[PDF] Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout





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Mathématiques Avancées

2 oct. 2014 (1 + x)n ? 1 + nx. 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1. ... Application : Soit A une proposition à démontrer.



Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout

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Fascinants nombres de Bernoulli

19 avr. 2013 2.1 Premières propriétés des nombres de Bernoulli . ... (Cette suite d'inégalités étant vraie car q ? 3 et p ? k + 1 ? 2.).



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7 jui. 2015 Inégalité de Hoeffding. Référence : Ouvrard 2 : p. 128 + Cadre-Vial p.36 pour l'application. Lecons : : 229 253



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E désigne l'application usuelle partie entière. L'inégalité de Bernoulli ... En déduire l'inégalité de Cauchy et son cas d'égalité.



Inégalités de Poincaré et de Gross pour les mesures de Bernoulli

29 oct. 2005 [Bak91b] — « Weak Sobolev inequalities »

PanaMaths Septembre 2013

L'inégalité de Bernoulli.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnx

Analyse

Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.

Résolution

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

n

P : " 1; , 1 1

nxxnx »

Initialisation

Pour

1n, on a : 1; , 1 1

n xxx et

1; , 1 1xnx x .

L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x

supérieur ou égal à 1. 1

P est donc vraie.

Hérédité

Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose N

P vraie. On suppose donc que

l'on a :

1; , 1 1

N xxNx (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que

1N

P, c'est-à-dire :

1

1; , 1 1 1

N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :

111111

NN xNxxxNxx

C'est-à-dire :

12 111
N xNx N x

PanaMaths Septembre 2013

Comme 2

0Nx, il vient

2

11 11NxNx Nx et, finalement :

1 111
N xNx t 1N

P est donc vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n non nul,

n

P est vraie.

Résultat final

*, 1; , 1 1 n nx xnxquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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