Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction PDF

Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer en tout z0 ∈ U donné le rayon de convergence du développement en Déterminer la série de Laurent à l'origine de la fonction analytique exp(1 z. ) ...

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 (−1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.3. Donner le développement en série de Laurent de la fonction suivante en précisant dans quelles parties de C ...

Quelques exercices corrigés (2).

série de Laurent la fonction z ↦→ z2 sin(z2). qui est une fonction holomorphe en 0 ; ce développement sera donc une série entière 2

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

4 juin 2022 (−1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.4. Donner le développement en série de Laurent de la fonction f(z) = z.

Homotopies Séries de Laurent

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~joel.merker/Enseignement/Analyse-Complexe/homotopie-Laurent.pdf

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

série converge uniformément sur tout ensemble {z ∈ C;

⩾ R} avec R > 1 ... Laurent 138 de Mac-Laurin 40 de Riemann 6 dérivée 39 de Taylor 40 divergente ...

U N I V E R S I T É D A R T O I S

développement en série de Laurent de gpwq. Indication: on pourra remarquer que w2 ´ 1 “ w2p1 ´ 1 w2 q. Page 21. Exercices Variable Complexe. 20. Exercice 7.6.

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus Calcul de résidus

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus. Rappel : Les développements de Exercice 1. a) Donner le développement de Laurent de z ↦→ 2z+1 z2+z−2.

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en α : a) z3 exp(1/z) α = 0; b). 1 z2

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 (?1)n(. 2 z. )n. ] . Exercice 4.3. Donner le développement en série de Laurent de la fonction suivante en précisant dans quelles parties de C ...

Exercices de mathématiques - Exo7

D'après ce qui précède z+ez est donc un polynôme. Commentaires ? Correction ?. [002831]. 4 Séries de Laurent. Exercice 13.

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Cours et exercices corrigés 10.5 Séries de Laurent ... (ii) Le développement en série entière de f à l'origine est son développement de Mac-. Laurin.

Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction

Exercice 1. Il s'agit de trouver la série de Laurent de f en précisant la nature de la singularité le résidu et le rayon de convergence. 1. sinz en z0 = ?/4. 2

U N I V E R S I T É D A R T O I S

Il est important que chercher les exercices à l'avance pour profiter Déterminer la partie singulière du développement en série de Laurent à l'origine de.

Quelques exercices corrigés (2).

Quelques exercices corrigés (2). Correction de l'exercice 7.6 On n'a pas calculé tout le développement en série de Laurent de f sur un petit disque ...

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en ? : a) z3 exp(1/z) ? = 0; b).

Analyse complexe

1.5.2 Exercices supplémentaires proposés . 6.1 Séries de Laurent . ... En utilisant le développement en série entière des fonctions eCcos? et sin?

4402Analyse complexe.indd

ROMBALDI J.-É. Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques Développement en série entière d'une fonction holomorphe . 55.

Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

Déduisez-en le développement en série de Taylor de tan z autour de zéro dans un disque que vous préciserez. Exercice 4.5 Fonctions holomorphes reliées par une

Séries de Laurent - univ-toulousefr

ln(x) = X ? 1)n (?1)n+1 sur ]0 2[ e`(z) ? z = 0 sur ]0 2[ donc sur D(1 1) par prolongement analytique On peut en déduire des développements en série entière au voisinage d’un point arbitraire a ? C? de logarithme b : en effet z 7? `(z a) + b est alors un logarithme sur D(a a) Exemple

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus - GitHub Pages

Un exercice qui n’a rien à voir Rappel:lethéorèmedeMoreraSifestcontinuesurunouvertUetquesonintégrale surtouttriangleestnullealorsfestholomorphe Remarque : aucune hypothèse n’est faite sur l’ouvert U Exercice7 Autourduprincipederé?exiondeSchwarz a) SoitUunouvertdeC OnsupposequefestholomorphesurUnUR etcontinue

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en : a) z3 exp(1=z); = 0; b) 1 z2 (3 + i)z+ 3i; 2f0;3;ig; c) ez z 1; 2f1;ig: Exercice 3 Déterminer les singularités isolées et la nature de chaque singularité des fonctions dé nies par : a) cosz z; b) exp(1=z); c) log(1

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3 1 Développement en série de Laurent Soit rR 2 R+ [{+•}0 r < R L’ouvert C(a;r;R)={z 2 C;r < z a < R} est appelé couronne de centre a de rayon intérieur r et de rayon extérieur R Puisque C(a;r;R) n’est pas un domaine simplement connexe la formule de Cauchy n’est pas valable pour tout lacet G de W

Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction

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Chapitre 4 - Travaux Dirigés (Corrigés)

Résidus et applications

Quelques notions à savoir avant la correction

1. Soit fune fonction holomorphe enz0. Alors son développement de Taylor coïncide avec son développement de Laurent enz0. DoncRes(f;z0) = 0. 2. Soien tUun ouvert,z02U,f:U!Cune fonction qui est holomorphe dansUn fz0g. Soit g:U!Cune fonction holomorphe. Supposons quef(z) =g(z)pour toutz2Un fz0g. Alors z

0est unefausse singularité de f(et doncRes(f;z0) = 0). En effet,g, holomorphe, admet un

développement en série de Taylor, en toutz2U, donc notamment enz0:g(z) =P n0an(zz0)n.

Ce développement correspond donc au développement en série de Laurent defenz0(par unicité),

qui ne comporte pas de partie principale. Ce cas s"applique par exemple à la fonctionf(z) = (zz0)d(zz0)eQ(z)où0< edetQest un polynôme ne s"annulant pas enz0. 3. Soit f(z) =P(z)(zz0)dQ(z)avecP;Qdeux polynômes ne s"annulant pas enz0. En particulier PQ est holomorphe enz0, donc admet un développement de Taylor enz0, de sorte quef(z) =

1(zz0)dP

n0an(zz0)n=a0(zz0)d+P n1an(zz0)ndeta0=P(z0)Q(z0)6= 0. Doncz0est un p ôled"ordre d.

Exercice 1

Il s"agit de trouver la série de Laurent defen précisant la nature de la singularité, le résidu et le rayon de convergence.

1.sinzenz0==4.

2. sinzz

3enz0= 0.

3.sin1z

enz0= 0. 4. z2+ 2z+ 1z+ 1enz0=1. 5.

1(1z)3enz0= 1.

Solution 1

1. L afonction sinest holomorphe en=4. Son développement en série de Laurent se confond donc avec son développement de Taylor en=4. Il en résulte queRes(f;=4) =

0et quesin(z) =P1

n=01n!sin(n)(=4)(z=4)n. Or on asin0(z) = cos(z)et cos

0(z) =sin(z). Commesin(=4) = sin0(=4) =p2=2et quesin00(=4) =

sin

000(=4) =p2=2, il en résulte quesin(z) =p2

2 P 1 n=0 nn!(z=4)n, avec

4n=4n+1=4n+2=4n+3= 1. La série de Taylor converge versf(z)

pour toutz2C. 2.

On sait que sinz=P1

n=0(1)n(2n+ 1)!z2n+1de sorte quesinzz 3=P1 n=0(1)n(2n+ 1)!z2n2= 1z 2+P1 n=1(1)n(2n+ 1)!z2n2=1z 2+P1 n=0(1)n+1(2n+ 3)!z2n. Donc0est un pôle double, et Res(f;0) = 0. La série converge pour toutz6= 0. 1

3.On dév eloppesinyen série de Taylor et on posey=1z

pour obtenir siny=1X n=0(1)n(2n+ 1)!y2n+1)sin(1=z) =1X n=0(1)n(2n+ 1)!1z 2n+1: On trouve alors que0est une singularité essentielle etRes(f;0) = 1. La convergence a lieu pour toutz6= 0.

4.f(z) =z2+ 2z+ 1z+ 1= (z+ 1)2=(z+ 1), doncz0=1est une fausse singularité.

Par conséquentRes(f;0) = 0. Le développement de Taylor enz0=1est donc trivialementz+ 1. La convergence a lieu surCtout entier.

5.f(z) =1(1z)3=1(z1)3est le développement de Laurent defenz0= 1. Il en

résulte quez0est un pôle triple, etRes(f;1) = 0. La convergence a lieu pour peu quez6= 1.

Exercice 2

Calculer l"intégrale

I(a) =Z

2 0dta

22acos(t) + 1

oùaest un paramètre réel qui ne prend pas les valeurs1.

Solution 2

Le cas oùa= 0est immédiat :

I(0) =Z

2 0 dt= 2:

Supposons donca6= 0. ConsidéronsR(x;y) =1a

22x+ 1. La méthode vue en cours

conduit à l"expression

I(a) =Z

1iz dz(a2a(z+ 1=z) + 1) où (t) =eit,t2[0;2]. On a (pourz6= 0)a2a(z+ 1=z) + 1 = (az)(a1=z) =

1=z(az)(az1)de sorte que

I(a) =Z

idz(za)(az1)=Z f(z)dz: Il y a deux pôles simplesz=aetz= 1=a(rappelons que par hypothèsea6=1),

mais aussi la singularitéz= 0. Celle-ci est une fausse singularité (puisquef(z) =i(za)(az1)et le membre de droite est holomorphe en0) doncRes(f;0) = 0. Il

y a deux cas à considérer : soitjaj>1, soitjaj<1. Supposons tout d"abord que jaj>1. On a doncI(a) = 2iRes(f;1=a). OrRes(f;1=a) =1Q

0(1=a)=11a2où

Q(z) = (za)(az1). AinsiI(a) = 2ii1a2=2a

21. Pourjaj<1, on trouve de

façon similaire :I(a) =21a2(on remarque que ce résultat reste vrai sia= 0).

Exercice 3

Calculer l"intégraleZ

+1 1x

216 +x4dx.

Solution 3

On ax4+ 16 = (x24i)(x2+ 4i). Doncx4+ 16n"admet pas de racines réelles. Comme par ailleursdeg(16 +x4) = 4 = deg(x2) + 2, on peut appliquer la méthode vue en cours et affirmer queZ +1 1x

216 +x4dx= 2iX

a2ERes(F;a)oùF(z) =z2=(16 +z4)etEest l"ensemble des pôles deFdans le demi-plan supérieur. Les pôles sont les zéros de16 +z4. On az4=16 = (2!)4où!est une racine quatrième de1(i.e.,!4=1), soit!=ei(2k+1)=4pourk= 0;1;2;3. (Rappelons que pourn1, etz0=0ei06= 0, on azn=z0si, et seulement si,rn=r0etn=0+k2, k2Z, où on a poséz=rei, de sorte querest l"unique racinen-ème réelle positive der0 et=0=n+k2=n,k2Zou encore modulo2,=0=n+k2=n,k= 0;;n1.) On a donc comme pôlesz1= 2ei=4,z2= 2ei3=4,z3= 2ei5=4etz4= 2e7=4. Ce sont donc des pôles simples et seulsz1;z2appartiennent au demi-plan supérieur. DoncZ+1 1x

216 +x4dx= 2i(Res(F;z1)+Res(F;z2)). Enfin,Res(F;z1) =z214z31=14z1=18

ei=4 etRes(F;z2) =14z2=18 e3i=4, etZ +1 1x

216 +x4dx=14

i(ei=4+e3i=4) =14 i(p2 2 (1 i1i)) =p24

Exercice 4

Calculer l"intégraleZ

1 1 f(x)ei!xdxen fonction de!2R, oùf(x) = 1=(x2+ 1).

Solution 4

Bien sûrz7!f(z)n"admet pas de pôle sur l"axe des réels. Elle a un pôle simpleidans le demi-plan supérieur et un pôle simpleidans le demi-plan inférieur. Par ailleurs on af=PQ avecdegQ= 2degP|{z} =0+2. Il en résulte, d"après ce que l"on a vu en cours, que pour! >0,limr!1R +r rf(x)ei!xdx= 2iRes(f(z)ei!z;i) =e!. Pour! <0, on alimr!1R +r rf(x)ei!xdx=2iRes(f(z)ei!z;i) =e!. Pour!= 0, on af=PQ avecdegQ= 2degP|{z} =0+2,fn"a pas de pôle réel, de sorte quelimr!1R r rf(x)dx=

2iRes(f(z);i) =. Il en résulte queZ

1 1 f(x)ei!xdx=ej!j.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la correction

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Chapitre 4 - Travaux Dirigés (Corrigés)

Résidus et applications

Quelques notions à savoir avant la correction

0est unefausse singularité de f(et doncRes(f;z0) = 0). En effet,g, holomorphe, admet un

1(zz0)dP

Exercice 1

1.sinzenz0==4.

3enz0= 0.

3.sin1z

1(1z)3enz0= 1.

Solution 1

0et quesin(z) =P1

0(z) =sin(z). Commesin(=4) = sin0(=4) =p2=2et quesin00(=4) =

000(=4) =p2=2, il en résulte quesin(z) =p2

4n=4n+1=4n+2=4n+3= 1. La série de Taylor converge versf(z)

On sait que sinz=P1

3.On dév eloppesinyen série de Taylor et on posey=1z

4.f(z) =z2+ 2z+ 1z+ 1= (z+ 1)2=(z+ 1), doncz0=1est une fausse singularité.

5.f(z) =1(1z)3=1(z1)3est le développement de Laurent defenz0= 1. Il en

Exercice 2

Calculer l"intégrale

I(a) =Z

22acos(t) + 1

Solution 2

Le cas oùa= 0est immédiat :

I(0) =Z

Supposons donca6= 0. ConsidéronsR(x;y) =1a

22x+ 1. La méthode vue en cours

I(a) =Z

1=z(az)(az1)de sorte que

I(a) =Z

0(1=a)=11a2où

Q(z) = (za)(az1). AinsiI(a) = 2ii1a2=2a

21. Pourjaj<1, on trouve de

Exercice 3

Calculer l"intégraleZ

216 +x4dx.

Solution 3

216 +x4dx= 2iX

216 +x4dx= 2i(Res(F;z1)+Res(F;z2)). Enfin,Res(F;z1) =z214z31=14z1=18

216 +x4dx=14

Exercice 4

Calculer l"intégraleZ

Solution 4

2iRes(f(z);i) =. Il en résulte queZ