[PDF] Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes

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Outils d'analyse pour l'ingenieur

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Chapitre 3 :Analyse complexe

Olivier Ley

IRMAR, INSA de Rennes

Annee universitaire 2020-2021

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20211 /45

Introduction

Les fonctionsf:RÑRles plus utiles sont les polyn^omesPpxq N¸ n0a nxn: Ce sont des objets"simples»: il sut des touches` a b cde la calculatrice pour calculer leurs valeurs; Ils sont essentiels dans beaucoup d'applications : optimisation, approximation1, etc. Il est possible et naturel d'etendre les polyn^omes aux n ombresc omplexes c ar: 1Lesp olyn^omesc omplexesPpzq N¸ n0a nznsont des objets tous aussi simples que

les polyn^omes reels, les operations` a b cont cours dansC;2Les polyn^omes complexes sont m^eme plus naturels que les polyn^omes reels :

Theoreme 1 (Theoreme fondamental de l'algebre)

Tout polyn^ome complexePpzqde degreNa exactementNracines (comptees avec leur multiplicite) dansC.Remarque: c'est faux dansR. Par exemple,x21n'a aucune racine dansR; c'est

ce type de probleme qui a motive l'introduction deC.1.P are xemple,le c elebreT heoremed'a pproximationde W eierstrass(m athematicienal lemand

du XIX esiecle) dit qu'on peut ecacement approcher toute fonction continue sur un segment ra;bspar une fonction polyn^ome.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20212 /45

Objectif du cours

Le but de ce cours est d'etudier certaines fonctionsf:CÑCqui"ressemblent» a des polyn^omes.

Parmi ces fonctions, il y a les

p olyn^omes ma isa ussil es s eriesen tieres qu ip euvent ^etre vues comme des"polyn^omes de degre inni»,fpzq 8¸ n0a nzn,anPC. Historiquement, ces series entieres ont permis d'introduire ou de denir rigoureusement de nouvelles fonctions (exp,log,sin,cos, etc.). Toutes ces fonctions font partie d'une classe plus generale qui sont les f onctions holomorphes q uenou sa llonscom mencerpa rd enir.

Nous verrons enn comment cette theorie permet de

c alculerd esin tegrales qu e vous ne savez pas encore calculer.

Remarque:

contrairement aux fonctionsf:RÑR, on ne peut pas facilement tracer2 les

fonctionsf:CÑCcar il faudrait se placer en dimension 4.2.http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/FoncHol/menu.htmlOlivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20213 /45

Introduction

1Rappels sur les nombres complexes, topologie dans le plan complexe

2Fonctions holomorphes

3Series entieres

4Exponentielle complexe et fonctions usuelles associees

5Logarithmes complexes

6Integrale le long d'un chemin

7Theoreme et formule de Cauchy

8Singularites et residus d'une fonction holomorphe

9Calcul d'integrales avec la formule des residus

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20214 /45

1.1. Rappels sur les nombres complexes

3 Representation d'un nombre complexe dans le plan complexe0 xRezyImzzxiyreizxiyreiargzmod2|z|rxiyr eirax 2y2 cosx? x 2y2 siny? x

2y2xrcos

yrsin

Representation cartesienne

Representation trigonometrique

3. R evoirle co ursde 1 erea nneesu rles no mbresc omplexesa ub esoin. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20215 /45

1.2. Topologie dans le plan complexe

Denition 1 (Disques, ouverts, fermes, bornes, compacts)

Dpa;rq tzPC:|za| ruest led isqueou vert

de centreaPCet de rayonr¡0.a r

Dpa;rqa

de centreaPCet de rayonr¡0.Un sous-ensemble

€Cestou vertsi :

@aP ,Dr¡0tel queDpa;rq €

Un sous-ensembleF€Cestfe rmes ison

complementaireF

CCzF tzPC:zRFuest ouvert.Un sous-ensembleA€Cestb ornes i: DR¡0tel queA€Dp0;RqUn sous-ensemble non videK€Cestcom pacts iKest fermeet borne.

Il vous sura de comprendre au sens intuitif suivant : un ensemble ferme possede

toute sa frontiere et un ensemble ouvert ne possede aucun point de sa frontiere.AfermeAouvertAni ferme, ni ouvertOlivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20216 /45

exoRepresenter les ensembles et prouver les proprietes1Dpa;rqest un ouvert borne.2Dpa;rqest ferme et borne (donc compact).3HetCsont a la fois ouverts et fermes.4tzPC: Impzq ¡0uest un ouvert non borne.5tzPC: Impzq ¥0uest un ferme non borne.6treiPC:12

2. Fonctions holomorphes

Denition 2 (Fonctions holomorphes)

Soitf:CÑCetaPC. On dit quefesth olomorphee nasi : festC-derivable enaô fpahq fpaq hophq fadmet un DL a l'ordre 1 enaô lim zÑafpzq fpaqza existe dansC et vautDans ce cas on notef1paq. Si est un ouvert deC, on dit quefest holomorphe sur sifest holomorphe en tous lesaP , on notefPHp q.Exemples (a traiter en exoet en TD)Tout polyn^omefpzq N¸ n0a nznest holomorphe surC.afpzq 1z

est holomorphe surCzt0u.fpzq zn'est holomorphe nulle part.a.Un ef onctionh olomorphes urCtout entier est appelee fonction entiere.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20218 /45

3. Series entieres

On a vu que les polyn^omes etaient holomorphes. Il existe une classe de fonctions fondamentale qui generalise les polyn^omes et dont on verra qu'elles sont holomorphes : les series entieres.Denition 3 (Serie entiere) Pour toute suitepanqnPNde nombres complexes, on denit las erieen tiere associeefpzq 8¸ n0a nzn.Remarques: Sipanqest nulle a partir d'un certain rang (s'il existeNtel quean0pour

tousn¥N1) alorsfpzqest un polyn^ome (de degreN).z0est toujours dans l'ensemble de denition defcarfp0q a0mais0

peut dans certains cas ^etre le seulztel que la serie entiere converge.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-20219 /45

3.1. Lemme d'Abel

5, rayon de convergenceTheoreme 2 (Lemme d'Abel)

Soitfpzq 8¸

n0a nznune serie entiere associee apanq. Alors il existe un nombre

R(ouRfouRa)P r0;8sappelera yond econ vergencec aracterisepa r: si|z| Ralors la serie converge absolument :¸|anzn|converge;si|z| ¡Ralors|anzn|est non-borne et¸|anzn|diverge grossierement.SiDfest l'ensemble de denition defpzq °anzn

on a donc :Dp0;Rqlooomooon

Disque de convergence

(Disque ouvert)€Df€Dp0;Rqlooomooon

Disque ferme?

?0

RCV absolue

DV RR

Sur le

b ord d eDp0;Rq, tout peut arriver et l'etude peut ^etre tres delicate.

44.Le com portementd e

°anznsur le bord du disque de convergence ne sera pas aborde ici.5.Ni elsHen rikA bel(18 02{1829)m athematicienn orvegien;so nn omest d onne aun p rixq ui

correspond au prix nobel de mathematiques. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202110 /45

3.2. Calcul du rayon de convergence

Pour determiner le rayon de convergence, on peut utiliser la denition/Lemme d'Abel ou les criteres de d'Alembert

6et de Cauchy7que nous rappelons (revoir le cours de 2A).Theoreme 3

(Critere de d'Alembert) SilimnÑ8 an1a nP r0;8salorsR1 (Critere de Cauchy) SilimnÑ8|an|1{nP r0;8salorsR1 .Remarques:

"Si les limites n'existent pas, on ne peut pas utiliser ces criteres.Dans chacun des cas, si0alorsR 8et si 8alorsR0.Rappel : pour tout reela¡0etzPC, on denitaz:ezlna8

exoLa serie geometrique°zna un rayonR1et@|z| 1,8¸ n0zn11z

Calculer le rayon de convergence de

¸p2 p1qnqzn,¸znn!,¸nnzn,¸5nn

3zn.6.J eanLe Ron dd'A lembert(17 17{1783)est u nm athematicien,ph ysicien,ph ilosophee t

encyclopediste francais. Son critere est un des plus utilises.7.A ugustinLo uisC auchy( 1789{1857),p rofesseur al'

Ecole polytechnique, un des plus

proliques mathematiciens francais de l'histoire, contributions majeures en analyse complexe.8.La f onctionex ponentiellecom plexes erad eniep age14.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202111 /45

3.3. Une serie entiere est holomorphe dans le disque de CV

Theoreme 4 (Holomorphie des series entieres)

Soitfpzq °anznunes erieen tiered er ayond econ vergenceR.1fpzqesth olomorphed ansDp0;Rqet @zPDp0;Rq,f1pzq 8¸ n1na nzn18¸ n0pn1qan1zn.2f

1pzqest encore une serie entiere°pn1qan1znde m^emerayon de

convergenceR.3fest donc indenement derivable (C8) surDp0;Rq: @kPN,@zPDp0;Rq,fpkqpzq 8¸ nknpn1qpnk1qanznk 8¸ n0pnkqpnk1qpn1qankzn.Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202112 /45

Remarques

Ce resultat signie que, a l'interieur du disque de convergenceDp0;Rq,tou tse passe comme pour un polyn^ome : 1la fonction est tres reguliere : elle estC8et m^eme mieux, on dit qu'elle est analytique .En pa rticulier,fpzqadmet und eveloppementl imitee n0 atou t ordre fpzq N¸ n0a nzn8¸ nN1a nzn looooomooooon opzNq2On derive (ou on integre) une serie entiere mon^ome par mon^ome. Cela a des applications importantes en i nformatique/calculfo rmel ,pu isque,p ourd eriver une fonction qui s'ecrit comme une serie entiere, il sut de calculer la serie derivee a l'aide de l'operationanÑ pn1qan1(decalage d'un rang et multiplication parpn1q) ce qui est beaucoup plus simple que de calculer des limites de taux de variations. Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202113 /45

4.1. Exponentielle complexe

Denition 4 (Exponentielle complexe)

exppzq ez:8¸ n0z nn!,@zPC,R 8(cf. page 11),expPHpCq.Theoreme 5 (Proprietes de l'exponentielle)

·(expest sa propre derivee)@zPC,exp1zexpz.

¸(Exponentielle reelle et logarithme neperien) La restriction aRdeexpest la fonction exponentielle que vous connaissez : elle realise une bijection deRsur s0;8r. Sa fonction reciproque, appeleel ogarithmen eperienet n oteelnx,

est denie surs0;8r, a valeurs dansR.On a maintenant une denition rigoureuse deexpsurCtout entier9uniquement

a partir de sommes et de produits , et du logarithme neperien

10surR. La

denition du logarithme complexe demande un peu plus de travail, cf. page 18.9.q uisa tisfaitles p roprietesde expsurRavec lesquelles elle a ete denie au lycee.10.p rovientd um athematicien ecossaisJ ohnNap ier(1 550{1617),fr anciseen Jea nNep er.

Olivier Ley (INSA Rennes)Chapitre 3 : Analyse complexe2020-202114 /45

4.2. Fonctions usuellescos,sin,cosh,sinhDenition 5

cosz:eizeiz2 8¸ n0p1qnz2np2nq!1z22! z44! sinz:eizeiz2i8¸ n0p1qnz2n1p2n1q!zz33!quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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