Fiche outil n°14 - plan des hauteurs.pdf
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Les expressions de la règle de hauteur
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Pf3(R) = {classes d'isomorphisme de 3-formes de Pfister sur R}. Nous démontrons que ces deux foncteurs satisfont à la condition de pureté pour les anneaux
Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
Calcul par changement de variable: x “ sint pour t P r´? o`u ? est le cylindre plein de hauteur 3 et de base le disque. D “ pxy
Décret no 2004-924 du 1er septembre 2004 Relatif à lutilisation des
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La hauteur maximale de la construction ne peut dépasser la hauteur et le nombre de niveau suivants : HAUTEUR Hauteur sous plafond du R D C 15 50 (R+3)
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Quelle est la hauteur d'un immeuble de trois étages ?
D'après Julien d'Ascalon, un immeuble de trois niveaux peut atteindre une hauteur de vingt coudées (environ 9, 36 m), chaque niveau pouvant avoir une hauteur différente, variant entre quatre coudées au rez-de-chaussée et dix coudées au deuxième étage.Quelle hauteur R 1 ?
La hauteur des constructions est limitée à 7,50 m au faîtage (ce qui correspond à un bâtiment de type R + 1 pour les toitures à faible pente), dans une bande de 10 m de large parallèle à la voie d'accès principale: rue, avenue, impasse, venelle, raquette de retournement.Quelle est la hauteur de 2 étages ?
Sachez qu'en moyenne, sur une construction neuve de type maison individuelle, la hauteur d'un étage est comprise entre 2,70 mètres et 3 mètres. Vous pouvez aussi utiliser des points de repères sur la fa?e comme une fenêtre pour tenter de mesurer la hauteur à l'égout.- Hauteur à l'égout du toit (hauteur des fa?es) : La hauteur à l'égout du toit est la mesure verticale, prise au nu de la fa?e entre le sol naturel et le niveau le plus élevé de la fa?e.
Math2 { Chapitre 3
Integrales multiples
3.1 {Int egralesde Riemann (rapp elsde TMB)
3.2 {Int egralesdoubles
3.3 {Int egralestriples
3.4 {Aire, volume, mo yenneet centre de masse
3.1 { Integrales de Riemann (rappels de TMB)
Dans cette section:
Subdivisions, somme de Riemann et integrale de Riemann d'une fonction d'une variableAire sous le graphe d'une fonction
Primitives et techniques d'integration
Subdivision, somme et integrale de Riemann
Rappels {Soitf:ra;bs ÑRune fonction d'une variable: subdivisiondera;bs:Sn taa0 a1 anbuR aa0 a nb a 1|x 1 a 2|x 2 a 3|x 3 a 4|x 4 a 5|x 5 somme de Riemann defaux pointsxiP rai1;ais: R pf;txiuq n¸ i1fpxiq:xfpxq a b integrale de Riemann defsurra;bs: b a fpxqdxlimnÑ8toutxiR pf;txiuqxfpxq a b si la limite existe, est nie, et ne depend pas desxi.L'integrale donne l'aire sous le graphe
Rappels -
b a fpxqdxaire \algebrique" sous le graphe def b a |fpxq|dxaire sous le graphe def(positive) xyfpxq |f|f |f||f|Exemple:L'aire du disque se calcule comme une integrale:AirepDq 2AirepDq 2»
11a1x2dxxy?1x2D
Primitives et techniques d'integration
Pour connaitre l'integral, il sut de connaitre une primitive: Uneprimitive defsurra;bsest une fonctionFderivable telle que F1pxqfpxqpour toutxP ra;bs. On noteFpxq»
fpxqdx.Theoreme fondamental:»b
a fpxqdxFpbqFpaq rFpxqsba:Integration par changement de variable:xhptq»
fpxqdx» fhptqh1ptqdt; ouhest un dieomorphisme(bijection derivable avec reciproqueh1derivable).Integration par parties:»
fpxqg1pxqdxfpxqgpxq » f1pxqgpxqdx:Probleme {Pas d'analogue pour les fonctions de plusieurs variables!
Exemple: aire d'un disque
Aire d'un disque {
AirepDq 2AirepDq 2»
11a1x2dxCalcul par changement de variable:xsintpourtP r2
;2 s, car?1x2cost.Alorsdxcost dtetAirepDq 2»
{2 {2cos2t dt 2» {2 {2cosp2tq 12 dt 12 sinp2tq t {2 {202 023.2 { Integrales doubles
Dans cette section:
Subdivisions des domaines du plan
Sommes de Riemann des fonctions de deux variables
Integrale double
Volume sous le graphe d'une fonction
Theoreme de Fubini
Theoreme du changement de variables
Subdivisions d'un domaine du plan
SoitDR2un ensemble borne, avec bordBDlisse(au moins par morceaux). Denition {Pour tout¡0, on appellesubdivision deD l'ensembleSdes carresKide cotedu plan qui couvrentDdans n'importe quel grillage de pas.En particulier, on considere deux recouvrements: una l'exterieurSext, una l'interieurSint.S intS extD BDPuisqueDest borne, les subdivisions contiennent un nombre ni de carres, et on aSintSext. Les carres dansSextzSintcouvrent exactement le bordBD. Sommes de Riemann d'une fonction de deux variablesSoitf:DÝÑRune fonction de deux variables.
Denition {Pour tout choix de pointspxi;yiq PKiXD, on appellesommes de Riemann defassociees aux subdivisions S ext{int et aux pointstpxi;yiqules sommes R ext{int pf;tpxi;yiquq ¸ K iPSext{int fpxi;yiq2; ou chaque termefpxi;yiq2 represente levolume algebrique(=volume) du parallelepipede de base K iet hauteurfpxi;yiq. xyfpx;yqDIntegrale double
Theoreme {Si les limiteslimÑ0Rext{int
pf;tpxi;yiquqexistent et elles sont independantes du choix des pointspxi;yiq PKiXD, alors elles coincident.Denition {Dans ce cas: on appelleintegrale double defsurDcette limite: D fpx;yqdx dylimÑ0Rext{int pf;tpxi;yiquq: on dit quefest integrable surDselon Riemannsi l'integrale¼ D fpx;yqdx dyest nie (= nombre, pas8).Proposition {Toute fonction f continueest integrable selon Riemann sur un ensemble D bornea bord lisse(par morceaux).Signication geometrique de l'integrale double
Corollaire {
D fpx;yqdx dyvolume \algebrique" sous le graphe de f . D |fpx;yq|dx dyvolume sous le graphe de f .yz x positifnegatiff |f||f|fExemple 1: volume d'une boule
Volume d'une boule {Le volume de la boule
est deux fois le volume de la demi-boule B qui se trouve sous le graphe de la fonction za1x2y2: yz xpx;yqzax 2y2BOn a alors
VolpBq 2¼
Da1x2y2dx dy
Proprietes des integrales doubles
Proprietes {1qPour tout;PR, on a
D fgdx dy¼ D f dx dy¼ D g dx dy:2qSi DD1YD2et D1XD2= courbe ou point ouH, alors D fpx;yqdx dy¼ D1fpx;yqdx dy¼
D2fpx;yqdx dy:3q¼
D D D D gpx;yqdx dy:Theoreme de Fubini sur un rectangle
Theoreme de Fubini sur un rectangle {Soit f:DÝÑRune fonction continue et D ra;bs rc;dsun rectangle. Alors on a D fpx;yqdx dy» b a »d c fpx;yqdy dx d c »b a fpx;yqdx dyNotation { b a dx» d c dy fpx;yq » b a »d c fpx;yqdy dxCorollaire { ra;bsrc;dsf1pxqf2pyqdx dy»
b a f1pxqdx»
d c f2pyqdy
Exemple 2: calcul d'integrales doubles
Exemples {
r0;1sr0;{2sxcosy dx dy» 1 0 x dx» {2 0 cosy dy 12 x21 0 siny {2 012 r1;1sr0;1spx2y1qdx dy» 11dx»
1 0 px2y1qdy 1 1dx12 x2y2y y1 y0 1 1 12 x21 dx16 x3x 1 1 53Theoreme de Fubini
Lemme {Soit DR2un ensemble borne quelconque.
Pour toutpx;yq PD
il existe a;bPRPour tout xP ra;bs
il existe cpxq;dpxq PRAu nal:xy
bxacpxqdpxqD px;yq PR2|xP ra;bs;yP rcpxq;dpxqs(Theoreme de Fubini surD{Soit f:DÝÑRune fonction continue, alors D fpx;yqdx dy» b a»dpxq
cpxqfpx;yqdy dxTheoreme de Fubini (suite)
Alternative {
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