Sommaire 1. Intégration dune fonction continue sur [a b]
0. Figure 1 – L'intégrale simple d'une fonction positive est l'aire hachurée en n parties égales. Les bornes de ces parties sont donc a + k.
2.2 Quelques propriétés des intégrales définies
(Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a b]. R est intégrable sur f(x)dx=0. 2. La relation de Chasles: ?c?[a
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
f c'est-`a-dire une fonction F dont la dérivée est égale `a f ; on a alors ? Supposons que l'on veuille calculer l'intégrale ? ?. 0.
Chapitre 7 : Intégrales généralisées
0 ln xdx. ? ?. ?? sin x x On parlera d'intégrale généralisée ou bien ... De plus toutes limites seront égales (disons `a ? ? R) car pour.
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 converge ssi x > 0. C'est la fameuse fonction Gamma. Exercice 22 : Nature de l'intégrale ?. +?. 0.
Annexe A: dérivées et intégrales : un bref survol LA DÉRIVÉE
Annexe A: dérivées et intégrales : un bref survol pourrait arriver que l'aire ainsi calculée soit égale à 0 même si on voit une aire: il suffit que la ...
Espérance
et aussi comme la fausse intégrale généralisée. . 0. 1 F t dt. 2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est toujours une
INTEGRATION (Partie 1)
Dans le repère (O I
TD 2 Limites dintégrales
23 sept. 2016 0 ! . Elle converge simplement sur R vers la fonction exponentielle. 1.2. Passage à la limite dans les intégrales.
Baccalauréat S 2010 Lintégrale davril 2010 à mars 2011
16 sept. 2010 tant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 099. EXERCICE 3. 5 points. Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de ...
Théorème2.5.(Intégrale définie)Onsu pposequelafonctionré ellef:[a,b]Restinté grablesur
0Note2.8.Dansl'exp ression
a b f(x)dx,aetbsontlesbo rnesd'intég ration,xestlav ariabl ed'inté-gration;c'estunevariab lemuette.Ellepe utdoncêt reremplacéepartoute autrevaria ble,àl'exception
dece llesdesbornesd'int égratione tbiensûrdelavaria bleutiliséepournomméelafonc tion.Ainsi,si f:
[a,b]Restinté grablesur[a,b],onaleségalitéssuivantes: a b f(x)dx= a b f(t)dt= a b f(u)du= a b f(v)dv= a b f(y)dy.2.2Que lquespropriétésdesintégral esdéfinies
Onsu pposedanslalistedespr opriétésci- dessou sque[a,b]estunin terval lefermébornédeR,fetg
sontdesfon ctions intégrablessur[a,b].1.Qu andlesbornesd 'intégratio nsontconfondues:
a a f(x)dx=02.La relat iondeChasles:
?c?[a,b], a c f(x)dx+ c b f(x)dx= a b f(x)dx3.Qu andonpermutele sbor nesd'intégration:
b a f(x)dx=- a b f(x)dx4.La linéa rité:
i. a b (f+g)(x)dx= a b f(x)dx+ a b g(x)dx ii. ?λ?R, a b (λf)(x)dx=λ a b f(x)dx5.Qu andlegraphed'u nedesf onctionsesttou joursaudessusdel' autre:
Sif?gsur[a,b],alors
a b f(x)dx? a b g(x)dx2.2Quel quespropriétésdesintég ralesdéfinies11
6.Com paraisondelavaleurabsoluedel'i ntégra leetde l'intégraledelavaleura bsolue :
a b f(x)dx a b |f(x)|dx2.3Pri mitives:calculd'intégralesdéfinies
Souvent,danslapratique,cal culerun eintég raledéfinieseramènerapournous,àch ercheruneprim itive
pourlafon ctionà intégrer. Définition2.9.Soitf:[a,b]Runefonc tionréelle.Onappellepri mitivedef,toutefonctiondéri- vableFdéfiniesur[a,b]etvér ifiantF =f.Exemple2.10.
•Surl' intervalle[-2,3],lafonctionFdéfinieparF(x)=-cos(x)estunep rimitive delafonction fdéfiniesur[-2,3]parf(x)=sin(x). •SurR,lafonctionx- 1 2 x 2 estune primitive def:x-x;lafonctionx- 1 2 x 2 +7enes t uneaut re. Théorème2.11.Sil afoncti onf:[a,b]Radmetunepri mitiveF,alorslesprimitivesdefsont touteslesfoncti onsGdela formeG=F+λpourλparcourantR. Corollaire2.12.Soientf:[a,b]Runefonc tionréellesupposéeadmett reuneprimitiveF,x 0 ?[a,b] ety 0 0 enx 0 Exemple2.13.Soitf:[-2,2]Rdéfinieparf(x)=-x.fadmetuneuniqu eprimitiv eF,prenant lava leur3en1.PourdéterminerF,onécritquetouteprimitivedefestdel aforme F(x)=- 1 2 x 2oùλestunec onstanter éelle.LaconditionF(1)=3fixelava leurde laconstanteλ.F(1)=3siet seule-
mentsiλ= 7 2 .Conclusion:F(x)= 1 2 (-x 2 +7). Note2.14. Uneprim itive(quellequ'ellesoit)de f:[a,b]Restauss iappeléeintégral eindéfiniedef etest notée f(x)dx(noterl'absence debornes). Remarque2.15.(conséque ncedelalinéari tédeladérivation)1.Po urdeuxfoncti onsf,g:[a,b]R,siFetGsontdesprimi tivesr espectivesdefetg,alorsla
somme(F+G)estunep rimitived e(f+g).2.Si festunep rimitived ef,alorspourtoutréelλ,(λF)estunep rimitive de(λf).
Théorème2.16.(théorème delamoyenne)Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur [a,b].Ilexisteunpointc?[a,b]telquef(c)= 1 b-a a b f(x)dx. (Lenom breréel 1 b-a a b f(x)dxestlamoy enne delafonctionfsurl'in tervalle[a,b]). Enut ilisantlethéorèmedelamoyen neonpe utprouverlethéorèmefonda mentalsuivant: Théorème2.17.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].Etantdonnéunpointx 0 x 0 x f(t)dtestunep rimitivede f.Cetteprimitive s'annuleenx 0 Danslaprat ique,c 'estlecorollairesuivantque l'onappliquep ourcalculer l'intégraledéfinied'une fonctiondontonconna îtuneprimitiv e. Théorème2.18.Soitf:[a,b]Runefonc tionréellecontinuesur[a,b].SiFestunep rimitived ef, alorsona a b f(x)dx=F(b)-F(a).12Intégration:fonctionréelled'unevari ableréelle.
2.4Tech niquesd'intégration
Danscepara graphe ,ondécritlestechniquesdebaseàmaî triserpou rmeneràbienl ecalculd'unein té-
graledéfinie.2.4.1Primiti vesdefonctionsusuelles
Lali stedeprimitives defonc tionsusuellesàconnaître: Primitivesdequelquesfonctionsusu ell es(λestunec onstanterée lle)1)pou rα?R,α-1,ona
x dx= xα+1
α+1
2) 1 x dx=ln|x|+λ3)p ourα?R,α0,ona
e αx dx= 1 e αx4)p ourunréelastrictementpositifetdifférentde1,
a x dx= a x ln(a) 5) sin(x)dx=-cos(x)+λ 6) cos(x)dx=sin(x)+λ2.4.2Techni qued'intégrationparparties
Late chniqued'intégrationparpar tiesestfondéesurlaformulededér ivatio nd'unproduitdefonctions
dérivables: (u×v) =u×v+u×v
Théorème2.19.Soientuetvdeuxfoncti onsréellescontinûmentdériv ables(i.e.desfonctionsdériva-
blesetdo ntlesd érivéessontc ontinues)s urunintervalleI.Alorslafoncti onréel leproduitu
×vadmetuneprimi tivesurIeton a:
1. (u×v)(x)dx=(u×v)(x)-
(u×v )(x)dx2.si aetbsontdeuxpo intsdeI,
a b (u×v)(x)dx=[(u×v)(x)]
a b a b (u×v )(x)dx (danscetteformu le,[(u×v)(x)] a b désigne(u(b)×v(b)-u(a)×v(a))Exemple2.20.
1.Cal culeruneprimitivedel afonctionf:RRdéfinieparf(x)=xe
αx oùαestunno mbrer éel nonnul .Solution:
a)O nposeu (x)=e αx etv(x)=x,cequidonneparexempleu(x)= 1 e αx enu tilisantlesfor- mulesdesprimi tivesdesf onctionsusuelles.Onav (x)=1. b)En utilis antlea)etlatechniqued'intég ratio nparpar ties,onob tient: xe αx dx= 1 xe αx 1× 1 e αx dx.Onen dédui t
xe αx dx= 1 xe αx 1 2 e αx +λ,oùλestuneco nstanterée llequelconque. 2. Calculeruneprimitived elafoncti onf:]0,+∞[R,f(x)=ln(x).Solution:onposeu
(x)=1,v(x)=ln(x),d'oùu(x)=x,v (x)= 1 x etal ors ln(x)dx=xln(x)- x× 1 x dx=xln(x)- dx,cequidonne ln(x)dx=xln(x)-x+λoùλestune constanter éellequelconque.2.4Techn iquesd'intégration13
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