[PDF] Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles

View - Download Ift 2421 Chapitre 6 Résolution des équations différentielles

Previous PDF

Next PDF

Ift24211 Chapitre 6Ift 2421

Chapitre 6

Résolution

des équations différentielles:

Conditions initiales

Ift24212 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentielles

Rappels:

2 grandes classes:

1. Les équations différentielles ordinaires:

une seule variable.

2. Les équations aux dérivées partielles:

plusieurs variables. (équation de la chaleur, des ondes, ...) Ordre d'une équation différentielle : dérivée la plus élevée. Équation différentielle linéaire :émission radioactive : dRtdtRt()()=-l Équation différentielle non linéaire :Variation de population : dNtdtaNtbNt()()().=-17

Convection : dutdtkutT()(())=--5

4 nécessite des conditions initiales. Ift24213 Chapitre 6Résolution numérique des équations différentielles

Exemple du pendule :

Équation différentielle non linéaire

du second ordre.

Impossible de trouver une solution analytique.

Pour de petit mouvements :

Sin()qq»

Équation du pendule:

t: temps q: Position angulaired dtg LSin 2 2

0qq+=()

Conditions initiales usuelles:qq

qq() ()t t00 00= =¢qqL Ift24214 Chapitre 6Méthode des séries de Taylor

Ordre 1:¢=ytftyt()(,())

yty()00=

Développement de Taylor au voisinage de

ttjhj=+0

426()()()()

426(,)(,)(,)()

Remarques:1. L'ordre local est en h

4.

2. Pas d'estimée de l'erreur.

3. Les dérivées de la fonction f(t,y(t)) se font:df

dtftyf tf yyf tf

4. Si l'ordre local est en hn , l'ordre global sera en hn-1.

Ift24215 Chapitre 6Exemple:

Appliquer la méthode de Taylor avec un pas h = 0.1 et un ordre local en h3 pour:

¢==-ytftyttyt()(,())()2

yty()001==

Solution analytique: ytt()=+222

Le pas est h = 0.1, nous allons calculer les valeurs de y(t)pour t = 0, t = 0.1, t = 0.2, ..., etc.

Si nous utilisons un ordre local en h

3, nous avons:yyhythytOhjjjj+=+¢+¢¢+12

32()()()

Exprimons ¢¢yt()

or

¢==-ytftyttyt()(,())()2

donc

¢¢=-+--ytyttyttyt()()()()(())222

¢¢=-+ytyttyt()()()2232

Ift24216 Chapitre 6La formule de Taylor d'ordre local h

3 devient alors:yyhtythyttytOhjjjjjjj+=+-+-++122

223322(())(()())()

pour tth10=+ yyhtytyttyto1002 02 2 023

00122=-+-+().(()())

y

1100050995=-=..

Valeur exacte: y(.)......012

2012

2010995024872=+=»

pour tth202=+ yyhtythyttyt2112 12 2 1123

122=-+-+()(()())y

222
y

209802486=....

Valeur exacte: y(.)......0222022

20409803921562=+=»

pour tth303=+ Etc.

Ordre global h2.

Ift24217 Chapitre 6Méthode d'Euler (ordinaire)

Ordre 1:¢=ytftyt()(,())

yty()00=

Méthode d'Euler = Méthode de Taylor

d'ordre local en h2.

Ordre global en h.

yyhytOhjjj+=+¢+12()() yyhftytOhjjjj+=++12(,())()

Interprétation géométrique:x

0x 0+hxy

Solution

analytiquey 0y 1 Ift24218 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale Y n = Valeur calculée en xn. y n = Valeur exacte en xn. eyYnnn=- = erreur en Yn; Yyennn=+

Avec la méthode d'Euler, nous avons:

YYhftYnnnn+=+1

En utilisant les séries de Taylor:yyhftyhynnnnn+=++¢¢122(,)()x avec xxhnnn££+x[]eyYyYhfxyfxYhynnnnnnnnnn+++=-=-+-+¢¢11122(,)(,)()xeehfxyfxY

yYyYhynnnnnn nnnnn+=+-

ûú-+¢¢12

2(,)(,)

()()()xeehfxehynnynnnn+=++¢¢122(,)()hx avec hnnnentreyetYehKehynnn+£++¢¢12

12()()x

Ift24219 Chapitre 6Erreur globale vs Erreur locale (suite) e 00= ehKehyhy102 0 2 0121
02 1 2 0111
221

21£+¢¢é

[]ehhKyhKyy322 []ehhKyhKyynnn n£+¢¢++¢¢++¢¢-- -1211121 02

11()()()()()xxxK

[]ehMhKhKnnn£+++++--12111212()()K

Sachant que :1

1121++++=-

sssssn n K

Nous obtenons :ehMhK

hKnn +-1 211
112
() Û e hMKhK hMKn

10+<>hKeKhK()

()()e hMKe hMKhM Ke hMKeOhnhKnnhKxxKn£-=-=-=-222121

0()()()

Ift242110 Chapitre 6Méthode d'Euler modifiée

Taylor d'ordre local en h

3 :yyhftyhftyOhjjjjjj+=++¢+12

32(,)(,)()

Différence avant pour évaluer f' :¢

ftyftyftyhOhjjjjjj (,)(,)(,)()11 Formule d'Euler modifiée :[]yyhftyftyOhjjjjjj+++=+++11132(,)(,)() []yyhyyOhjjjj++=+¢+¢+1132()x 0x 0+hxy

Solution

analytiquey 0y 1

Ift242111 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire

Algorithme

y

0 donné

yyhftytjjjj+=+1

Une seule étape de calcul

Ordre global en h.Méthode d'Euler modifiée

Algorithme

y

0 donné~(,())yyhftytjjjj+=+1[]yyhftyftyjjjjjj+++=++1112(,)(,~)

Deux étapes de calcul:

1. la prédiction.

2. La correction.

Ordre global en h

2.

Méthode d'Euler ordinairePour résoudre:

=-yttyt()()2y()01= t jyjerreur0.11.0000-5.0 10-30.20.9900-9.6 10-3

0.30.9704-1.3 10-2

0.40.94215-1.6 10-2Méthode d'Euler modifié

Pour résoudre:

=-yttyt()()2y()01= t jyj prédityj corrigéerreur0.11.0000000.9950002.5 10-50.20.9851000.9803464.6 10-5

0.30.9611240.9568786.0 10-5

0.40.9294100.9258686.0 10-5

0.50.8915790.8888513.8 10-5

0.60.8474580.8474585.2 10-8Note: L'étape de correction peut être répétée 2 à 3 fois, au delà,

il est préférable de réduite h. Ift242112 Chapitre 6Méthode d'Euler ordinaire¢ =-yttyt()()2y()01= h =0.5quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] qu'est ce que le harcèlement scolaire ?

[PDF] prévention harcèlement scolaire

[PDF] agir contre le harcèlement ? l'école pdf

[PDF] harcèlement sévère définition

[PDF] le harcèlement entre élèves le reconnaître le prévenir le traiter

[PDF] introduction ? l'informatique cours pdf

[PDF] marché de la confiserie 2015

[PDF] harlan coben innocent pdf

[PDF] harlan coben pdf francais

[PDF] harlan coben livres pdf gratuit

[PDF] harlan coben une chance de trop pdf

[PDF] sans un adieu pdf

[PDF] comptine maternelle petite section

[PDF] harlan coben 6 ans deja pdf

[PDF] je t'aime mon loup