[PDF] Recueil dExamens (1997 - 2009) Analyse Numérique

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Niveau : Formation Ingénieur

B.P. 37 - 1002 Le Belvédère Tunis - Tunisie

Tél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn E.N.I.T.Unit e P edagogiq e de Math ematiq es A liq ees

Examen-Analyse Num´eriqueDa e : 11 mars 1998

Enseignan s :H. BOUHAFA { H. CHA R { H. L F IHDur´ee :1 30

Classe :1`ere a ee GC - GE - GI - GMDoc ments non a toris esExercice: Soit : [a,b]→[a,b] (a,b?R) une fonction de classeC1telle queMmaxx2[a;b]| ?(x)| 1.

1-On consid`ere la suite (xn)n0d´efinie par :

x

0?[a,b], xn+1= (xn), n≥0

Montrer que la suite (xn)n0converge vers l"unique point fixede .

2-Montrer que pour toutn?N, il existe ntel que

e n+1= ( ?() + n)enavec limn!+ n= 0 o`uen=xn-.

3-On consid`ere la suite (yn)n0d´efinie par :

y n=xn-(xn+1-xn)2x n+2-2xn+1+xn, n≥0

Montrer que lim

n!+ y n-x n-= 0

4-Comparer la vitesse de convergence des deux suites (xn)n0et (yn)n0.Probleme: On consid`ere la formule de quadrature de Gauss-Legendre `ak+ 1 points,k≥0, donn´ee par :

(1) Z 1

1f(x)dx=kX

i=0 if(xi) +E(f) o`u nous avons d´esign´e par : E(f) le terme d"erreur (on ne s"int´eresse pas ici `a l"´etude deE(f));

On rappelle quex0,:::,xksont lesk+1 racines du (k+2)-i`eme polyn ome orthogonal de LegendreQk+1? Pk+1

(qui est unitaire) associ´e `a la fonction poidsw1 sur l"intervalle [-1,1]. Le but de ce probl`eme est de calculer les (k+ 1) nudsx0,:::,xkainsi que lesk+ 1 poids0,:::,kde la formule de quadrature de Gauss-Legendre donn´ee par (1).

Le probl`eme est divis´e en trois parties. La premi`ere est une ´etape pr´eliminaire, la deuxi`eme concerne le

calcul des nudsxiet la derni`ere porte sur le calcul des poidsi. Partie I: Soientr0 r1 ··· rm, (m+ 1) r´eels,m >0, etP? Pm+1le polyn ome d´efini par

P(x) = (x-r0) (x-r1)···(x-rm).

On consid`ere la m´ethode de e ton appliqu´ee `a la r´esolution de l"´equationP(x) = 0. On rappelle que cette

m´ethode g´en`ere la suite d´efinie par : t

0donn´e, t`+1=t`-P(t`)P

?(t`), `≥0 n s ppose et0> rm. I.1-Montrer que8`,t`> rmet que la suite (t`)`0est d´ecroissante. I.2-En d´eduire que la suite (t`)`0est convergente et que lim`!+ t`=rm.

Partie II: On consid`ere le (k+ 2)-i`eme polyn ome orthogonal (de Legendre)Qk+1associ´e `a la fonction poids

w1 sur l"intervalle [-1,1], et ses (k+ 1) racines not´eesx0 x1 ::: xk.

II.1-Montrer que la m´ethode de e ton appliqu´ee `aQk+1, avec une initialisationt0> xk, g´en`ere une suite

(t`)`0qui converge versxk. de calculerxj 1. On consid`ere le polyn omeRj? Pjd´efini par :Rj(x) =Qk+1(x)/Qk i=j(x-xi)

Montrer que la m´ethode de e ton appliqu´ee au polyn omeRj, avec une initialisationt0=xj, g´en`ere une

suite (t`)`0qui converge versxj 1. II.3-En d´eduire un algorithme qui permet de calculer les (k+ 1) racinesx0,x1,:::,xkdeQk+1.

Partie III: On s"int´eresse dans cette partie au calcul des poidsiintervenant dans la formule de Gauss-Legendre

donn´ee par (1). Rappelons que cette formule est de degr´e 2k+ 1. Montrer que les poidsi, = 0,:::,k, sont donn´es par i=1Q ?k+1(xi)Z 1 1Q k+1(x)x-xidx 2 E.N.I.T.Unit´e P´edagogique de Math´ematiques Appliqu´ees

Examen-Analyse Num´eriqueDate : 17 mars 1999

Enseignants:H. CHA R { H. L F IH { H. RIAHIDur´ee :1h30 Classe :1`ere ann ee GC - GE - GI - GMDocuments non autoris´esExercice 1

1-Etudier les variations de (x) =xexp(x) pourx2Ret montrer que est une bi ection de

[0 +1[ sur lui m eme. Etant donn´ea >0, on notera >0 l"unique solution de (x) =a.

2-SoitNla fonction d´efinie sur [0 +1[ par

N(x) =x (x) a

0(x)

2-aMontrer que, pour toutx0, il existec2I( x) tel que

N(x) =+12

( x)2 00(c) 0(x) o`uI( x) d´esigne l"intervalle ferm´e d"extr´emit´esetx.

2-bEn d´eduire que, pour toutx0, on aN(x).

3- otonsx0un r´eel donn´e et, pour toutk0,xk+1=N(xk).

3-aMontrer que la suite (xk)k0est d´ecroissante, qu"elle converge et calculer sa limite.

3-bMontrer que, pour toutx, on aN(x) ( x)2.

3-cEn d´eduire que, pour toutk0,xk (x0 )2k.

Exercice 2

Soitaet deux r´eels et : [a ]!Rune fonction de classe 3.

On souhaite approcherD2 00(a+b2

) par une expression du type :

2 0 (a) +1 (a+ 2

) +2 ( ) de telle sorte queE( )D2 2 v´erifie : (1)8P2 P2 E(P)D2P 2P= 0 On supposera dans toute la suite que les r´eels0 1et2sont tels que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

1-Montrer que [a a+b2

] =12

2 , o`u [a a+b2

] d´esigne la di´erence divis´ee d"ordre 2 de aux pointsa a+b2

2-SoitPfle polyn ome d"interpolation de Lagrande de aux pointsa a+b2

etr(x) = (x) Pf(x).

2-aMontrer qu"il existec2[a ] tel quer00(c) = 0.

2-bMontrer queE( ) =r00(a+b2

2-cEn d´eduire que

jE( )j a2 sup x2[a;b]j 000(x)j

3-Calculer les r´eels0 1 2en fonction deaet pour que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

E.N.I.T.Unit´e P´edagogique de Math´ematiques Appliqu´ees

Examen-Analyse Num´eriqueDate : avril 2000

Enseignants:H. BOUHAFA{H. CHA R { H. L F IH { H. RIAHIDur´ee :1h30

Classe :1`ere ann ee GC - GE - GI - GMDocuments non autoris´esOn consid`ere le probl`eme de Cauchy pour une ´equation di´erentielle du second ordre

y00(t) = (t y(t)) t2I0=]t0 t0+T[ y(t0) =y0 y0(t0) =z0:(1) o`uy0,z0sont donn´es dansIRetT >0. On suppose que la fonction est de classe 2de I

0IRdansIRet v´erifie la condition de Lipschit :

9L >0 8t2I0 8y z2IRj (t y) (t z)j Ljy zj

et que la solutiony(t) de (1) est de classe 4. Pour r´esoudre le probl`eme (1), on introduit une subdivision uniforme deI0 t n=t0+ h 0 N h=TN on note (yn zn+1=2) une approximation du couple (y(tn) y0(tn+1=2)) o`u on a not´e t n+1=2=t0+ ( +12 )h.

On consid`ere alors le sch´ema explicite

yn+1=yn+hzn+1=2 z n+3=2=zn+1=2+h (tn+1 yn+1) 0 (y0 z1=2) donn´es:(2)

1.Et de de la consistance et de l'ordre

(a) On pose n+1=2=y(tn+1) y(tn) hy0(tn+1=2) 0 En utilisant un d´eveloppement de aylor au pointtn+1=2, montrer que: j"n+1=2j=O(h3) (i.e.9c >0 j"n+1=2j ch3) (b) On pose n=y0(tn+1=2) y0(tn 1=2) h (tn y(tn)) 1: En utilisant un d´eveloppement de aylor au pointtn, montrer que: jnj=O(h3)

2.Et de de la convergence

(a) On pose n=y(tn) yn: n+1=2=y0(tn+1=2) zn+1=2:

Montrer que

jn+1j jnj+hjn+1=2j+j"n+1=2j jn+3=2j jn+1=2j+hLjn+1j+jn+1j: (b) On pose n=jnj+jn+1=2j:

Montrer que, pourhT, on a :

jn+1j (1 + h)jnj+'n o`u = max(L 1 +LT) 'n= (1 +LT)j"n+1=2j+jn+1j: (c) En d´eduire que jnj j0jexp((tn t0)) +exp((tn t0)) 1hmax0kn 1'k: (Indication: on pourra utiliser l"in´egalit´e 1 +k < exp(k)) (d) Choisir alorsz1=2de facon qu"on ait max

0nN 1jnj=O(h2):

2

E.N.I.T.14 illet 2000

Examen - Session de rattrapage

Anal se m

eriq e Enseignants:H. UHAFA{H. CHAKER { H. EL FEKIH { H. RIAHIDur´ee :1 30 Classe :1ere annee GC - G - GI - GMDocume t o autori e Exercice 1 Soitf?C2([-1,1]) etPle polyn ome d"interpolation d" ermite defau point-1 v´erifiant :

P(-1) =f(-1) etP?(-1) =f?(-1)

1-D´eterminer l"expression deP.

2-On consid`ere la formule de quadrature suivante :

Z 1

1f(t)dt=0f(-1) +1f?(-1) +E(f)(1)

2-aD´eterminer0et1pour que la formule (1) soit de degr´e au moins 1.

2-bMontrer qu"il existe?[-1,1] tel queE(f) =4

f??().

Indication : On rappelle que pour toutt [ 1;1], il existet [ 1;1], d´ependant det, tel quef(t) P(t) =

1? (t+ 1)?f??(t)

Exercice 2

1-Soit = (bij) une matrice `anlignes etncolonnes, `a coecients r´eels, v´erifiant :

b sup

1in(nX

j=1b ij) 1

Montrer queI- est inversible et que (I- ) 1est `a coecients positifs ou nuls (Id´esigne la matrice

identit´e).

2-SoitA= (aij) une matrice `anlignes etncolonnes, `a coecients r´eels, v´erifiant :

a a nX j=1a

2-aMontrer queDest inversible. On pose alorsC=D 1A.

2-bCalculer les coecients de la matriceCen fonction de ceux deA.

2-cMontrer queAest inversible et que les coecients de la matriceA 1sont positifs ou nuls.

Exercice 3

On se donne une matriceAr´eelle, sym´etrique d´efinie positive `anlignes etncolonnes, et un vecteur

b?IRn. On consid`ere, pourr >0 donn´e, la suite d"´el´ements deIRnd´efinie par : ?x(o)donn´e dansIRn x (k+1)=x(k)-r(Ax(k)-b) ,k≥0

1-Montrer que si la suite (x(k))k2INconverge vers xalors on aAx=b.

2-Montrer que pourr?]0,2

n[ la suite (x(k))k2INest convergente. (n= max1ini,i?Sp(A).

3-En d´eduire un algorithme de r´esolution du syst`eme lin´eaireAx=b.

E.N.I.T. 2000 2001

Examen{Anal se m eriq eDate : 2 A ril 2001

Enseignants:H CHAKER { H EL FEKIH { M AOUADuree :1 30 Cla e :1ere ann´ee GC { GE { GI { GMD cumen s n n au ris´esExercice 1 SoitA2 Mn(R) une matrice metrique et1;:::;n e valeur propre (comptee avec leur or re e multiplicite) veriant : j1j jn 2j1.Montrer que un= 0.

2.Montrer que u = u , 1i 1, ouu e t un vecteur propre eA

a ocie , 1i 1.

3.En e uire une metho e qui permet e calculern 1.

Exercice 2

SoitA2 Mn(R) et 2 Mm(R) eux matrice inver ible a mettant chacune une actori ation "L " : A=LA A;LA2 Mn(R) triangulaire in erieure a iagonale unite

A2 Mn(R) triangulaire uperieure

=L ;L 2 Mm(R) triangulaire in erieure a iagonale unite

2 Mm(R) triangulaire uperieure

SoitM2 Mn+m(R) enie (par bloc ) comme uit :

M=`AO O

1.Montrer queMe t inver ible.

2.Montrer queMa met une actori ationL unique.

3.Propo er alor une metho e pour re ou re le teme lineaireMx=b, ou

b2Rn+met onner le nombre 'operation elementaire .

Exercice 3

SoitA2 Mn(R) une matrice inver ible etb2Rn. n con i ere le teme lineaire (1)Ax=b ont on notera x a olution.

1.Montrer que la matriceA Ae t metrique enie po itive.

2.Pour re ou re le teme (1), on con i ere la metho e u gra ient a pa

con tant appliquee au temeA Ax=A b: (2) aex(0)2Rn x (k+1)=x(k) rg(k); k0 our2R+etg(k)=A Ax(k) A b.

2.aMontrer que la metho e u gra ient a pa con tant (2) e t convergente, i

et eulement i 0< r <2kAk22, oukk2 e igne la norme matricielle ubor onnee a la norme vectoriellekk2. Quelle e t an ce ca la limite e la uite (x(k))k0 enie par (2) ?

2.bSoit" >0, montrer que

kg(k)k2kA bk2"=)kx(k) xk2kxk2"[con 2(A)]2 ou con

2(A) =kAk2kA 1k2et x e igne la olution e (1).

2.cEcrire l'algorithme e la metho e u gra ient a pa con tant appliquee au

temeA Ax=A b. 2

E.N.I.T.2000 2001

Examen-Anal se m eriq eDate : 1 an ier 2001

Enseignant(s):H. EL FEKIHDur´ee :1 30

Classe :1ere annee INFO & T L CDocume t o autori e Exercice 1 Soitx1,x2,:::,xn,npoints distincts de [a,b] R, etVla matrice : V=( (1x1x21···xn 111x2x22···xn 12.........···...

1xnx2n···xn 1n)

C

CCCCC)

1-Montrer, en utilisant l"interpolation de Lagrange, queVest inversible.

2{Soit 1,···, nles polyn omes de Lagrange aux pointsx1,:::,xn. On pose, pourj= 1,:::,n,

j(x) =nX i=1u ijxi 1. Montrer queV 1=U, o`uU= (uij)1i;jn.

Exercice 2

On consid`ere l"´equation diff´erentielle :

(E)?y?=f(x,y), x?[a,b] y(a) =Y0

o`ufest une fonction de [a,b]×R-→RLipschitzienne par rapport `a y et de classeC . On noteraYla solution

exacte de (E). Pour approcher l"´equation diff´erentielle (E), on propose le sch´ema num´erique suivant :

(S)8 :y

0=Y0, h=b-aN

y n+1=yn+hf(xn,yn) +h2f(1)(xn+h,yn+hf(xn,yn)), n≥0

o`u,etsont des r´eels≥0, etxn,n= 0,···,N, (N+ 1) points ´equidistants de [a,b]. On rappelle quef(k)

est donn´ee par : f (k)(x,y) =@f(k 1)(x,y)@x +f(x,y)@f(k 1)(x,y)@y , k≥1,avecf(0)=f

1-Montrer que si la fonctionf(1)est lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable, alors le sch´ema (S) est

stable.

2-A quelle condition le sch´ema (S) est-il consistant ?

3-D´eterminer,etpour que le sch´ema (S) soit d"ordre (au moins) 3.

4-En d´eduire, que pour ce choix de,et, le sch´ema (S) est convergent. Donner alors une estimation de

l"erreur maxn|yn-Y(xn)|en fonction deh.

Exercice

On se donne deux points distincts1et2dans l"intervalle [-1,1], et deux nombres r´eels non nulsω1etω2. Soit

la formule de quadrature suivante : Z 1

1f(t)dt=ω1f(1) +ω2f(2) +E(f)

o`uE(f) est le terme d"erreur.

1-Quelle condition doivent v´erifierω1etω2pour que cette formule soit exacte pour les fonctions constantes ?

2-Montrer qu"une condition n´ecessaire et susante pour que la formule soit exacte pour les polyn omes impairs

de degr´e inf´erieur ou ´egal 3 est que1=-2etω1=ω2.

3-En d´eduire les valeurs de1,2,ω1etω2pour que la formule soit exacte pour tous les polyn omes de degr´e

inf´erieur ou ´egal 3. A quelle famille appartient la formule obtenue ?

E.N.I.T.11 illet 2001

Examen - Session de rattrapage

Analyse Num

´erique

Enseignan (s):H. EL FEKIHDur´ee :1 30

Classe :1ere annee INFO & T L CD cuments n n aut risesExercice Soitaet deux r´eels et : [a ]!Rune fonction de classe 3.

On souhaite approcherD2 00(a+b2

) par une expression du type :

2 0 (a) +1 (a+ 2

) +2 ( ) de telle sorte queE( )D2 2 v´erifie : (1)8P2 P2 E(P)D2P 2P= 0 On supposera dans toute la suite que les r´eels0 1et2sont tels que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

1-Montrer que [a a+b2

] =12

2 , o`u [a a+b2

] d´esigne la di´erence divis´ee d"ordre 2 de aux pointsa a+b2

2-SoitPfle polyn ome d"interpolation de Lagrande de aux pointsa a+b2

etr(x) = (x) Pf(x).

2-aMontrer qu"il existec2[a ] tel quer00(c) = 0.

2-bMontrer queE( ) =r00(a+b2

2-cEn d´eduire que

jE( )j a2 sup x2[a;b]j 000(x)j

3-Calculer les r´eels0 1 2en fonction deaet pour que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

Probleme

On consid`ere la formule de quadrature de Gauss-Legendre `ak+ 1 points,k0, donn´ee par : (1) Z 1

1 (x)dx=kX

i=0 i (xi) +E( ) o`u nous avons d´esign´e par : E( ) le terme d"erreur (on ne s"int´eresse pas ici `a l"´etude deE( )) xi, 0ik, les nuds d"int´egration v´erifiant : 1< x0< x1<< xk<1 i, 0ik, les poids d"int´egration. On rappelle quex0 ::: xksont lesk+1 racines du (k+2)-i`eme polyn ome orthogonal de LegendreQk+12 Pk+1(qui est unitaire) associ´e `a la fonction poidsw1 sur l"intervalle [ 1 1]. Le but de ce probl`eme est de calculer les (k+ 1) nudsx0 ::: xkainsi que lesk+ 1 poids0 ::: kde la formule de quadrature de Gauss-Legendre donn´ee par (1). Le probl`eme est divis´e en trois parties. La premi`ere est une ´etape pr´eliminaire, la deuxi`eme concerne le calcul des nudsxiet la derni`ere porte sur le calcul des poidsi. Partie I: Soientr0< r1<< rm, (m+ 1) r´eels,m >0, etP2 Pm+1le polyn ome d´efini parP(x) = (x r0) (x r1)(x rm). On consid`ere la m´ethode de e ton appliqu´ee `a la r´esolution de l"´equationP(x) = 0. On rappelle que cette m´ethode g´en`ere la suite d´efinie par : t

0donn´e t`+1=t` P(t`)P

0(t`) `0

n s ppose et0> rm.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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