Exercices de mathématiques

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 (−1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.3. Donner le développement en série de Laurent de la fonction suivante en précisant dans quelles parties de C ...

Quelques exercices corrigés (2).

série de Laurent la fonction z ↦→ z2 sin(z2). qui est une fonction holomorphe en 0 ; ce développement sera donc une série entière 2

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

4 juin 2022 (−1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.4. Donner le développement en série de Laurent de la fonction f(z) = z.

Homotopies Séries de Laurent

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~joel.merker/Enseignement/Analyse-Complexe/homotopie-Laurent.pdf

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

série converge uniformément sur tout ensemble {z ∈ C;

⩾ R} avec R > 1 ... Laurent 138 de Mac-Laurin 40 de Riemann 6 dérivée 39 de Taylor 40 divergente ...

U N I V E R S I T É D A R T O I S

développement en série de Laurent de gpwq. Indication: on pourra remarquer que w2 ´ 1 “ w2p1 ´ 1 w2 q. Page 21. Exercices Variable Complexe. 20. Exercice 7.6.

Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction

Chapitre 4 - Travaux Dirigés (Corrigés) 1. (1 − z)3 en z0 = 1. Solution 1. 1. La fonction sin est holomorphe en π/4. Son développement en série de Laurent se.

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus Calcul de résidus

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus. Rappel : Les développements de Exercice 1. a) Donner le développement de Laurent de z ↦→ 2z+1 z2+z−2.

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en α : a) z3 exp(1/z) α = 0; b). 1 z2

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 (?1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.3. Donner le développement en série de Laurent de la fonction suivante en précisant dans quelles parties de C ...

Exercices de mathématiques - Exo7

D'après ce qui précède z+ez est donc un polynôme. Commentaires ? Correction ?. [002831]. 4 Séries de Laurent. Exercice 13.

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Cours et exercices corrigés 10.5 Séries de Laurent ... (ii) Le développement en série entière de f à l'origine est son développement de Mac-. Laurin.

Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction

Exercice 1. Il s'agit de trouver la série de Laurent de f en précisant la nature de la singularité le résidu et le rayon de convergence. 1. sinz en z0 = ?/4. 2

U N I V E R S I T É D A R T O I S

Il est important que chercher les exercices à l'avance pour profiter Déterminer la partie singulière du développement en série de Laurent à l'origine de.

Quelques exercices corrigés (2).

Quelques exercices corrigés (2). Correction de l'exercice 7.6 On n'a pas calculé tout le développement en série de Laurent de f sur un petit disque ...

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en ? : a) z3 exp(1/z) ? = 0; b).

Analyse complexe

1.5.2 Exercices supplémentaires proposés . 6.1 Séries de Laurent . ... En utilisant le développement en série entière des fonctions eCcos? et sin?

4402Analyse complexe.indd

ROMBALDI J.-É. Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques Développement en série entière d'une fonction holomorphe . 55.

Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

Déduisez-en le développement en série de Taylor de tan z autour de zéro dans un disque que vous préciserez. Exercice 4.5 Fonctions holomorphes reliées par une

Séries de Laurent - univ-toulousefr

ln(x) = X ? 1)n (?1)n+1 sur ]0 2[ e`(z) ? z = 0 sur ]0 2[ donc sur D(1 1) par prolongement analytique On peut en déduire des développements en série entière au voisinage d’un point arbitraire a ? C? de logarithme b : en effet z 7? `(z a) + b est alors un logarithme sur D(a a) Exemple

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus - GitHub Pages

Un exercice qui n’a rien à voir Rappel:lethéorèmedeMoreraSifestcontinuesurunouvertUetquesonintégrale surtouttriangleestnullealorsfestholomorphe Remarque : aucune hypothèse n’est faite sur l’ouvert U Exercice7 Autourduprincipederé?exiondeSchwarz a) SoitUunouvertdeC OnsupposequefestholomorphesurUnUR etcontinue

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en : a) z3 exp(1=z); = 0; b) 1 z2 (3 + i)z+ 3i; 2f0;3;ig; c) ez z 1; 2f1;ig: Exercice 3 Déterminer les singularités isolées et la nature de chaque singularité des fonctions dé nies par : a) cosz z; b) exp(1=z); c) log(1

Images

3 1 Développement en série de Laurent Soit rR 2 R+ [{+•}0 r < R L’ouvert C(a;r;R)={z 2 C;r < z a < R} est appelé couronne de centre a de rayon intérieur r et de rayon extérieur R Puisque C(a;r;R) n’est pas un domaine simplement connexe la formule de Cauchy n’est pas valable pour tout lacet G de W

Exercices : Jean-François Burnol

Corrections : Volker Mayer

Relecture : François LescureExo7

Prolongement analytique et résidus

1 Un peu de topologie

Exercice 1SoitW=Cnf]¥;0]g. Déterminer en toutz02Wla série de Taylor de la fonction holomorphez7!Logz

ainsi que son rayon de convergence. Soitz0avec Re(z0)<0. SoitR0le rayon de convergence pourz0et soit f(z)la somme de la série dansD(z0;R0). A-t-onf(z) =LogzdansD(z0;R0)? H???Exercice 2

On considère la fonction analytiquef(z)=1sin(z)sur l"ouvertUcomplémentaire depZ. Vérifier que la fonction

sin(z)ne s"annule jamais surU. Déterminer en toutz02Udonné le rayon de convergence du développement

en série de Taylor def.Remarque :il est déconseillé de chercher à résoudre ce problème en déterminant

explicitement les coefficients des séries de Taylor. H???Exercice 3

Soientfetgdeux fonctions entières avec8z f(z)g(z) =0. Montrer que l"une des deux est identiquement

nulle. H???Exercice 4 Soitfune fonction holomorphe sur un ouvertconvexeU. Soitz12U, on suppose que le rayon de convergence

de la série de Taylor defenz1estR1. De même, enz22U, on suppose que le rayon de convergence de la série

de Taylor defestR2. Soitg1sur le disque ouvertD(z1;R1)la somme de la série de Taylor defenz1et de mêmeg2surD(z2;R2). SoitV=D(z1;R1)\D(z2;R2). Montrer que siVest non vide alorsg1=g2surV. On

commencera par montrer queV\Uest non vide aussi.Attention: en général, sans hypothèse spéciale comme

la convexité deUcela est complètement faux; donner un exemple, avecUconnexe, mais pas convexe, tel que

16=g2surV(et on peut même faire avecV\U6=/0). Il suffira d"utiliser l"exercice1 .

H???2 Deux séries de Fourier Exercice 51.Soit Wl"ouvert habituel sur lequel est défini Logz. Justifier pour toutz2W

Log(z) =Z

0z11+t(z1)dt;

1 et donner une formule intégrale explicite pour le resteRN(z)dans:

Log(z) = (z1)(z1)22

+(z1)33 +(1)N1(z1)NN +RN(z): 2. On suppose Re (z)>dpour un certaind2]0;1[. Prouver : jRN(z)j61d jz1jN+1N+1

On minoreraj1+t(z1)jpard.

En déduire que la série de T aylorde Log au point 1 est uniformément con vergentesur le compact fjz

1j61;d6Re(z)g.

4. Pour pExercice 61.Soit fune fonction continue surD(0;1), holomorphe surD(0;1), nulle sur le cercle de rayon 1. Montrer

quefest identiquement nulle. 2. Plus fort: on ne suppose plus que f(eiq)est nulle pour toutqmais seulement pour 06q6p. Montrer quefest identiquement nulle.Indication : f(z)f(z). H???Exercice 7 Soitf(z) =4z+34+3z. Montrer:8q2Rjf(eiq)j=1. En déduirejzj<1=) jf(z)j<1. H???Exercice 8

SoitFune fonction entière telle quejF(z)j61n

pourjzj=n,n>1. Montrer queFest identiquement nulle. H???Exercice 9 1. Soit fanalytique sur un disquejzz0j6Ret telle qu"il existe un certainz1avecjz1z0jjf(z1)jpourjzz0j=R. Montrer quefs"annule au moins une fois dans le disque ouvert D(z0;R).Indication :considérer sinon ce que dit le principe du maximum pour la fonction1f 2

2.Théorème de Hurwitz.Soitfndes fonctions holomorphes sur un voisinage communUdeD(0;1)qui

convergent uniformément surU. SoitFla fonction limite. On suppose queFn"a aucun zéro sur le cercle

jzj=1, et qu"elle a au moins un zéro dans le disque ouvertD(0;1). Montrer en appliquant la question

précédente àfnque pourn1 la fonctionfna au moins un zéro dansD(0;1).1Ce résultat est souvent

appliqué sous sa forme réciproque:si des fonctions holomorphes fnsans zéro convergent uniformément

sur un ouvert connexe vers F alors soit F est identiquement nulle soit F n"a aucun zéro.Justifier cette

dernière reformulation. ???Exercice 10 exp(f)). H???Exercice 11 Soitfune fonction entière telle quejf(z)j6M(1+jzj)npour un certainMet un certainn2N. Donner plusieurs démonstrations quefest un polynôme de degré au plusn:

en utilisant une formule intégrale de Cauch ypour f(n+1)(z), avec comme contour les cercles de rayonR

centrés en l"origine, ou enzsi l"on veut, en utilisant les formules de Cauch ypour f(m)(0), avecm>n+1,

en appliquant le théorème de Liouville à (f(z)P(z))=zn+1avecPle polynôme de McLaurin-Taylor à

l"origine à l"ordren. H???Exercice 12

Soitfune fonction entière vérifiant limjzj!¥jf(z)j= +¥. Donner plusieurs démonstrations quefest un

polynôme: en montrant, par un théorème du cours, que w=0 est une singularité polaire deg(w) =f(1w ), et en en déduisant qu"il existe un polynômePtel quef(z)P(z)tende vers 0 pourjzj !¥, puis Liouville, ou en montrant que fn"a qu"un nombre fini de zéroszj, 16j6n, et en appliquant à(zz1):::(z z

n)=f(z)le résultat de l"exercice précédent, plus quelques réflexions de conclusion pour achever la

preuve.

Montrer que la fonction entièrez+eztend vers l"infini le long de tout rayon partant de l"origine. D"après ce

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

Exercices : Jean-François Burnol

Corrections : Volker Mayer

Relecture : François LescureExo7

Prolongement analytique et résidus

1 Un peu de topologie

16=g2surV(et on peut même faire avecV\U6=/0). Il suffira d"utiliser l"exercice1 .

Log(z) =Z

0z11+t(z1)dt;

Log(z) = (z1)(z1)22

On minoreraj1+t(z1)jpard.

1j61;d6Re(z)g.

SoitFune fonction entière telle quejF(z)j61n

2.Théorème de Hurwitz.Soitfndes fonctions holomorphes sur un voisinage communUdeD(0;1)qui