Méthode du pivot de Gauss
pivot c'est la paire (équation
RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL
Considérons le cas où nous voudrions obtenir les racines de la fonction. 2 3 4 c'est-à-dire de résoudre l'équation 2 3 4 0. Vous.
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
Un système de 2 équations linéaires à 2 variables est un système de la forme : 4 + 2y. 3. + 7y = –2. On a obtenu une équation à une seule inconnue ...
Systèmes déquations linéaires
Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les De façon surprenante ce système à 3 inconnues et 4 équations a une solution unique :.
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité dans le chapitre 4 Exemple 2 Considérons le système de 3 équations à 4 inconnues.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
2 4 3 0 8 0 8 ;. 3 4 0 12 1. Quoique la première équation du système soit satisfaite la seconde ne l'est pas. Rappelons que
Systèmes linéaires
Mini-exercices. 1. Écrire un système linéaire de 4 équations et 3 inconnues qui n'a aucune solution. Idem avec une infinité de solution.
1. Systèmes déquations linéaires
D'abord il faut savoir que toute équation linéaire à deux inconnues est de la forme ax+by=c. Les points E (1
Systèmes linéaires
8 nov. 2011 Une équation linéaire à trois inconnues x y
ÉQUATIONS INÉQUATIONS
RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre inconnu. 1) L'égalité 3 ? 4 = 5 + 2 est-elle vraie dans les cas suivants :.
[PDF] Méthode du pivot de Gauss
Elle consiste `a sélectionner une équation qu'on va garder intacte et dans laquelle on va rendre une inconnue facile (en l'éliminant des autres équations)
[PDF] Méthode du pivot de Gauss
Elle consiste `a sélectionner une équation qu'on va garder intacte et dans laquelle on va rendre une inconnue facile (en l'éliminant des autres équations)
[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d'équations linéaires à n équations et p inconnues Elle s'utilise notamment pour
[PDF] Systèmes déquations linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
De façon surprenante ce système à 3 inconnues et 4 équations a une solution unique : ? = 1 3 ? = 4 3 ? = 1
[PDF] Résolution de systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss
Un système d'équations linéaires est dit en échelons si sa matrice complète est en échelons Une inconnue est dite principale si l'un de ses coefficients est
[PDF] Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Problème : Résoudre les systèmes linéaires à n inconnues Par exemple un système à trois équations : 4 Cours de M RUMIN réécrit par J KULCSAR
[PDF] Méthode du pivot de Gauss pour résoudre des systèmes linéaires
4 On poursuit ainsi jusqu'à la dernière équation Il y a alors trois possibilités : — Une des équations ne comporte plus d'inconnue et
[PDF] Chapitre IV Syst`emes dEquations Linéaires
i comme variance (les ?i sont inconnus mais les ?2 i sont supposés connus) H2: Le syst`eme surdéterminé (7 1) poss`ede une solution unique si l'on remplace
[PDF] Chapitre 4 Systèmes linéaires
Un système de n équations à n inconnues est un système de Cramer si la méthode du pivot de Gauss fait apparaître successivement n pivots (non nuls) Théorème 2
[PDF] Systèmes linéaires
Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant : y = 4 et d'une équation de « compatibilité » sans inconnue : a ? 17 = 0
Systèmes d"équations linéaires
Corrections d"Arnaud Bodin
Exercice 11.Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde
Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :2x+y=1
3x+7y=2
2.Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes
suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1Résoudre les systèmes suivants
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=08 :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=38 :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=cTrouver les solutions de
8>>< >:3x+2z=03y+z+3t=0
x+y+z+t=02xy+zt=0
Étudier l"existence de solutions du système : 8< :ax+by+z=1 x+aby+z=b x+by+az=1: 1 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réelsl,a,b,c,dle système : (S)8 >:(1+l)x+y+z+t=a x+(1+l)y+z+t=b x+y+(1+l)z+t=c x+y+z+(1+l)t=d Z 42P(x)dx=aP(2)+bP(3)+gP(4):
Indication pourl"exer cice6 NÉcrire les polynômes sous la formeP(x) =ax3+bx2+cx+d. CalculerR42P(x)dxd"une part etaP(2)+
bP(3)+gP(4)d"autre part. L"identification conduit à un système linéaire à quatre équations, d"inconnues
a;b;g.3Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la
deuxième équation3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911
Onendéduity:y=12x=12911
=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:2x+y=1
3x+7y=2()2x+y=1
11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écritAX=YavecA=2 1
3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :X=A1Y:
L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi
siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.Ici on trouve
A 1=111 713 2 etX=A11 2 =111 9 7
(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les
suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c f a b c dCe qui donne ici :
x= 1 1 2 7 2 1 3 7 911ety= 2 1 32
2 1 3 7 =711 2. (a)
A vanttout on re gardes"il e xisteune solution unique, c"est le cas si et seulement si le déterminant
est non nul. Pour le premier système le déterminant esta1 a2+1 2a
=a21 donc il y a une unique solution si et seulement sia6=1.Biensûrtouteslesméthodesconduisentaumêmerésultat! Parexempleparsubstitution, enécrivant
la première ligney=2ax, la deuxième ligne devient(a2+1)x+2a(2ax) =1. On en déduit que sia6=1 alorsx=4a1a21puisy=2a2+a2a
21.4 Traitons maintenant les cas particuliers. Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x+2y=1
Mais on ne peut avoir en même tempsx+y=2 etx+y=12 . Donc il n"y a pas de solution.Sia=1 alors le système devient :x+y=2
2x2y=1et il n"y a pas de solution.
(b)Ici le déterminant est
a+1a1 a1a+1 = (a+1)2(a1)2=4a. Sia6=0 alors on trouve la solution unique(x;y). Par exemple avec la formule de Cramer x= 1a1 1a+14a=12aety=
a+1 1 a1 14a=12a:
Sia=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice2 N1.Remarquons que comme le système est homogène (c"est-à-dire les coef ficientsdu second membre sont
nuls) alors(0;0;0)est une solution du système. Voyons s"il y en a d"autres. Nous faisons semblantde ne pas voir que la seconde ligne impliquex=yet que le système est en fait très simple à résoudre.
Nous allons appliquer le pivot de Gauss en faisant les opérations suivantes sur les lignesL2 L2L1et
L3 L3L1:
8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=0()8 :x+yz=02y+z=0
3y+2z=0
On fait maintenantL3 2L3+3L2pour obtenir :
8< :x+yz=02y+z=0
7z=0 En partant de la dernière ligne on trouvez=0, puis en remontanty=0, puisx=0. Conclusion l"unique solution de ce système est(0;0;0). 2.On applique le pi votde Gauss L2 L2L1etL3 L3L1:
8< :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=3()8 :x+y+2z=52y3z=4
yz=2PuisL3 2L3L2pour obtenir un système équivalent qui est triangulaire donc facile à résoudre :
8< :x+y+2z=52y3z=4
z=0()8 :x=3 y=2 z=0 On n"oublie pas de vérifier que c"est une solution du système initial. 3. On f aitles opérations L2 3L2+L1etL3 3L3L1pour obtenir : 8< :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=c()8 :3xy+2z=a5y7z=3b+a
7y+z=3ca
5 Puis on faitL3 5L37L2, ce qui donne un système triangulaire : 8< :3xy+2z=a5y7z=3b+a
54z=5(3ca)7(3b+a)
En partant de la fin on en déduit :z=154
(12a21b+15c)puis en remontant cela donne 8< :x=118 (8a+5bc) y=118 (2a+b+7c) z=118 (4a7b+5c)Correction del"exer cice3 NOn commence par simplifier le système : on place la ligne L3en première position pour le pivot de Gauss ; on réordonne les v ariablesdans l"ordre : y;t;x;zpour profiter des lignes déjà simples. 8>>< >:y+t+x+z=03y+3t+z=0
yt+2x+z=03x+2z=0
On commence le pivot de Gauss avec les opérationL2 L23L1etL3 L3+L1pour obtenir : 8>>< >:y+t+x+z=03x2z=0
3x+2z=0
3x+2z=0
Les 3 dernières lignes sont identiques, on se ramène donc à un système avec 2 équations et 4 inconnues :
y+t+x+z=03x+2z=0
Nous choisissonsxetycomme paramètres, alorsz=32 xett=xyz=12 xy. Les solutions du système sont donc les x;y;z=32 x;t=12xyjx;y2RCorrection del"exer cice4 N1.Pour éviter d"a voirà di viserpar aon réordonne nos lignes puis on applique la méthode du pivot :
8< :x+by+az=1L1x+aby+z=bL2ax+by+z=1L3()8 :x+by+az=1L1b(a1)y+ (1a)z=b1L2 L2L1b(1a)y+ (1a2)z=1aL3 L3aL1 On fait ensuiteL3 L3+L2pour obtenir un système triangulaire équivalent au système initial : 8< :x+by+az=1 b(a1)y+ (1a)z=b1quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] résolution d'un convertisseur analogique numérique
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