[PDF] Intégrale de Riemann f(x)g(x)dx. ?.

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:3.4Intégrales semi-convergentes62

3.75T HÉORÈME(RÈGLED'ABEL)

Soientf,gdesfonctionslocalement intégrablessur[a,b[tellesque:

1)festdécroissante àvaleurspositivessur[a,b[aveclim

x!b f(x)=0;

2)ilexisteun réelC>0telque :

8x2[a,b[,

Z x a g(t)dt C

Alors,l'intégrale généralisée

Z b a f(x)g(x)dxestconvergente. Démonstration:Lasecondeformule delamoyenne nouspermetd' écrirepour [X,Y]⇢ [a,b[: Z Y X f(t)g(t)dt=f(X) Z Z X g(t)dt pouruncertain Z2[X,Y].Comme festpositiveet lim x!b f(x)=0,pourtout réele>0, ilexistec2[a,b[telquepour toutx2[c,b[

0f(x)e.

Alorspourc Z Y X f(t)g(t)dt e Z Z X g(t)dt avec: Z Z X g(t)dt Z Z a g(t)dt Z X a g(t)dt 2C.

Ona donc

Z Y X f(t)g(t)dt 2CepourcCauchy,laconvergence de

Z b a f(x)g(x)dx.

3.77E XEMPLE.Montronsquesif:R

!R estunefonction localementintégrable,dé- croissanteettelleque lim x!+• f(x)=0,alors,pour toutréellnonnul, l'intégrale Z 0 f(t)sin(lt)dtet Z 0 f(t)cos(lt)dtsontconver gentes.

Eneffet, pourtoutréelx>0,on a:

Z x 0 sin(lt)dt 1 |l| |1cos(lx)| 2 |l| Z x 0 cos(lt)dt 1 |l| |sin(lt)| 1 |l| Lafonctionfétantdécroissante etàvaleursdansR ,ondéduit delaRègle d'Abelque lesintégrales Z 0 f(t)sin(lt)dtet Z 0 f(t)cos(lt)dtsontconver gentespourtoutréel l6=0. Parexemple,les intégralesgénéralisées, Z 0 sin(t) 1+t 2 dt, Z 0 cos(2t) 1+e t dtsontconver- gentes.

3.78Exercice Montrerquesif:R

!R estune fonctionlocalementintégrable, décrois- santeettelle quelim x!+• f(x)=0alors Z 0 f(t)sin(t)dtconvergeabsolumentsiet seulementsi Z 0 f(t)dtconverge. :Fonctionsdéfinies pardesintégrales-Intégrales dépendantd'unparamètr e63

4Fonctionsdéfinies pardesintégrales-Intégrales

dépendantd'unparamètre

4.1Suitesde fonctions.Théorèmede laconvergencedominée

Onvaconsidér er,le problèmed'intervertiondelimiteetintégralegénéralisé ; lim n!+• Z b a f n Z b a lim n!+• f n lethéorèmede conver gencedominéedonne uneconditionsuffisantepourréaliserune telleinterversion. Onrappelle toutd'abordlesnotions deconvergence simpleetdeconvergenceuni- formesurun sous-ensembleAdeRd'unesuitede fonctions.

4.1D ÉFINITION

Soientfet(f

n )n2N,desfonctions définiessurAàvaleursdans R(ou C).

1)Onditque lasuite(f

n n2N convergesimplementvers fsurAsi: pourtoutx2A,lasuite (f n (x)) n2N convergeversf(x),c'està dire

8x2A,8#>0,9N(#,x)2Ntelque,|f

n (x)f(x)|#,pourtout nN.

2)Onditque lasuite(f

n n2N convergeuniformémentvers fsurAsi:

8#>0,9N(#)2Ntelque,|f

n (x)f(x)|#,pourtout nNet8x2A quis'écritaussi lim n!+• sup x2A |f n (x)f(x)|=0.

4.2REMARQUE

Ilestclair quelaconver genceuniformede (f

n )n2NversfsurAimpliquelaconver - gencesimplede (f n n2N versfsurA.Larécipr oqueest engénéralefausse.

Soit,pourtout n2N,lafonction f

n :[0,1 ]!Rdéfinieparf n (x)=x n .Cettesuite (f n )convergesimplementversla fonctionf n :[0,1 ]!Rdéfiniepar f(x)=

0six2[0,1[

1six=1

Laconver gencen'estpasuniforme,enef fet,pourtout n2N ,f n (1 1 n )=(1 1 n n etf(1 1 n )=0,d'où lim n!+• sup x2[0,1 ] |f n (x)f(x)|lim n!+• |f n (1 1 n )f(1 1 n )|=lim n!+• (1 1 n n =e 1 >0 cequi impliquequela convergencede (f n )versfn'estpasuniforme sur[0,1].

4.3E XEMPLE.Laconvergenceuniformen'estpassuffisantepourl'interversionlimite-intégrale.

Soit,pourtout n2N

,lafonction f n :R !R définiepar f n (x)= 1 n six2[0,n[

0si xn.

Nousavons |f

n (x)| 1 n ,parconséquent lasuite(f n )convergeuniformémentversla fonctionidentiquementnulle. Mais lim n!+• Z 0 f n (x)dx=lim n!+• Z n 0 1 n dx=16=0= Z 0 0dx. :4.1Suites defonctions.Théorème delaconver gencedominée64

4.1.1Théorèmede convergencedominée

Lethéorèmesuivant donneunecondition suffisantepour intervertiondelimite et intégrale,sadémonstration esthorspr ogramme,seradonc admise.

4.4THÉORÈME(THÉORÈMEDECONVERGENCE DOMINÉ E)

SoientI=[a,b[unintervallede R,(f

n n2N unesuite defonctionsde Iàvaleurs dans

R,localementintégrables surI,vérifiant :

1)(f n n2N convergesimplementversune fonctionf,localementintégrable surI.

2)Supposonsquel'hypothèse suivante,dite dedomination,est satisfaite:

ilexisteune fonctiong:I!R localementintégrablesur I,telle que Z b a g(x)dx convergeet8n2N,8x2I,|f n (x)|g(x). Alors Z b a f(x)dxconvergeabsolumentet lim n!+• Z b a f n (x)dx= Z b a lim n!+• f n (x)dx= Z b a f(x)dx.

4.5Exercice Montrerquelessuitessuivantes convergeset déterminerleurlimite.

1) Zp 2 0 sin n xdx, 2) Z 0 1 (ln(1+x)) n +e x dx,

Réponses

1)Nousavons

8x2[0,

p 2 [,lim n!+• sin n x=0 parconséquentla suiteconverge simplementversf(x)=

0six2[0,

p 2

1si x=1

Deplus8n2N,8x2[0,

p 2 ],|sin n x|1etl'application constanteestintégrable surunsegment. Enutilisant,le théorèmedeconver gencedominée,on obtient lim n!+• Zp 2 0 sin n xdx= Zp 2 0 lim n!+• x n dx= Zp 2 0 1 {0} dx=0.

2)Nousavons8x2R

lim n!+• 1 (ln(1+x)) n +e x 8 e x six2[0,e1[ 1+e x six=e1

0six=1

Deplus

8n2N,8x2R

,0 1 (ln(1+x)) n +e x e x cettedernière fonctionestintégrablesurR Enutilisantle théorèmede convergencedominée, onobtient lim n!+• Z 0 dx (ln(1+x)) n +e x Z e1 0 e x dx=1e 1e :4.2Intégrales dépendantd'unparamètr e65

4.6Exercice Soitf:[0,1]!Runeapplicationstrictement croissantetelle quef(0)=0et

f(1)=1.Calculer lim n!• Z 1 0 (f(x)) n dx. Réponse:Nousavons8x2[0,1[,0f(x)<1d'où lim n!+• (f(x)) n =0.Parconsé- quentlasuite convergesimplement versf(x)=

0six2[0,1 [

1six=1

Deplus8n2N,8x2[0,1],|(f(x))

n |=|f(x)| nquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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