[PDF] Chapitre 15 Particules chargées dans des champs électrique et

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Chapitre15

Particuleschargéesdansdesc hampsélectriqueetmagn étique

Wefollo wtheeverfalling grains

Electronsandprotonsfigh tagain

Electron-SerjTankianBibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre12

Delamê mefaçon qu'unemasse estsensiblea uchampgravitation nel,unechargeél ectrique estsensibleauchampélect romagn étique.

Danscechapi trenou sallonsétudierlecomport ementd'unepa rticulechargéeenm ouvementdansunchampé lectri queuniformeouun

champmagnétique uniforme.Denombreusesapplicati onsexistent:desancienst élévi seursauxaccélérateursdepartic ules.

IForcedeLorent z

1.1Forceélectri que

Unepartic ulechargésoumisàunch ampélectrique

Esubituneforcedit eélectri quequis'écri t

F el =q E. Remarque:Unepart iculechargéevaaccélérerpar allèlementauchampélectrique.

Unch ampélectriqueestcréép arlaprésenced'autres cha rgesélectriques.C'est unegrandeu rv ectoriellequis'exprimeenV.m

1 bChampélectriq ue Remarque:Laforc eélectrostat iqueentredeuxparticuleschargéess'écrit F= qq 0

4⇡E0r

2 eronpeut identifierl echampélectriquecréé parl'uned esparticuleàl' aidedelafo rcedeLorentzélectrique E= q

4⇡E0r

2 er.

1.2Forcemagnéti que

Unepartic ulechargéesoumisàunch ampmagnétique

Bsubituneforcequ is'écrit,

Fmag=q

v^ B.

Unch ampmagnétiquepeutêt recréépardeschargesélec triquesenmouvemen t.C'estunegra ndeurvector iellequis'exprimeenTesla

(T). bChampmagnétiq ue

Remarque:Cetteexpressio naétéconstruitesuiteàl'observ ati ondeplusi eursfaitsexpérimentaux:

Unfais ceaud'électronsoumis àunchampmagnétiqueparallèlen' estpasaffecté.

Unfais ceaud'électronsoumisà unchampmagnétiqueorthogonald écritunetrajectoire cir culai redansleplanform éparlechampet

lavit esseinitiale.

Siondo ublel 'intensitéduchamp, lerayonducercleestdivisépardeux ,i.e.l aforceestproportio nnelle àl'intensitéduc hamp.

Silav itesse dufaisceauestdoublée, lerayo nducercleestdivisépa rdeux,i.e .laforceestproportionnel leàlan ormedelavitess e.

KEffetd'uncha mpmagnét iquesurunfaiscea ud'électron(voirTP22)

1.3Ordresdegrandeurs

Données: Électronme=9.1⇥10

31
kgetq=1.6⇥10 19 C

Comparonslepoidsetlaforceél ectri quesubisparunél ectro nsoumi sauchampdepe santeurg=9.81N/kgetunc hamp électriqued e

E=100V/m(cha mpélectriquetypiqueàproximit édelaTerre); mg qE ⇠6⇥10 13 ⌧1. Pourdespart iculescha rgées,lepoidsestnégligeablede vantlaforceélectrique. Champélect riquecrééparunechargeélémentaireà1⇥10 9 m:1⇥10 9 Vm 1 Champélec triquecrééparunechargeélémentaireà 1m:1⇥10 9 Vm 1 bChampsélectriqu es 144
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Demêm ecomparonsle poidsetlaforcemagnétiquesub isparu nélectronsoumi sàunch ampma gnétiqueB=1⇥10

5

T(champ

magnétiquetypiqueàlasurfacedel aTerre)etsedéplaçantà un evites sev=1.0⇥10 5 ms 1 mg qvB ⇠6⇥10 11 ⌧1. Iciencor elepoidsestnéglige abled evantlaforcemagn étique.

Activitécérébrale1⇥10

15 T

Videinterst ellaire1⇥10

6 T

Champmagn étiqueterrestre4.7⇥10

5 T

Aimantperman ent0.1à1T

Électroaimant10à100T

Magnétar1⇥10

11 T bChampsmagnétiqu es

Danslescondi tionsexpé rimentalesterrestres,lepoids d'uneparticulechargéeestlargementnégligea bledevantlesforcesélectrique

etmagnétique s'exerçantsurcette particule. bPoidsvs"Force sÉlect romagnétiques"

1.4ForcedeLoren tz

Entout egénéralitéunep articulechargéeestsoumisàlafo isàlaforce électriqueetlaforcemagnéti que.

Unepart iculedechargeqetaniméed'une vitesse

vdansunc hampél ectrique

Eetmagnétique

Bsubitlaforceéle ctroma gnétique

deL orentz FL=q E+ v^ B bForceélectro magnétiquedeLorentz N*HendrikAntoonLorentz185 3-1928:phys icienhollandais ,prixNobeldephysique1902

Remarque:Ladir ectiondelaforcemagnétiquese trouve rapide mentenutili santla"règle"delamaindroite.

Dansleréféren tield' étude,laparticuleestsoumiseà laforcedeLorentzdontlapu issanc es'écrit,

PL= FL. v=q E+ v^ B v=q E. v.

Lacomp osantemagnétiquedelaforcedeLor entznefournitaucunepuissanceca relle estort hogonaleàlav itess e,laforceélectrique

peutfournirun epuissance. bPuissancedelaforcedeLorentz

Interprétation:

Unch ampmagnétiquepeut uniquementdévieruneparticulecha rger,pasmod ifierlanormedesavitesse. Unch ampélectriquepeut modifierlanormedelavitesse. Onpeu tdemêmecalcu lerlet ravailéléme ntairedelaforcedeLorentz ,

WL=PLdt=q

E. dl.

Lepot entielélectriquenotéV(M)estunegrandeur réelledépendan tdup ointMs'exprimantenV,tellequeent redeu xpo intsde

l'espaceséparésd'und éplacement dllava riationélémentairedVdeVestliée auchampélectrique par dV= E. dl. bPotentielélectrique Calculonsmaintenantletrava ilglobaldelaforcedeLorentz,

WL,AB=

Z B A qdV=qV(A)qV(B).

Remarque:Letrav aildelaforcedeLorentz estind épend antduchemins uivi,c 'estuneforceconservat ive.Onpe utainsidéfinirl'énergie

potentielledusystème. Uneparti culedechargeqsituéeenMsoumisàuncha mpélec trique Epossèdeuneénergiepot entielle électriquedelaforme, E p,el (M)=qV(M). bÉnergiepotentie lleélectrique 145
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IIParticulechargéedansuncha mpélectrique

2.1Étudedumouv ement

Soituneparticul edec hargeqetdemasse mdansun champ électrique Euniforme.Nousallonstrava illerdansler éférentieldu laboratoiresupposégaliléen.Vul'absencede symétrie,prenonsunrepèr ecartésien(O, ux, uy, uz)telque: lapa rticuleestinitialementenO; lech ampélectriques'écrit E=E uy; lavite sseintialledel aparticule v0=v0cos↵ ux+v0sin↵ uy. Bilandesforces: lapartieé lectriquedelafo rce deLore ntzq

Eetle poidsm

gquiseranég ligé.

Leprin cipefondamentaledeladyna miques'écritm

a=q

E.Ap rèsprojectionilp rendlaforme

8 m¨x=0; m¨y=qE; m¨z=0.

Ceséquations sontindépendant esetneposent pasdeproblème.Unepremièreintégrationconduità lavit esse

8 m˙x=cste=v0cos↵; m˙y=qEt+cste=qEt+v0sin↵; m˙z=cste=0.

Lemouv ementdansunchampélectriqu euniformeestp lan.La trajectoireestc ontenuedansleplangénéréparlav itesseinitialeet

lech ampélectrique. bMouvementdansunch ampélectriqueuniforme Remarque:Cen'es tévidemmentpas vraisil'ontravailleavecuncham pélectriq uenon-unifor me.

Unesecond eintégrationconduit àlaposition

8 mx=v0cos↵t+cste=v0cos↵t; my= 1 2 qEt 2 +v0sin↵t+cste= 1 2 qEt 2 +v0sin↵t; mz=cste=0. Remarque:Avecletemps latraje ctoiretendàêtr eparal lèleauchampélectrique. Enél iminanttdansles composantexetyonobti entl'équationdelatra jectoire y= qE 2mv 2 0 cos 2 x 2 +(tan↵)x.

Latraje ctoireestunarcdeparaboleconte nudanslep langé néréparla vitess einitialeetlechampélect rique.Laconcavitéest dirigée

dansle sensde

Esilac harg eestpositive.

bTrajectoiredansunchampélectriq ueuniforme x y O v0 E Figure1-Trajectoireparaboliqued'une particulechargéesoumiseàunchampélect riqueuniforme 146
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2.2Applications

2.2.1Accélérateurdeparticules1/2

Sil' onutiliseunc hampparallèleàlavitesse,s eulel anormedelavi tesseestmodifiée.Sionappl ique lePFDonobti ent

m¨y=qE;

i.e.laforceé lectri queaccélère (oufreine)laparticulelelongdel 'axeportantlechampélect rique.

Calculerlavitessepuis lapos itiondanscetteconfigur ation E

Figure2-Casq>0

E

Figure3-Casq>0

E

Figure4-Casq<0

E

Figure5-Casq<0

Paranalo gieaveclagravitationuni verselleonpe uta

ffi rmerquelafor ceélectri queest conservativ e.Laparticulen'estsoumisequ'à des forcesconservat ivesalorssonénergiemécaniqueseconserve

Ec(B)Ec(A)=Ep(A)Ep(B)()

1 2 m v 2 B v 2 A =q(VAVB).

Dansle cadredesaccélérateursdeparti culeson appell eU=VAVBlaten sionaccélératricet ellequeEc=qU.

Unélect ronvolt(eV)correspondaugaind'én ergiecinétique d'unélectronaccélérésousunetensio naccéléra triceU=1.0V

1eV⇠1.6⇥10

19 C. bÉlectronvolt Remarque:Sion considère uneparticuleinitialem entau repos,savites ses'écritvB= r 2qU m

Remarque:Ahautevitessev/c⇠0,1cleslo isdelaméca niquesclassiqu escessen td'êtrevalablesetonen tredansledomain edela

relativitérestreinte.

2.2.2Déviationdeparticulesc hargées

Nousavons vudanslapartiepréc édent equ'unchampélect riquedévied anssonssensunecharg epositive.Unfaisceaud'électronsen

mouvementrectiligneuniforme quipénètredansunezoneoùilexis teunchampélectriquep erpendicu laireseradéviésuivan tunarc

paraboliquedeconcavitéopposéeau champé lectrique.Lesélectronsdufai sceauunefoisressortis decett ezonedechampél ectrique

serontànouveauenm ouv ementrectiligneunifor me,onp eutainsidévierunfaisceaudep articuleschargées.Ceprincipeé taitutilisé

dansles ancienstélévis eursouoscill oscopes.

TD16E x1

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IIIParticulechargéedansuncha mpmagnétique

3.1Étudedumouv ement

Soituneparti culedechargeqetdemasse minitialementàlavitesse v0=v0 uxenprésence d'unchamp magnétique B=B uz. Commençonsparét udierlanorme delavitesse,uneét udeénergétique su ffi tpo urcela dEc dt =Pmag= Fmag. v= q v^ V v=0.

Laforce magnétiquene fourniaucunepuissanceausystèm e,ains ilanormedelavit esseestinchangéec arsonénergiecinétiqueest

inchangée8t,| v(t)|=| v0|. Unch ampmagnétiquenemod ifiepaslanormeduvecteu rvitesse,il nepeutquemodifiersa direction. bEffetduchamp magné tique

Pourétudier lechangementdedirect ionduv ecteurvitesseilfaututiliserune approc heprenantencomptelecaractè revect orieldes

di ff

érentesquantités.App liquonslePFDdansleréférentield ulaboratoiresupposégaliléenen utilis antlesco ordonnéescar tésien nes.

Deuxforcess' appliquent:laforce magnétiqueetlepoidsquenousnégligeon s.L eprin cipefondament aldeladynamiques'écrit

8 m¨x=q( v^

B)x=q(vyBzvzBy)=q˙yB;

m¨y=q( v^

B)y=q(vxBz+vzBx)=q˙xB;

m¨z=q( v^

B)z=q(vxByvyBx)=0.

Initialementlavitesseestsuivant

uxainsiiln'ya aucunecomposante delavites ses uivan t uz,lemouvementestcontenudansleplan ux, uy).Le séquationssur uxet

uysontcouplée s,larésolutionestpossiblem aisfast idieuse(voirannexe)...Toutefoi snoussavo nsdéjà

plusieurschosesàproposde ceproblème.

Lechamp magnétique

Bestuniform e.

Lapar tiemagnétiquedelafo rcedeLorentznetravaillepas:la parti culeau nevitesseden ormec onstantev0.

Lapart iemagnétiquedelafo rcedeLorentzestorthogonaleàla trajec toire: latrajectoire estin curvée.

Hypothèse:faisonsl'hypothèse quelemouvementestcirculaireunifor me. Prenonslec asoùq<0,ai nsilaparticules uitune trajectoirecirculairedansle senstrigono métrique >0.Ontravailleencoordonnées cylindriquestellequelavitesse v=v0 u ,le princi pefondamentaldeladynamiq ues'écrit mr urmr 2! u =q v^

B=qv0B

ur;

Ono btientdeuxéquationsindépendantes

✓=0etr= qB r 2 >0.

Toutefoisret!sontdeuxinc onnuesnonin dépendantes,onpeutécrirev0=r!etains iobtenirlesexpr essionsdurayondelatr ajectoire

etdela vitesse angulairedela particule. Leray onrdelatr ajectoi recirculairevérifieparuneparti culedechargénégativeest r= mv0 qB bRayondelatraje ctoire Remarque:Pourunepar ticuledec hargepositiveontrouver= mv0 qB

Remarque:Depl us!=

v0 r qB m enfonct iondusignedeq,!>0siq<0etinv ersement.

Étuded'uneparticule dansunc hamp

Buniforme:

Montrerque|

v|estconstan te. Obtenirleray onrdelatr ajectoi re,mouvementcirculaireuniforme.

Placerlecent reduc ercleàladistancerdela positioni nitialedelaparticule,dansladi rectionindiquéepar

Fmag=q

v0^ B. Cettedirections edéterminefacilementavecla" règle "delamaindroite.Attentionl esensdeq v0dépenddusigne deq. L'orientationdelatrajectoiredoitêtrecon formeau sensd e v0. bBilan

TD16App 3

148
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