Mathématiques Avancées
2 oct. 2014 (1 + x)n ? 1 + nx. 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1. ... Application : Soit A une proposition à démontrer.
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Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes l'inégalité pouvant
FICHE : IN´EGALIT´ES CLASSIQUES
+ x)n pour x > ?1 (Inégalité de Bernoulli).
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10 sept. 2022 Spé- Maths. Application: Soit NEIN . On pose : Hérédité:.
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Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
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Fascinants nombres de Bernoulli
19 avr. 2013 2.1 Premières propriétés des nombres de Bernoulli . ... (Cette suite d'inégalités étant vraie car q ? 3 et p ? k + 1 ? 2.).
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7 jui. 2015 Inégalité de Hoeffding. Référence : Ouvrard 2 : p. 128 + Cadre-Vial p.36 pour l'application. Lecons : : 229 253
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E désigne l'application usuelle partie entière. L'inégalité de Bernoulli ... En déduire l'inégalité de Cauchy et son cas d'égalité.
Inégalités de Poincaré et de Gross pour les mesures de Bernoulli
29 oct. 2005 [Bak91b] — « Weak Sobolev inequalities »
PanaMaths Septembre 2013
L'inégalité de Bernoulli.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnxAnalyse
Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
nP : " 1; , 1 1
nxxnx »Initialisation
Pour1n, on a : 1; , 1 1
n xxx et1; , 1 1xnx x .
L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x
supérieur ou égal à 1. 1P est donc vraie.
Hérédité
Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose NP vraie. On suppose donc que
l'on a :1; , 1 1
N xxNx (hypothèse de récurrence).On veut montrer que
1NP, c'est-à-dire :
11; , 1 1 1
N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :111111
NN xNxxxNxxC'est-à-dire :
12 111N xNx N x
PanaMaths Septembre 2013
Comme 20Nx, il vient
211 11NxNx Nx et, finalement :
1 111N xNx t 1N
P est donc vraie.
Conclusion
Pour tout entier naturel n non nul,
nP est vraie.
Résultat final
*, 1; , 1 1 n nx xnxquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] inegalite de bernoulli recurrence
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