[PDF] TERMINALE ES Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien

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Chapitre 6 :

Fonction logarithme népérien

1 Définition

Soit f la fonction définie sur I = ]0 ;+∞[ par f(x) = 1 x . Elle est continue sur I et admet des primitives sur I. Parmi celles-ci, la primitive sur I qui s'annule en x = 1 est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln. On écrit, pour tout x réel strictement positif, ln x ou ln (x)

2 Conséquences

• ln 1 = 0 • la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et on en a ln'(x) = 1 x • Or pour x > 0, 1 x > 0 ce qui signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

Tableau de variation

3 Propriétés

Quels que soient les réels x et y strictement positifs, ln x = ln y ? x = y ln x > ln y ? x > y ln x < ln y ? x < y Et par conséquent, puisque ln 1 = 0, pour tout x > 0 ln x = 0 ? x = 1 ln x > 0 ? x > 1 ln x < 0 ? 0 < x < 1 Quels que soient les fonctions u et v strictement positives, ln (u(x)) = ln (v(x)) ? u(x) = v(x) ln (u(x)) > ln (v(x)) ? u(x) > v(x) ln (u(x)) < ln (v(x)) ? u(x) < v(x) x f ' f(x) 0

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Chapitre 6 :

Fonction logarithme népérien

4 Propriété fondamentale

Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (ab) = ln a + ln b

Dé monstration :

Soit a un réel fixé et soit f la fonction définie sur I par f(x) = ln(ax) - ln(x).

Pour x > 0, on a f '(x) =

a ax - 1 x = 1 x - 1 x = 0 donc f est constante sur I De plus f(1) = ln(a) - ln(1) = ln(a) donc pour x > 0, f(x) = ln(ax) - ln(x) = ln(a) d'où ln(ax) = ln(x) - ln(a) Conséquences de la propriété fondamentale Pour tous réels a et b strictement positifs, ln  1 a = - ln a ln  a b = ln a - ln b

Démonstration :

Pour a > 0, a × 1

a = 1 donc ln(a × 1 a )= ln(1) soit ln a + ln  1 a = 0 d'où ln  1 a = - ln a

Pour a > 0 et b > 0 , ln

a b = ln ( a × 1 b ) = ln a + ln  1 b = ln a - ln b Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n, ln (an) = n × ln (a)

Pour tout réel a > 0, ln (a) = 1

2

× ln (a)

Démonstration :

pour a > 0, a² = a donc ln (a²) = ln (a) soit 2 × ln (a) = ln (a) et donc ln (a) = 1 2

× ln (a)

5 la fonction logarithme népérien : ln

Limites : limx→+ oo ln (x) = +∞ et limx→0 ln (x) = - ∞

Variations :

Courbe représentative

x f ' f(x) 0

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Chapitre 6 :

Fonction logarithme népérien

6 Le nombre e et l'équation ln x = m

Propriété :

Pour tout réel m, l'équation ln x = m admet une unique solution dans I.

Il existe un unique réel strictement positif; noté "e » et appelé "base du logarithme népérien",

tel que ln e = 1

Remarque :

• Une valeur approchée de e est 2,718 • Le point M'(e;1) est le seul point de la courbe représentative du graphe du logarithme népérien où la tangente passe par 1'origine (son équation est y = x e

Pour tout réel m, on note em (que l`on lit " e exposant m » ou " exponentielle m » l'unique

solution de l`équation ln x = m. On a donc : l'équation ln x = m a pour solution x = em Pour tout réel x, on a donc l`éga1ité suivante : ln(ex) = x

7 Limites importantes à savoir

8 Fonction ln(u)

Propriété

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f = ln (u) est dérivable sur R et on a : f '(x) = [ln(u)]' = u' u

Démonstration :

(ln O u)'(x) = (ln'(u(x))×u'(x) = 1 u(x)

× u'(x) = u'(x)

u(x)

Exemple:

f(x) = ln (x²+ 5) définie sur R et dérivable sur R, f '(x) = 2x x² + 5

Primitive :

Soit I un intervalle et u une fonction dérivable sur I et à valeurs strictement positive sur I,

alors une primitive de u' u est ln uquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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