[PDF] Compte rendu du T.P. 6 : premi`eres applications `a lanalyse Table

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Compte rendu du T.P. 6 : premieres applications a l'analyse

Table des matieres

1 Recherche de zero d'une fonction continue (premiere approche) 1

1.1 La methode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Presentation mathematique non donnee dans l'enonce du T.P. 6 . . . . . . . 1

1.1.2 Version informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 La methodefaussementappeleemethode de la secanteau T.P. 6 . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Le vrai nom standard de cette methode : methode de la fausse position . . . . 3

1.2.2 L'informatique sans les mathematiques : le danger de la marche des aveugles! 3

1.2.3 Un peu de mathematiques discredite le test d'arr^et precedent en general . . . 4

1.2.4 Quel test d'arr^et pertinent pourregula falsi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ce qu'on n'a pas prouve surregula falsi: la convergence vers le zero . . . . . . . . . 5

1.3.1Preuve dans un cas facile : celui oufest concave sur un[a;b](resp. convexe)5

1.3.2Le cas ou le zero est un point d'in

exion :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Excursion graphique avecnumpyetmatplotlib6

2.1 Obtention d'un tableau de valeurs avecnumpy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 En suivant le texte du T.P. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Complement utile : d'autres facons de fabriquer des tableauxnumpy. . . . . . 6

2.2 Leplotdematplotlib: medidation sur les fonctions C.A.P.M. . . . . . . . . . . . . 7

2.3 C'est plus court enSciLab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Excursion : la dichotomie ne sert pas qu'en analyse : jeu de devinettes 8

3.3 Exercice suppl. : dichotomie et recherche dans une liste triee . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Retour a l'analyse : calculs numeriques d'integrales 9

4.1 Methode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Methode des trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Test comparatifs des deux methodes pour le calcul de ln(2)et. . . . . . . . . . . . 9

1 Recherche de zero d'une fonction continue (premiere ap-

proche) Hyp.On se donne une fonctionf?C([a;b];R)explicite telle quef(a):f(b)<0. Le T.V.I. dit qu'il existe unc?]a;b[tel quef(c)=0. Le probleme est d'avoir une approximation numerique dec.

1.1 La methode de dichotomie

Je voudrais insister sur les deux points de vue complementaires : maths et info.

1.1.1 Presentation mathematique non donnee dans l'enonce du T.P. 6

A partir de l'hyp. ci-dessus, on va construire deux suites(an)et(bn)gr^ace a la : a)Denition par recurrence : ?Initialisation : on posea0=aetb0=b. ?A l'etapen, on suppose qu'on a denianetbn: on considerem=(an+bn)?2. { Sif(an):f(m)>0 on posean+1=metbn+1=bn. 1 b)Propriete evidente des suites(an)et(bn)ainsi denies: i) par construction chaque intervalle[an+1;bn+1]est embo^te dans[an;bn](avec un borne commune), et de longueur moitie :bn+1-an+1=12 (bn-an) ii) Par rec. immediate :?n?N; bn-an=12 n(b0-a0)=b-a2 n. iii) La def. precedente ne met pas a part le cas ouf(m)=0. En fait si par hasard sif(m)=0 a l'etapen, alorsbn+1=met pour toutk≥n+1,bk=m. iv) Par T.V.I. a chaque etape le segment[an;bn]contient au moins un zero def. Du point de vue de l'approximation numerique,anetbnsont donc des valeurs approchees d'un tel zero a(b-a)?2npres et leur milieum=(an+bn)?2 a(b-a)?2n+1pres.

1.1.2 Version informatique

La numerotation est ici celle des questions du T.P. 6 a) Au bout denetapes, on a vu au§1.1.1, que[an;bn]est de longueur(b-a)?2n. Le nombren ". Cette condition equivaut a 2n≥(b-a)?", ou encore an≥log2((b-a)?"). b) La grande dierence entre l'informatique et les maths : Ici on ne va pas considerer des variablesanetbnconstruites par rec. mais : ?Ce qui remplace la recurrence est uneboucle, qui elle, doit s'arr^eter, ?Ce qui remplace les suites(an)et(bn)est simplementdeux variablesaetbqu'onreaecte a chaque etape de la boucle. Choix du type de boucle :whileoufor? Ici les deux sont possibles : ?La version suivante avecwhileprend comme test le booleen((b-a)> epsilon). Ce qui garantit l'arr^et de cet algorithme est, qu'a chaque etape,b-aest divise par 2. ## recherche zero par dichotomie def zero(f,a,b,epsilon): '''recherche un zero pour la fct f entre les bornes a et b a la precision epsilon par la methode de dichotomie. Renvoie une erreur si f(a) et f(b) sont de m^eme signe''' if f(a)*f(b)>0: raise ValueError("les bornes entrees sont incorrectes") else: while (b-a>epsilon): m=(a+b)/2 if f(a)*f(m)>0: a=m else: b=m return m ?On peut aussi faire une version avecforpuisqu'on a calcule au a) le nombre d'etapes, et remplacer la ligne duwhilepar : n=math.floor(math.log((b-a)/epsilon,2)) for i in range(n) Mais c'est plut^ot moins joli car : demande un calcul supplementaire (celui dun) et la variable idufor(le compteur) n'est pas utilisee explicitement... 2 c) Pour trouver une valeur approchee a 10 -5pres du zero de sin dans[3;4]i.e. de: from math import sin print(zero(sin,3,4,1e-5)) d) On veut ici que l'achage de l'approximation du zero se fasse avec un nombre de chires coherent la precision retenue. Si on rentre une precision"=4:10-5par exemple, on sait que le sixieme chire apres la virgule n'aura pas de sens : on veut donc s'arr^eter au 5-ieme chire apres la virgule. Cela vient de ce qu'ici 10 Pour l'exemple ci-dessus, on a alorsn=-5 et on arr^etera l'ecriture au 5-ieme chire apres la virgule. C'est pour cela que dans le script suivant on denit une variablenb_chiffres ## pour ameliorer la fonction... remplacer la derniere ligne par ; from math import floor , log10 nb_chiffres=abs(floor(log10(epsilon))) balise='{:.'+str(nb_chiffres)+'f}' return balise.format(m)# pourquoi ne pouvait -on pas ecrire : # return '{:.nb_chiffresf}'.format(m) # essayez vous verrez !

1.2 La methodefaussementappeleemethode de la secanteau T.P. 6

1.2.1 Le vrai nom standard de cette methode : methode de la fausse position

Remarque :Je n'aime pas ce nom demethode de la fausse positionouregula falsimais c'est levrainom de cette methode dans la litterature, celui demethode des secantesetant pris par une methode proche mais dierente, dont on reparlera plus tard. Dans cette methode de lafausse position, on noteA=(a;f(a)),B=(b;f(b))et on cherche le point d'intersection(x0;0)du segment[A;B]avec l'axe des abscisses. Onsaitle calculer via l'equation de(AB): y=f(a)+f(b)-f(a)(b-a)(x-a):

La valeur dex0est donc :

x

0=a-(b-a)f(b)-f(a)?f(a)=af(b)-bf(a)f(b)-f(a)

On peut considererx0comme une premiere approximation du zero defque l'on cherche1. Il sut ensuite de reiterer le procede en considerant, a la place de[a;b]l'intervalle[x0;b]sif(x0) est du m^eme signe quef(a)et l'intervalle[a;x0]sinon. Probleme : quand s'arr^ete-t-on? Contrairement au cas de la dichotomie precedente : la longueur de l'intervalle n'est pas divisee par deux a chaque etape.

1.2.2 L'informatique sans les mathematiques : le danger de la marche des aveugles!

Un premier essai, ou, par paresse intellectuelle, on prend le m^eme test d'arr^et que pour la dichotomie

def regulafalsi1(f,a,b,epsilon): """recherche d'un zero de f entre a et b,

-avec la methode regula falsi et m^eme test d'arr^et que pour la dichoto"""1. Elle va jouer un r^ole dans la suite

3 while b-a > epsilon: m=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)) if f(a)*f(m)>0: a=m else : b=m return m Si on essaie cette methode sur la fonctionsinusentre 3 et 4, il se produit quelque chose d'etonnant a premiere vue. a) Cela marche tres bien pour une precision jusqu'a 10 -4. b) Cela se met a boucler a l'inni si on demande une precision de 10 -5. On suspecte a premiere vue une erreur de calcul numerique. Un de vos camarades a utilise une autre formule ou plut^ot la m^eme formule non simpliee pourma savoir : m=a-(f(b)-f(a))/(b-a)*f(a).

Avec cette formule

≪merveilleuse≫, pourtant algebriquement equivalente a la precedente, ca marche≫... mais pourquoi, et surtout, l'algo. precedent s'arr^ete-t-il toujours ou pas?

1.2.3 Un peu de mathematiques discredite le test d'arr^et precedent en general

a)L'algorithme redige de maniere mathematique (analogue du§1.1.1): a partir d'une fonctionf?C([a;b];R)on denit deux suites(an)et(bn)par rec. avec ?Initialisation :a0=aetb0=b. ?quand on a denianetbnon poseAn=(an;f(an))etBn=(bn;f(bn))on calcule le point d'intersection de[An;Bn]avec l'axe des abscisses qu'on note(xn;0). Sif(xn):f(bn)≥0 on posebn+1=xnetan+1=an. Sinon sif(xn)f(bn)<0, on posebn+1=bnetan+1=xn. b)Le r^ole clef joue par la convexite/concavite locale : dessin pour une fonction concave sur[a;b]Prenons l'exemple d'une fonction concave croissante sur[a;b]avecf(a)<0 etf(b)>0 dont on notezle zero. Alors a chaque etape, par concavite, le segment[An;Bn]estsous le graphe fet donc le point(xn;0)qui est le point d'intersection de[An;Bn]avec l'axe(Ox)esta droitedu zerozdefqu'on cherche. Donc a chaque etape de l'algorithme, la suite(an)seraconstanteegale aaet la suite(bn) 4 Consequence : pour toutn?N,bn-an≥z-aqui est xe. Donc le test d'arr^et parb-a < epsilonn'est pas pertinent pour cette methode! c)Le cas de la fonctionsin: changement de concavite et approximationtresrapide Animation Geogebra: on y voit que le zero sembletres vite, tres bien approche, c'est bien ce qu'on constate numeriquement. Mais le test de savoir si la valeurf(xn)est positive ou negative devient delicat numeriquement lorsquef(xn)est tres proche de zero. i) Avec la premiere formule : la suite(xn)reste toujours a droite du zero tres proche du zero. Donc l'ecart entreanetbnreste superieur a-a, et l'algorithme ecrit au§1.2.2 ne s'arr^ete pas, c'est logique! ii) Avec la seconde formulef(x4)devient positif : il s'agit de nombres tres proches de zero, la determination numerique de leur signe est problematique! Au chapitre sur le calcul numerique, nous verrons si la formulem=a-(f(b)-f(a))/(b-a)*f(a)donne un meilleur calcul numerique quem=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)). Mais : En tout etat de causes, l'algorithme du§1.2.2 n'est pas correct a cause de son test d'arr^et!

1.2.4 Quel test d'arr^et pertinent pourregula falsi?

(M1)On teste l'ecart entre deux approximations successives : c'est la methode la plus courante. (M2)Le test booleen propose dans lewhilesuivant consiste a savoir s'il y a un changement de signe defdans[m-";m+"]autrement dit, si le zero cherche est dans ce voisinage (avec hyp. de monotonie locale). def regulafalsi(f,a,b,epsilon): """recherche d'un zero de f entre a et b, -avec la methode regula falsi avec un bon test d'arr^et """ m=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)) # calcul d'un premier m etalon while f(m-epsilon)*f(m+epsilon)>0: # on teste si le zero est dans un # voisinage de m de rayon epsilon m=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)) if f(a)*f(m)>0: a=m else : b=m return m

1.3 Ce qu'on n'a pas prouve surregula falsi: la convergence vers le zero

1.3.1Preuve dans un cas facile : celui oufest concave sur un[a;b](resp. convexe)

Dans ce cas, en reprenant par exemple les notations et hyp. du§1.2.3, on sait que la suite(bn) est decroissante minoree parz, donc converge vers un nombrel. Commeanest constante egale a a, la relation de recurrence entrebn+1etbnest b n+1=af(bn)-bnf(a)f(bn)-f(a) Par continuite def, on obtient en passant a la limite l=af(l)-lf(a)f(l)-f(a) Ceci equivaut alf(l)=af(l), avecl≠acarf(a)<0 etf(l)≥0 (par passage a la limite des

inegalitesf(bn)>0). Doncf(l)=0.Remarque :Dans le cas d'une telle fonction convexe, l'algorithme de la fausse position n'est

pas forcement plus rapide que celui de dichotomie. 5

1.3.2Le cas ou le zero est un point d'in

exion : l'etude theorique est plus compliquee. En fait, la convergence est plus locale (il faut faire attention aux valeurs initiales deaetb), mais plus rapide. Ici pour le sin la convergence est tout specialement rapide.

2 Excursion graphique avecnumpyetmatplotlib

2.1 Obtention d'un tableau de valeurs avecnumpy

2.1.1 En suivant le texte du T.P. 6

Unarraypeut ^etre reduit a une ligne commeA=np.array([1,2])Il peut ^etre forme de plu- sieurs lignes commeM=np.array([[1,2],[3,4]])On obtient un joli achage avecprint(A)et print(M). On obtient en eet avecprint(M): [[1 2] [3 4]] Remarque 1 :En demandant le type deAet deM, on a :ce qui signien-dimensional array, car ces tableaux peuvent avoir plusieurs dimensions. Ici une dim. pour

Aet deux pourM.

Remarque 2 :La fonctionlinspace(a,b,n)denumpycree unarray(denumpy) dont les elements sont les points d'une subdivisionregulierede[a;b]formee denpoints{x0=a>> X=np.linspace(0,10,11) >>> X array([ 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10.])

2.1.2 Complement utile : d'autres facons de fabriquer des tableauxnumpy

En pratique, on ne fabrique pas lesarraya la main... etlinspacene fait pas tout : a)L'equivalent durange:np.arange >A=np.arange(2,10) >>> A array([2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

Mais l'avantage dunp.arangec'est qu'il gere les

ottants! x0=2.0 p=0.1 n=10

B=np.arange(x0,x0+n*p,p)

donnera : >>> B array([ 2. , 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9]) b)Des tableaux tout de suite du bon format, remplis de 0 ou de 1 :np.ones, np.zeros Numpypermet de faire ce qu'on ne pouvait pas faire avec les listes enPythonpur :

A=np.ones(5)

B=np.zeros(6)

C=np.zeros((2,3))

L'inter^et de ces tableaux tout fait est qu'ensuite on peut les modier avecA[i]= 6 Comparer avec la methode de construction de listepar appendsuccessifs. Justement pour parler deappend c) Pas demethodeappendsur lesnumpy.ndarraymais : i) Unecommandenp.appendavec la syntaxe qui n'est donc pas celle d'une methode :

A=np.array([1,2])

B=np.array([2,3])

C=np.append(A,B)

print(C) ii) Une methodenp.concatenatequi ressemble beaucoup :attention aux parentheses!

A=np.array([1,2])

B=np.array([2,3])

C=np.concatenate((A,B))

print(C)

Exercice :Chercher la dierence entre les deux...

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