique�!F1dirigée suivant�!uz. Dans la situation 2, sa vitesse�!v2, de même norme qu'en

situation 1, est suivantOyet elle subit une force magnétique�!F2dirigée suivant �!uz. Les deux forces ont exactement la même norme. Déterminer l'orientation du champ magnétique. z y x O �!uz �!F1 �!v1

Situation 1

z y x O �!uz �!F2 �!v2

Situation 2

Figure 12.2.Mouvement d'une particule chargée dans un champ magné- tique

2)On considère désormais une particule de chargeq=�10eavec une vitesse

v0=106m.s�1dans le planxOyfaisant un angle�=45°avec l'axeOx. Le champ magnétique uniforme et stationnaire a une intensité deB0=0,05 T. (a) On choisit�!B=B0�!uz, décrire la force agissant sur la particule. (b)On observe une force magnétique�!Fm=F�!uzavecF=2.10�14N, décrire le(s) champ(s) magnétique(s) possible(s). 219

EXERCICES

Physique MPSI-PCSI-PTSI

Exercices

Exercice 1(20 min.)

QPQ' P'

T1T2T3�!v1

UPQ UP0Q0 �!ux �!uy �!uz

Figure 12.3.Filtre sélectif

1)On fait arriver avec une vitesse négligeable, des ions3517Cl�de massem1et3717Cl�

de massem2en un pointT1. Ils sont accélérés sous une différence de potentiel UPQ=VP�VQ=U0=100 V. Déterminer les vitessesv1etv2au pointT2. On donne : masse molaire de l'ion3517Cl�M1=35 g.mol�1, masse molaire de l'ion3717Cl� M2=37 g.mol�1, nombre d'AvogadroNA=6,02.1023mol�1.

2)Entre les deux plaques parallèlesP0etQ0distantes ded=5 cm on impose une

différence de potentielUP0Q0=VP0�VQ0=U1=200 V et un champ magnétique�!B=B0�!uzuniforme. Déterminer la valeur que doit avoirB0pour que seules les

ions3517Cl�aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent par le trouT3.

3)On conserve la valeur précédente deB0. Quelle valeurU2faut-il imposer àUP0Q0

pour que seuls les ions3717Cl�aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent les valeursU1etB0?

Exercice 2(15 min.)

Dans l'expérience de Millikan, on pulvérise �nement un liquide pour obtenir des gouttelettes supposées sphériques de rayonr. Les gouttelettes pénètrent entre deux plaques planes horizontales placées dans l'air. On envoie pendant un bref instant un une gouttelette portant une chargeq. On effectue deux manipulations : •On impose un champ électrique uniformeEentre les plaques pour obtenir l'équi- libre de la gouttelette. •On supprime le champEet on mesure la vitesse limitevlde chute de la goutte- lette. Montrer que ces deux manipulations permettent d'obtenir la valeur de la chargeq en fonction de0viscosité de l'air,vl,:la masse volumique du liquide,:ala masse volumique de l'air,gintensité de la pesanteur etE. On donne le loi de Stockes pour le frottementF=690rvavecvvitesse de la gouttelette de rayonr. 220

Chapitre 12 - Mouvement de particules chargées

Exercice 3(15 min.)

O12345�!ux

�!uy �!v0 �!uz !B Figure 12.4.Trajectoires dans un champ magnétique uniforme Tous les ions sont soit de charge�esoit de charge+eet sont injectés enOavec la même

vitesse initiale�!v0. Le champ magnétique est uniforme et stationnaire�!B=B�!uz. La

trajectoire 1 correspond à un ionLi+de massem1=6,9 u.m.a (1 u.m.a=1,66.1027kg. Après avoir déterminé le rayon du cercle pour une particule de chargeqet de massem, calculer la charge et la masse des particules des trajectoires 2, 3, 4 et 5.

Exercice 4(20 min.)

règne un champ magnétique uniforme�!Bperpendiculaire au plan des demi-cylindres. Une tensionU, de fréquencef, appliquée entre les deux "Dees", permet d'accélérer le proton à chaque passage dans l'espace entre les "Dees". Les protons sont injectés au centreS. �S �!ux �!uy �!uz !B !B

Figure 12.5.Cyclotron

On veut obtenir un faisceau de proton deEcmax=1 MeV sur une dernière trajectoire circulaire de rayon égal àrmax=50 cm après après avoir effectué 100 tours dans le cyclotron.Déterminer l'intensité du champ magnétique, la valeur deUet le fréquence f.

Exercice 5(20 min.)

Une particule de massem, de charge électriqueqest introduite sans vitesse initiale à l'origineOd'un référentiel galiléen (O,x,y,z). Dans l'espace règnent un champ élec-

trique uniforme�!E=E�!uyet un champ magnétique uniforme�!B=B�!uz. Déterminer

x(t),y(t)etz(t). 221

EXERCICES

Physique MPSI-PCSI-PTSI

Exercice 6(15 min.)

Un proton sans vitesse initiale est accéléré par une différence de potentiel de 103V puis pénètre dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme. Sa trajectoire est d'abord un cercle de rayonr1=10 cm. Après 20 tours le rayon n'est plus que der2=9,5 cm. Évaluer la force de frottement produite par les molécules de gaz qui frappent le proton le long de sa trajectoire.

Exercice 7(20 min.)

POUR ALLER PLUS LOIN

Dans le cadre de la mécanique relativiste, pour une particule de massemet de vitesse �!vla quantité de mouvement a pour expression�!p=�m�!voù�=1Çquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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