[PDF] ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Dans l'exemple du BTS





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    Résoudre une équation d'inconnue x, c'est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour lesquelles l'égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
  • Méthode 6 : Comment résoudre graphiquement l'équation f(x)=0 ? Pour résoudre l'équation f(x)=0, on trace Cf. Les abscisses des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses sont les solutions
BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Table des matières

I Équations différentielles d"ordre 12

I.1 Solution générale de l"équation sans second membre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Solution particulière de l"équation différentielle (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.3 Ensemble des solutions d"une équation différentielle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Unicité de la solution sous condition initiale . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Équations différentielles d"ordre 2 à coefficients constants 4

II.1 Solution générale de l"équation sans second membre . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Solution particulière de l"équation différentielle (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Ensemble des solutions d"une équation différentielle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.4 Unicité de la solution sous conditions initiales . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bref historique :C"est au début duXV II

ièmesiècle, avec le calcul différentiel et intégral de Newton et Leibniz, qu"apparut la notion d"équations différentielles. Elles sont issues de problèmes de géométrie et de mécanique.Au début duXV III ièmesiècle les méthodes

classiques de résolution de certaines équations (linéaires et de Bernouilli notamment) furent découvertes.

Avec le développement de la mécanique, la résolution des équations différentielles devient une branche

importante des mathématiques (grâce à Euler, Lagrange, Laplace ...). http://mathematiques.daval.free.fr-1- BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010

Une équation différentielleest une équation liant une fonction et sa ou ses dérivée(s).

Résoudre

une telle équation signifie déterminer toutes les fonctionsqui satisfont à l"égalité.

I Équations différentielles d"ordre 1

Définition 1

Soienta,betctrois fonctions définies sur un intervalleIdeRetyla fonction inconnue, définie et dérivable

sur l"intervalleI. On suppose de plus que la fonctionane s"annule pas sur l"intervalleI. On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du type : (E) :a(x)y ?(x) +b(x)y(x) =c(x). Pour plus de clarté, nous allons travailler sur un exemple : celui du BTS 2008.

On considère l"équation différentielle (E) :y?-2y=xexoùyest une fonction de la variable réellex,

définie et dérivable surR, ety?la fonction dérivée dey.

1. Déterminer les solutions définies surRde l"équation différentielle (E0) :y?-2y= 0.

2. Soitgla fonction définie surRparg(x) = (-x-1)ex.

Démontrer que la fonctiongest une solution particulière de l"équation différentielle(E).

3. En déduire l"ensemble des solutions de l"équation différentielle (E).

4. Déterminer la solutionfde l"équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialef(0) = 0.

Exemple 1

Dans cet exemple, les fonctionsa,betcsont définies surRpar :Ôa(x) = 1,b(x) =-2etc(x) =xex. I.1 Solution générale de l"équation sans second membre

Soit (E0) :a(x)y?(x) +b(x)y(x) = 0, cette équation est appelée équation différentielle sans second membre,

ou encore équation homogène associée à (E). aétant une fonction ne s"annulant pas, on peut encore écrire (E

0) :y?(x) +b(x)a(x)y(x) = 0.

Théorème 1

aetbétant des fonctions dérivables surIavecane s"annulant pas surI, l"ensemble des solutions de

l"équation différentielle (E

0) :y?(x) +b(x)a(x)y(x) = 0 est l"ensemble des fonctionsydéfinies surIpar

y(x) =ke -G(x)oùkest une constante réelle etGune primitive de le fonctionγ(x) =b(x)a(x).

Remarque 1

Siaetbpar des constantes, on retrouve le théorème vu en terminale.

Exemple 2

Dans l"exemple du BTS, on souhaite résoudre(E0) :y?(x)-2y(x) = 0. On aγ(x) =-2et doncG(x) =-2x. La solution générale est alors du typey0(x) =ke2x. http://mathematiques.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010 I.2 Solution particulière de l"équation différentielle(E)

Définition 2

On appelle solution particulière

de l"équation différentiellea(x)y?(x) +b(x)y(x) =c(x)toute fonctiony vérifiant cette équation.

Dans les sujets de BTS, toutes les indications permettant d"obtenir une solution particulière sont données.

Bien souvent, une fonction est proposée et il suffit de vérifierque c"est une solution particulière de (E), c"est

à dire de remplacer les "y" par la fonction proposée dans l"équation homogène (sans second membre), et de

vérifier que l"on obtient bien le second membre

Exemple 3

Dans l"exemple du BTS, on nous demande de montrer que la fonctiongest une solution particulière de(E):

ÔCalcul de la dérivée :

g(x) = (-x-1)exdoncg?(x) = (-1)ex+ (-x-1)ex= (-x-2)ex.

ÔRemplacement dans l"équation homogène :

g ?(x)-2g(x) = (-x-2)ex-2(-x-1)ex= (-x-2 + 2x+ 2)ex=xex. Ôgest donc bien une solution particulière de(E). I.3 Ensemble des solutions d"une équation différentielle

Théorème 2

Les solutions d"une équation différentielle sont de la formey(x) =y

0(x) +yp(x) oùy0est la solution de

l"équation sans second membre (E

0) etypune solution particulière de l"équation complète (E).

Exemple 4

Dans notre exemple, on ay0(x) =ke-2xetyp(x) =g(x) = (-x-1)ex. Donc, la solution de l"équation(E)est :y(x) =ke-2x+ (-x-1)ex. I.4 Unicité de la solution sous condition initiale

Théorème 3

Une équation différentielle linéaire du premier ordre (E) possède une unique solution vérifiant une

condition initiale du typey(A) =B.

Exemple 5

Dans l"exemple, on recherche la solutionfde(E)vérifiantf(0) = 0. ÔOn a alors :f(0) = 0??ke-2×0+ (-0-1)e0= 0??k-1 = 0??k= 1.

ÔSoitf(x) =e-2x+ (-x-1)ex.

http://mathematiques.daval.free.fr-3- BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010 II Équations différentielles d"ordre 2 à coefficients constants

Définition 3

Soienta?= 0,betctrois constantes réelles,dune fonction dérivable surIetyla fonction inconnue, définie

et deux fois dérivable surI. On appelle équation différentielle linéaire du second ordreà coefficients constants toute équation du type (E) :ay ??(x) +by?(x) +cy(x) =d(x).

Tout comme les équations différentielles d"ordre 1, nous allons travailler sur un exemple : celui du BTS 2009.

On considère l"équation différentielle (E) :y??-2y?+y= 8exoùyest une fonction de la variable réellex,

définie et deux fois dérivable surR,y?la fonction dérivée deyety??sa fonction dérivée seconde.

1. Déterminer les solutions définies surRde l"équation différentielle (E0) :y??-2y?+y= 0.

2. Soithla fonction définie surRparh(x) = 4x2ex.

Démontrer que la fonctionhest une solution particulière de l"équation différentielle(E).

3. En déduire l"ensemble des solutions de l"équation différentielle (E).

4. Déterminer la solutionfde l"équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales

f(0) =-4 etf?(0) =-4.

Exemple 6

Dans cet exemple, on a :

Ôa= 1,b=-2,c= 1etd(x) = 4x2ex.

II.1 Solution générale de l"équation sans second membre

Théorème 4

On considère l"équation différentielle sans second membre (E

0) :ay??+by?+cy= 0

d"équation caractéristique associéear

2+br+c= 0.

Le tableau ci-dessous donne les solutions de (E

0) en fonction du discriminant Δ =b2-4ac: (dans tous

les cas,aetbsont des constantes réelles quelconque). Solutions de l"équation caractéristique associéeSolution générale de (E0)

Δ>02 racines réellesy(x) =Aer1x+Ber2x

r1=-b-⎷Δ

2aetr2=-b+⎷Δ

2a Δ = 0une racine double réelley(x) = (Ax+B)erx r=-b2a Δ<02 racines complexes conjuguéesy(x) =eαx[Acos(βx) +Bsin(βx)] 2a http://mathematiques.daval.free.fr-4- BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010

Exemple 7

Résolution de l"équation différentielle(E0) :y??+ω2y= 0: ÔL"équation caractéristique de(E0)estr2+ω2= 0de discriminantΔ =-4ω2<0. Les solutions de cette équation sont0 +iωet0-iω.

ÔLes solutions de(E0)sont du typey(x) =e0×x[Acos(ωx) +Bsin(ωx)] =Acos(ωx) +Bsin(ωx).

ÔOn remarque que l"on retrouve le résultat étudié en terminale!

Exemple 8

Résolution de l"équation différentielle(E0) : 2y??-5y?-3y= 0: ÔL"équation caractéristique de(E0)est2r2-5r-3 = 0de discriminantΔ = 49>0.

Les solutions de cette équation sontr1=-1

2etr2= 3.

ÔLes solutions de(E0)sont donc du typey0(x) =Ae1

2x+Be3x

Exemple 9

Dans l"exemple du BTS, on souhaite résoudre(E0) :y??-2y?+y= 0. ÔL"équation caractéristique de(E0)estr2-2r+ 1 = 0de discriminantΔ = 0.

L"équation admet donc une solution doubler= 1.

ÔLes solutions de(E0)sont donc du typey(x) = (Ax+B)ex. II.2 Solution particulière de l"équation différentielle(E)

Définition 4

On appelle solution particulière de l"équation différentielleay ??(x) +by?(x) +cy(x) =d(x)toute fonction yvérifiant cette équation.

Dans les sujets de BTS, toutes les indications permettant d"obtenir une solution particulière sont données.

Bien souvent, une fonction est proposée et il suffit de vérifierque c"est une solution particulière de (E), c"est

à dire de remplacer les "y" par la fonction proposée dans l"équation homogène (sans second membre), et de

vérifier que l"on obtient bien le second membre

Exemple 10

Dans l"exemple du BTS, on nous demande de montrer que la fonctionhest une solution particulière de(E).

ÔCalcul de la dérivée première :

h(x) = 4x2exdonch?(x) = 8xex+ 4x2ex= (8x+ 4x2)ex.

ÔCalcul de la dérivée seconde :

h ??(x) = (8 + 8x)ex+ (8x+ 4x2)ex= (8 + 16x+ 4x2)ex.

ÔRemplacement dans l"équation homogène :

h ??(x)-2h?(x)+h(x) = (8+16x+4x2)ex-2(8x+4x2)ex+4x2ex= (8+16x+4x2-16x-8x2+4x2)ex= 8ex. Ôhest donc bien une solution particulière de(E). http://mathematiques.daval.free.fr-5- BTS DOMOTIQUEÉquations différentielles2008-2010 II.3 Ensemble des solutions d"une équation différentielle

Théorème 5

Les solutions d"une équation différentielle sont de la formey(x) =y

0(x) +yp(x) oùy0est la solution de

l"équation sans second membre ety pune solution particulière de l"équation complète.

Exemple 11

Dans notre exemple, on ay0(x) = (Ax+B)exetyp(x) =h(x) = 4x2ex. Donc, la solution de l"équation(E)est :y(x) = (Ax+B)ex+ 4x2ex= (4x2+Ax+B)ex. II.4 Unicité de la solution sous conditions initiales

Théorème 6

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre (E) possède une unique

solution vérifiant deux conditions initiales.

Exemple 12

Dans l"exemple, on recherche la solutionfde(E)vérifiantf(0) =-4etf?(0) =-4.

ÔPremière condition initiale :

f(0) =-4??(4×02+A×0 +B)e0=-4??B=-4.

ÔCalcul de la dérivée :

f ?(x) = (8x+A)ex+ (4x2+Ax+B)ex= (4x2+ 8x+Ax+A+B)ex.

ÔDeuxième condition initiale :

f ?(0) =-4??(4×02+ 8×0 +A×0 +A+B)e0=-4??A+B=-4??A= 0.

ÔConclusion :

f(x) = (4x2-4)ex. http://mathematiques.daval.free.fr-6-quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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