[PDF] Nombres mesures et incertitudes

05/07/17 Page 1 Nombres, mesures et incertitudes La mesure est une étape essentielle dans toute démarche scientifique. Il est donc important de poursuivre ce que vous avez déjà étudié en classe de Terminale : quels outils permettent d'estimer la qualité d'une mesure ? L'évaluation de l'incertitude d'une mesure est cependant complexe, et nous développerons ici quelques outils permettant de bien présenter les résultats d'une mesure. On souhaite mesurer une grandeur physique, ou bien chimique. Le résultat de la mesure A de la grandeur A doit être - normalement- présenté sous la forme : A = (a ± ΔA) unité de A A est le résultat de la mesure. a est la valeur numérique de la mesure, obtenu à partir du mesurage. ΔA est l'incertitude de la mesure, c'est à dire l'estimation de la plage de valeurs qui contient vraisemblablement la valeur vraie, c'e st à dire la valeur numérique de la mesure que l'on obtiendrait si l'opération de mesure était parfaite, avec un niveau de confiance de 95%. En pratique , l'incertitude ΔA es t arrondie par excès e t n'est exprimée qu'avec un seul chiffre significatif. Ce chiffre indique la décimale à laquelle il faut arrondir la valeur numérique que l'on propose. 1. Premières définitions Lagrandeurquel'onveutmesurerestappeléelemesurande.Lamesurenotéemestlavaleurdelagrandeur,etonnoteplutôtMlerésultatdelamesure,c'estàdirel'expressioncomplètedurésultat(unintervalledevaleurs).Onappellemesurage(onpréfèrecetermeauterme"mesure»,quipeutavoirplusieurssensenfrançais)l'ensembledeopérationspermettantdedéterminerexpérimentalementuneouplusieursvaleursquel'onpeutraisonnablementattribueràunegrandeur.Lamesurevraiedumesurandeestla valeurµquel'onobt iendraitsile mesurageétaitparfait.Commeunmesuragen'estjamaisparfait,cettevaleuresttoujoursinconnue.L'incertitudedemesureestunparamè trequi estassociéaurésultatdu mesurage.El lecaractériseladispersiondesvaleu rsquip ourraientraisonnablementêtreat tribuéesau mesurande.

05/07/17 Page 2 Lerésult atd'unemesuren'estjamais unevaleur:ile sttoujou rsdonnéso uslaformeM=m±ΔM,associéàunniveaudeconfiance,ouintervalledeconfiance.Parexemple,onchoisiraassezlalargeurd'unintervallepouravoir95%dechancedetrouverlavaleurvraieàl'intérieurdecelui-ci. Incertitudesderépétabilité,ouévaluationdel'incertitude-typedetypeA Sommaire de cette première partie / statistiques ---------------------------- L'évaluationdesincertitudespardesméthodesstatistiquesestditedetypeA.Danslasuite, n'esticidéveloppéequel'évaluationdes incertitudes parlesméthodesstatistiques:onparlealorsd'incertitudederépétabilité.Parexemple,vousêtesaujourd'huidesopérateurs,différents,quiréaliseztouslemesuragedelamêmegrandeur(ladéterminationdelaconstantedepartage)avecdumatérielsimilaire.Lesmotsclefsdeladéterminationdecetteincertitudederépétabilitésontlessuivants:Moyennearithmétique,ouvaleurmoyenneEcart-typedelasériedemesuresFacteurd'élargissementdéterminéparlescoefficientsdeStudentquidépendent:DunombredemesureseffectuéesDuniveaudeconfiancechoisi1. Analyse de résultats de plusieurs mesures d'une même grandeur 1.1. Le problème Onaréalisénmesuresaveclemêmeappareillageetdansdebonnesconditions,d'unemêmegrandeurm.Entravauxpratiques,nestparexempledenombredebinômesquiaeffectuédesmesures.Plusieursquestionsseposent:• Cesmesuresreprésentent-elleslavaleurdelagrandeuràmesurer?• Quelleconfiancepeut-onleurfaire?• Commentprésenterlerésultatsansfriserleridicule...?

05/07/17 Page 3 L'évaluationdetypeAdel'incertitude-typeestréaliséeparl'analysestatistiquedessériesd'observations.• Lameilleu reestimationdurésultatd elamesureestdonnéeparlamoyenn earithmétique:m"="m"="1nmi1n∑• Ensuite,ilfautétudierladispersiondesrésultatsobtenusautourdelavaleurmoyenne.Cettedispersionestévaluéeparlecalculdel'écart-typeexpérimental.L'écart-typeexpérimentalapourexpression:σexp=1(n(1)(mi(m)2i∑(onfaitlamoyenneducarrédel'écartàlamoyenne,onabienremarquéquel'ondivisaitcependantpar(n-1)etpasparn:celas'appellelacorrectiondeBessel).Peut-ondirequemreprésentelagrandeurquel'onveutdéterminer?Etσexpdonne-t-iluneidéedel'incertitudedurésultat?1.2. Quelques notions indispensables de statistique six

estlamoyenn edel'é chantillon,pourun niveaudeconfian ceα,lamo yenneµd esmesuragessetrouvedansl'intervalle±tn./σ

Quelques valeurs de t(α,n) Niveau de confiance α n=5 n=10 n=30 n=40 n=120 ∞ 90% 2,015 1,812 1,697 1,684 1,658 1,645 95% 2,575 2,228 2,042 2,02 1,98 1,96 99% 4,03 3,17 2,75 2,66 2,62 2,57 t est appelé " coefficient de Student ». Il sera choisi en fonction de la confiance que l'on donner à un résultat. Ce coefficient de Student dépend de deux choses : • de n, nombre de mesurages obtenus. • de la confiance que nous voulons donner au résultat. Par exemple, si la confiance est égale à 95 %, cela signifie que l'on a 95 % de chances que la valeur vraie soit comprise entre x-t.σ/netx+t.σ/n Conclusion : Lorsque le nombre n de mesures n'est pas très élevé le résultat peut être présenté sous la forme : Xxt

t étant le coefficient de Student à 95% pour n mesures En appelant Δx l'incertitude absolue, alors :

05/07/17 Page 4 Δx=t*σn et X=x±Δx 2. Annexe : table de Student valeur de t en fonction de la probabilité et du nombre n de résultats rassemblés. 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,9995 n ν 6 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,92 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 7 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,44 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 8 0,13 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 9 0,13 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,86 2,306 2,896 3,355 5,041 9 10 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,1 1,383 1,833 2,262 2,821 3,25 4,781 10 11 0,129 0,26 0,397 0,542 0,7 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 12 0,129 0,26 0,396 0,54 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 13 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 14 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,87 1,079 1,35 1,771 2,16 2,65 3,012 4,221 14 15 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14 15 16 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 17 0,128 0,258 0,392 0,535 0,69 0,865 1,071 1,337 1,746 2,12 2,583 2,921 4,015 17 Ainsi, cette année, en travaux pratiques, nous serons 16 binômes, donc n = 16 ; donc évidemment, n-1=15, c'est le degré de liberté. X=x±1,753*σn Rem : Dans le cas où nous avons beaucoup de valeurs n, la courbe de distribution obtenue est une gaussienne : En abscisse, on reporte la valeur vraie de la mesure et les valeurs s'éloignant, " plus et en moins », de multiples de l'écart-type. En ordonnée, est reportée la probabilité correspond à une valeur donnée de la mesure. L'aire colorée montre que si nous nous éloignons d'un seul écart-type, nous avons un niveau de confiance de 68 % : nous avons 68 % de chance que le résultat de notre mesure appartienne à l'intervalle µ-σ ; µ+σ.

05/07/17 Page 6 1. Votre résultat, à partir d'une détermination unique Vous n'avez réalisé qu'une seule expérience, et dans ce cas, la valeur numérique de la mesure est le résultat obtenu par l'unique mesure que vous avez faite. La détermination de l'incertitude s'appuie sur : L'incertitude du matériel utilisé Les limites d'observation de l'expérimentateur La critique du mode opératoire utilisé. Reposons la relation à l'équivalence dans le cas du titrage effectué Fe2+ + Ce4+ = Fe3+ + Ce3+ ici : c0.v0 = c.ve Alors l'incertitude sur c0 s'exprime ainsi (relation de la propagation des incertitudes) : Δc0"="c0.Δcc⎛⎝⎜⎞⎠⎟2+Δv0v0⎛⎝⎜⎞⎠⎟2+Δveve⎛⎝⎜⎞⎠⎟2 A propos de la prise d'essai avec la pipette La prise d'essai est prélevée avec une pipette jaugée, à deux traits. Δv0 est l'incertitude sur le volume de solution à doser prélevé. Or, vous avez utilisé une pipette jaugée sur laquelle est écrit : Ainsi, pour une pipette de 50,0 mL, le volume est connu à 0,050 mL. EXEMPLED'UNEPIPETTEDE50,0mLAS:classed'exactitudelaplusélevéedespipettes(deuxfoisplusquecelledeclasseB).Ex+15 s:temps découlementtot alauquelilfaur ajouter1 5spourpermettreauliquideresté surlesparoisdedescendreégalement.20°C:conçuepourtravaillerà20°C.±0,050:incertitudede±0,05mLsurlevolumedélivré:a=0,05estlatolérance.L'incertitudedelapipetteest���/���

05/07/17 Page 9 Le résultat sera alors présenté ainsi : c0 = (c0 ± Δc0) mol.L-1 c0 = (2,82.10-2 ± 4.10-4) mol.L-1 soit : c0 = (2,82 ± 0,04).10-2 mol.L-1